Fizika_Lect_Borisov_5_2000 (811246), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Скалярное произведение:(ψ ,ϕ ) = ∫ψ ∗ϕ d 3 x, (cψ ,ϕ ) = c ∗ (ϕ ,ψ )∗ , c = const.Норма ψ вектора ψ определена в видеψ2= (ψ ,ψ ) ≥ 0 ,причем ψ = 0 тогда и только тогда, когда ψ = 0 .Оператору A€ ставится в соответствие эрмитово сопряженныйоператор A€+ согласно определению:ψ , A€ϕ = A€+ψ , ϕ .() ()Пусть A€ – оператор наблюдаемой A .
Ее среднее значение должнобыть действительным числом. Поэтому∗A = ψ , A€ψ = A€+ψ ,ψ = A = A€ψ ,ψ .Следовательно, оператор наблюдаемой должен быть эрмитовым: A€+ = A€ . Легко проверить, что уже введенные операторы координаты и импульса эрмитовы в пространстве квадратично интегрируемых функций.() ()()3.2. Принцип суперпозицииЛинейность уравнения Шрёдингера и операторов наблюдаемыхобеспечивает выполнение фундаментального принципа суперпозиции, согласно которому:1. Если квантовая система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями ψ 1 и ψ 2 , то она может также находиться и в состоянииψ = c1ψ 1 + c 2ψ 2 ,22где c1 , c 2 – произвольные комплексные числа.2. Функции ψ и cψ , где c – произвольное комплексное число,описывают одно и то же состояние.Для физически реализуемых состояний ψ < ∞ .
Принцип суперпозиции всегда позволяет выбрать для таких состояний условиенормировки ψ = 1 . Рассмотрим состояние ψ = c1ψ 1 + c 2ψ 2 , представляющее собой суперпозицию состояний ψ 1 и ψ 2 . Для плотностивероятности, квадрата нормы и среднего значения наблюдаемой A вэтом состоянии получаем соответственно выражения:22222ψ = c1 ψ 1 + c2 ψ 2 + 2Re c1∗ c2 ψ 1∗ψ 2 ,(ψ ,ψ ) = 1 = c1 2 + c2 2 + 2Re c1∗c2 (ψ 1 ,ψ 2 ),()()()()22∗A = ψ , A€ψ = c1 ψ 1 , A€ψ 1 + c2 ψ 2 , A€ψ 2 + 2Re c1 c2 ψ 1 , A€ψ 2 .Отсюда видно, что квантовая механика не сводится к классическойтеории вероятности: возникает характерный эффект интерференциисостояний ψ 1 и ψ 2 , не имеющий классического аналога.3.3. Условия одновременной измеримости наблюдаемыхКак мы уже видели, предсказания квантовой теории носят вероятностный характер. Выясним, когда измерение наблюдаемой A дает определенный результат. Рассмотрим отклонение от среднего∆A = A − A .
Ему отвечает наблюдаемая a€ = A€ − A I€, где I€- единичный оператор (в дальнейшем его будем опускать). Дисперсияслучайной переменной A в состоянии ψ равна(∆A)2= (ψ , a€2ψ ) = (a€ψ , a€ψ ) ≥ 0 .Она обращается в нуль только при a€ψ = 0 , илиA€ψ = A ψ .Следовательно, в указанном состоянии наблюдаемая имеет определенное значение, которое совпадает с одним из собственных значений оператора наблюдаемой. Само состояние описывается волновойфункцией, представляющей собой собственный вектор оператора.В дальнейшем для краткости, если это не приведет к недоразумению, мы будем отождествлять понятия состояния и соответствующей ему волновой функции (используется также термин вектор состояния), наблюдаемой и оператора наблюдаемой.Пусть наблюдаемая A€ имеет дискретный спектр:A€ψ n = Anψ n , n = 1, 2, 3K ,23причем система собственных функций {ψ n } полна и ортонормирована, т.е.
образует базис в пространстве состояний:ψ = ∑ c nψ n , (ψ n′ ,ψ n ) = δ n′n , c n = (ψ n ,ψ ) .nЗдесь ψ – произвольный вектор с единичной нормой. Имеем следующие соотношения:(ψ ,ψ ) = 1 = ∑ cn 2 ,n()()2⎛⎞A = ψ , A€ψ = ⎜ ∑ c nψ n , A€∑ c n′ψ n′ ⎟ = ∑ c n∗ c n′ ψ n , A€ψ n′ = ∑ c n An .n′n⎝ n⎠ n , n′Отсюда следует, что22wn = cn = (ψ n ,ψ )есть вероятность получить значение An наблюдаемой A при измерении в состоянии ψ , причем значений A ≠ An на опыте обнаружитьнельзя.Если наблюдаемая A€ имеет непрерывный спектр {λ} , тоψ = ∫ cλψ λ dλ , cλ = (ψ λ ,ψ ) .Тогдаw(λ ) = cλ– плотность вероятности, т.е.
