Fizika_Lect_Borisov_5_2000 (811246), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

5).152. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ2.1. Волновой пакет и его эволюцияРассмотрим специальное решение уравнения Шрёдингера длясвободной частицы в одномерном случае:∞ψ (t , x ) = ∫ dkC (k ) exp[− i(ω t − kx )] ,−∞где C (k ) – функция, модуль которой имеет резкий максимум в некоторой точке k = k 0 и быстро убывает при k − k 0 → ∞ .

Такое решение называется волновым пакетом.Ограничимся для определенности частным случаем прямоугольного пакета:⎧ A / δ = const , k ∈ I = (k 0 − δ / 2, k 0 + δ / 2 );C (k ) = ⎨⎩0, k ∉ I ,где 0 < δ << k 0 .Вычислим интеграл по k приближенно, используя разложениечастоты ω (k ) в окрестности k 0 :1ω (k ) = ω (k 0 ) + ω ′(k 0 )(k − k 0 ) + ω ′′(k 0 )(k − k 0 )2 + L.2С учетом лишь линейных членов разложения получим пакет в видеψ (t , x ) = B (t , x ) exp[− i (ω 0 t − k 0 x )] .Здесь переменная амплитудаk +δ / 2sin ξA 0δ, ξ = ( x − ω 0′ t ) ,B (t , x ) =dk exp[i (k − k 0 )( x − ω 0′ t )] = A∫2δ k 0 −δ / 2ξ⎛ dω ⎞где ω 0′ = ⎜⎟ .

При ω 0′ δ ≡ ∆ω << ω 0 пакет представляет собойdk⎝⎠ k = k0амплитудно-модулированную волну – это почти монохроматическаяволна, амплитуда которой заметно изменяется на сравнительнобольших временном и пространственном интервалах:∆t ~> 1 / ∆ω >> 1 / ω 0 , ∆x ~> 1 / δ >> 1 / k 0 .В рассматриваемом случае амплитуда B (t , x ) имеет максимум,равный A , в точке x = ω 0′ t . Следовательно, максимум (центр пакета)движется равномерно со скоростью⎛ dω ⎞vg = ⎜⎟ ,⎝ dk ⎠ k =k016которая называется групповой скоростью (пакет ≡ группа волн).

Пакет ψ (t, x )сосредоточен в окрестности максимума амплитуды B иимеет указанные выше размеры ∆x и ∆t в пространстве и во времени. Его фурье-образ ψ~ (ω , k ) имеет соответственно размеры ∆k ≡ δ и∆ω , причем выполнены соотношения∆k ⋅ ∆x ~> 1, ∆ω ⋅ ∆t ~> 1,которые, конечно, известны в теории преобразования Фурье.До сих пор мы не учитывали высшие члены разложения ω (k ) .2Учет слагаемого ~ ω 0′′(k − k 0 ) t в аргументе экспоненты в интегральном представлении пакета ψ (t, x ) приводит, очевидно, к расплыванию пакета, т.е. его уширению. Определим характерное время расплывания пакета t d из условияω 0′′(∆k )2 t d ~ 1 ,отсюда с учетом связи ∆k ~ 1 / ∆x находим2(∆x )td ~.⎛ d 2ω ⎞⎜⎜ 2 ⎟⎟⎝ dk ⎠ k0Описанные выше свойства волнового пакета не зависят от природы волны.

Волновая функция свободной частицы в виде пакета описывает суперпозицию состояний частицы с различными значениямиимпульса и энергии:h2k 2p = hk , E = hω =.2mТакая суперпозиция не имеет прямого аналога в классической механике. Тем не менее, косвенная связь с классикой есть: центр пакетадвижется равномерно с групповой скоростьюhk⎛ dω ⎞vg = ⎜⎟ = 0,m⎝ dk ⎠ k0что отвечает соотношению v = p / m для классической частицы, движущейся со скоростью v = v g .Попытка представить квантовую частицу в виде некоторого материального волнового сгустка (пакета) не выдерживает критики, вчастности, ввиду расплывания пакета.

Действительно, время расплывания пакета начальной ширины a для нерелятивистской частицы ( E = p 2 / 2m ) равноa2ma 2=td ~.hh(d 2 E / dp 2 )17(типичный размер атома, см. п. 10) иПоложим a = 10 −8 см−28m = 9,1 ⋅10 г (масса электрона). Тогда время расплывания10 −27 г ⋅ 10 −16 см 2td ~= 10 −16 с .− 2710 эрг ⋅ сСледовательно, с макроскопической точки зрения пакет расплывается мгновенно.

За время t d ширина пакета возрастает по определениюна величину порядка a . Следовательно, скорость расплыванияhavd ~ ~.t d maВ нашем примере за время t = 1 c ширина первоначально микроскопического пакета достигнет величины10 −27 ⋅ 1ht~ −27= 108 см = 10 3 км !−8ma 10 ⋅ 10С другой стороны, для макроскопической частицы массы m = 1 гположим a = 1см. Тогда время расплывания1 ⋅1t d ~ −27 = 10 27 c ,10что гораздо больше времени жизни ВселеннойtU ≅ 1,5 ⋅ 1010 лет ~ 1017 c .Иначе говоря, за 1 с пакет расширится на ничтожную величину10 −27 ⋅ 1= 10 − 27 cм .1 ⋅1Следовательно, для макроскопической частицы расплыванием пакета можно пренебречь.

С высокой степенью точности движение центра макроскопически малого пакета подчиняется законам классической механики (см. п. 5).Для микрочастицы в общем случае необходимо использоватьуравнение Шрёдингера для волновой функции, которой, как мы убедились, нельзя придать непосредственно прямой физический смысл.2.2. Вероятностная интерпретация волновой функцииПредставление об электроне в виде группы волн находится в явном противоречии с экспериментами по столкновению электронов сатомами, в которых электрон ведет себя как единая стабильная частица. В экспериментах по дифракции пучка электронов на кристаллах проявляются волновые свойства электронов, причем аналогия сдифракцией электромагнитных волн, рассматриваемых как потокфотонов, приводит к статистическому предположению: интенсивность волны в данной точке пространства пропорциональна плотно18сти частиц.

Оказывается, однако, что дифракционная картина не зависит от интенсивности пучка частиц: она возникает и при оченьмалой интенсивности и даже при пропускании одиночных электронов один за другим. При регистрации дифракционной картины каждый электрон, прошедший периодическую структуру (например,монокристалл), оставляет на фотопластинке небольшое пятно, проявляя тем самым корпускулярные свойства.

При достаточно большем числе прошедших последовательно электронов распределениепятен на пластинке образует дифракционную картину, совпадающую с получаемой при пропускании пучка электронов.Детальный анализ процессов рассеяния электронов на атомах наоснове уравнения Шрёдингера привел Борна (M. Born) к вероятностной интерпретации волновой функции частицы (1926 г.): квадрат2модуля ψ (t ,r ) есть плотность вероятности обнаружить частицув точке пространства r в момент времени t .

Таким образом,квантовая механика (даже для одной частицы) является вероятностной теорией, в которой принцип причинности отличается от соответствующего лапласовского принципа причинности в классическоймеханике. В своей статье 1926 г. Борн так сформулировал основнуюособенность квантовой теории: «Движение частицы следует вероятностным законам, сама же вероятность распространяется всоответствии с законом причинности».Указанная вероятностная интерпретация волновой функции –один из основных постулатов квантовой теории, который подтверден всей совокупностью проведенных экспериментов.Покажем, что из УШ вытекает закон сохранения вероятности. Запишем уравнения для ψ и комплексно сопряженной к ней функцииψ ∗:h2 2∂ψih=−∇ ψ + Uψ ,∂t2mh2 2 ∗∂ψ ∗− ih=−∇ ψ + Uψ ∗ .∂t2mУмножив первое уравнение на ψ ∗ , а второе на ψ , вычтем одно издругого.

Получим∂ ∗(ψ ψ ) = − h (ψ ∗ ∇ 2ψ − (∇ 2ψ ∗ )ψ ) = − h ∇(ψ ∗ ∇ψ − (∇ψ ∗ )ψ ).∂t2mi2miВведем плотность ρ и поток вероятности j:192ρ = ψ ∗ψ = ψ ,h(ψ ∗ ∇ψ − (∇ψ ∗ )ψ ).2miВ результате находим уравнение непрерывности (ср. с электродинамикой, ч. 1 курса):∂ρ+ ∇ ⋅ j = 0.∂tПроинтегрировав его по объему V , ограниченному замкнутой поверхностью S , получим интегральный закон сохранения вероятности:dρ d 3 x = − ∫ ( j ⋅ n ) dS .∫dt VSУдалив S в бесконечность, в предположении, чтоj r →∞ → 0 ,j=получимdρ d 3x = 0,∫dtили23∫ ψ d x = const .Для физически реализуемых состояний всегда можно выбрать такуюнормировку волновой функции, что2 3∫ ψ d x = 1.Это соотношение означает, что вероятность обнаружить частицу вовсем пространстве равна единице, как и должно быть.Замечание.

Плотность ρ и поток вероятности j инвариантны относительно преобразования фазы волновой функции:ψ → ψ ′ = e iαψ , ψ ∗ → ψ ′∗ = e −iαψ ∗ .Функции ψ и ψ ′ отвечают одному и тому же состоянию.3. НАБЛЮДАЕМЫЕ И ОПЕРАТОРЫ3.1. Средние значения координаты и импульса. НаблюдаемыеЗная плотность вероятности координаты частицы, можно найтисреднее значение координаты – математическое ожидание:2r = ∫ rψ d 3 x .20Как найти среднее значение импульса p ? Рассмотрим волновойпакет:d 3kd 3xik ⋅rψ (r ) = ∫ψ (r )e −ik ⋅r .C (k )e , C (k ) = ∫3/ 23/ 2(2π )(2π )Здесь время t фиксировано и явно не указано в качестве одного изаргументов волновой функции.

Преобразуем условие ее нормировки:d 3 kd 3 k ′ ∗∗3−ik ⋅r + ik ′⋅r3=∫ψ (r )ψ (r )d x = 1 = ∫ (2π )3 C (k )C (k ′)∫ d x e= ∫ d 3 kC ∗ (k )C (k ) ,где использовано известное соотношение:33i (k ′− k )⋅r= (2π ) δ (k ′ − k ) .∫d xeЕстественно, следуя Борну, интерпретировать C (k ) как плотностьвероятности обнаружить при измерении импульс частицы p = hk .Фурье-образ C (k ) функции ψ (r ) называется волновой функцией вимпульсном представлении. Ясно, что тогда среднее значение импульсаd 3 x′ ∗d 3x2ik ⋅r′′()p = ∫ d 3 k hk C (k ) = ∫