w(λ )dλ – вероятность обнаружитьзначение A в интервале (λ , λ + dλ ) . При этом∫ w(λ )dλ = (ψ ,ψ ) = 1.2Условие ортонормированности заменяется условием нормировки наδ -функцию:(ψ λ ′ ,ψ λ ) = δ (λ ′ − λ ) .Пример. Собственные векторы оператора импульса p€ = −ih∇имеют вид⎛i⎞ψ p (r ) = (2πh )−3 / 2 exp⎜ p ⋅ r ⎟ , (ψ p′ ,ψ p ) = δ (p′ - p ).⎝h⎠Для оператора координаты r€ = r имеемψ r0 (r ) = δ (r - r0 ) .В общем случае смешанного спектра получаемψ = ∑ cnψ n + ∫ dλ cλψ λ ,n(ψ ,ψ ) = ∑ cn 2 + ∫ dλ cλ2= 1.nУсловие полноты системы собственных функций имеет вид:24∑ψ (r )ψ (r ′) + ∫ dλψ λ (r )ψ λ (r ′) = δ (r - r ′) .n∗n∗nРассмотрим условия, при которых две наблюдаемых A и B могутбыть одновременно измерены.
Пусть в некотором состоянии ониимеют определенные значения. Тогда, как мы уже знаем, вектор состояния должен быть собственным для операторов A€ и B€ :A€ψ nm = Anψ nm , B€ψ nm = Bmψ nm .Предположим, что {ψ nm } образуют полную систему собственныхвекторов. Тогда для произвольного вектора состоянияψ = ∑ c nmψ nmnmимеем(A€B€ − B€A€)ψ = ∑ cnm( An Bm − Bm An )ψ nm = 0 .nmВвиду произвольности ψ получаем операторное равенство[ A€, B€] ≡ A€B€ − B€A€ = 0 ,т.е.
наблюдаемые должны коммутировать.Это утверждение обобщается на случай произвольного(смешанного) спектра и представляет собой известную теорему изфункционального анализа: если два оператора имеют общуюполную систему собственных векторов, то они коммутируют.Справедлива и обратная теорема: если [ A€, B€] = 0 , то операторы A€ иB€ имеют общую систему собственных функций.Определим полный набор коммутирующих наблюдаемыхA€1 ,K , A€n :1) операторы A€ попарно коммутируют, [ A€ , A€ ] = 0 ; i, j = 1, n ;iij2) ни один из операторов A€i не является функцией от остальных;3) любой оператор, коммутирующий со всеми A€ , есть функцияiот этих операторов.Из изложенного выше следует, что существует общая полнаясистема собственных векторов полного набора наблюдаемых:A€iψ λ1Lλn = λiψ λ1Lλn , i = 1, n .Поэтому произвольный вектор состояния может быть представлен ввидеψ = ∑ cλ1Lλnψ λ1Lλn ,λ1 ,L, λ n25причем2cλ1Lλn естьвероятностьполучитьврезультатеодновременного измерения наблюдаемых A1 ,K , An значенияλ1 ,Kλn .Таким образом, состояние системы в квантовой механике можнозадать полным набором значений наблюдаемых.
Их числоназывается числом степеней свободы системы. В общем случае оноопределяется из опыта. В частных случаях это число совпадает счислом степеней свободы соответствующей классической системы.Полный набор наблюдаемых может быть задан многимиспособами. Его фиксация определяет некоторое представлениепространства состояний квантовой системы функциямиψ (λ1 ,K, λ n ) ≡ cλ1Lλn = (ψ λ1Lλn ,ψ ),определенными на спектре операторов A€ ,K , A€ .
Функция1nψ (λ1 ,K , λ n ) называется волновой функцией системы в данномпредставлении.Пример. Для точечной (бесструктурной) частицы полный наборнаблюдаемых образуют операторы координат x€, y€, z€. Ему отвечаеткоординатное представление волновых функций:ψ ( x, y, z ) = ∫ψ ( x0 , y 0 , z 0 )δ ( x − x0 )δ ( y − y0 )δ ( z − z 0 )dx0 dy 0 dz 0 .Другой полный набор составляют операторы компонент импульсаp€x , p€y , p€z :⎡i⎤ dp dp dpψ ( x, y, z ) = ∫ψ ( p x , p y , p z )exp ⎢ ( p x x + p y y + p z z )⎥ x y 3 / 2 z ,⎣h⎦ (2π h )где ψ ( p x , p y , p z ) – волновая функция в импульсном представлении(выше она обозначалась C (p ) ).4. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙГЕЙЗЕНБЕРГА4.1.
Соотношение неопределенностейПусть две наблюдаемые A€ и B€ не коммутируют. Тогда их коммутатор имеет вид:[ A€, B€] = iC€ ,где C€ – эрмитов оператор. Покажем, что дисперсии наблюдаемых впроизвольном состоянии ψ удовлетворяют ограничению2612C .4Оно называется соотношением неопределенностей и полученовпервые Гейзенбергом (W. Heisenberg) в 1927 г. для частного случаянаблюдаемых x€ и p€x .Его общее доказательство принадлежит Вейлю (H. Weyl).
Введемнаблюдаемыеa€ = A€ − A , b€ = B€ − B , [a€, b€] = iC€ ,и рассмотрим неотрицательную функцию действительного параметра λ :2F (λ ) = λa€ − ib€ ψ = λa€ − ib€ ψ , λa€ − ib€ ψ = ψ , λa€ + ib€ λa€ − ib€ ψ =(∆A)2 (∆B )2()≥(() () ) ( (= (ψ , (λ a€ + b€ + λC€)ψ ) = λ a2222)(2) )+ λ C + b 2 ≥ 0.Ввиду произвольности λ дискриминант полученного квадратноготрехчлена должен быть неположительным:2C − 4 a2 b2 ≤ 0 .С учетом равенстваa 2 = (∆A)2получаем отсюда приведенноевыше соотношение неопределенностей (СН).Для коммутирующих наблюдаемых правая часть СН обращаетсяв нуль, что соответствует, как мы видели выше (см.
п. 3), одновременной измеримости таких наблюдаемых.Для некоммутирующих наблюдаемых СН накладывает ограничение на точности, с которыми могут быть одновременно заданы (измерены) эти наблюдаемые. Наиболее сильное ограничение имеетсяв случае, когда ψ , [ A€, B€]ψ ≠ 0 для любых состояний ψ , например,если [ A€, B€] = icI€, где c = const . В этом случае не существует со-()стояний, в которых обе наблюдаемых имеют определенные значения.Пример.
Пусть A€ = x€, B€ = p€x . Тогда[ x€, p€x ] = ih ,и мы получаем соотношение неопределенностей Гейзенберга:h222(∆x ) (∆p x ) ≥ .4Качественно СН может быть получено из анализа эволюции волнового пакета (см. п. 2). Было показано, что эффективные размерыпакета в координатном и импульсном представлениях, т.е. неопределенности координаты и импульса частицы, связаны соотношением∆x ⋅ ∆k ~> 1 , или ∆x ⋅ ∆p x ~> h , так как импульс p x = hk .27Детальный анализ показывает, что в случае некоммутирующихнаблюдаемых A€ и B€ измерение одной из них приводит к неконтролируемому изменению другой наблюдаемой.
Возмущение системы впроцессе измерения конечно и таково, что всегда выполняются СН.Иными словами, для точного измерения таких наблюдаемых требуются несовместимые измерительные приборы.Найдем состояния ψ , в которых достигается минимум неопределенностей, т.е. точное равенство в СН. Получаем для них системууравнений (см. выше вывод СН):λa€ − ib€ ψ = 0,()λ2 a 2 + λ C + b 2 = 0,a2 b2 =Отсюда находим12C .4λ=−C2 a2,и уравнение для определения состояния, минимизирующего произведение неопределенностей, принимает вид:⎞⎛ C⎜€€a + ib ⎟ψ = 0 .2⎟⎜2 a⎠⎝Рассмотрим случай координаты и импульса:a€ = x€ − x 0 , b€ = p€x − p 0 , C€ = h .В координатном представлении x€ = x, p€x = −ih∂ / ∂x , и получаемуравнение:p0 ⎤⎡ d x − x0⎢ dx + 2σ 2 − i h ⎥ψ ( x ) = 0 .⎣⎦2Здесь σ 2 = (∆x ) , x0 = x , p 0 = p x .Нормированное решение имеет вид:⎡ ( x − x0 )2 i⎤2 −1 / 4ψ ( x ) = (2πσ ) exp ⎢−+ p0 x⎥ .2h4σ⎣⎦В этом состоянииh222(∆x ) (∆p x ) = .4СН «координата-импульс» выражает отсутствие точной траектории у частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
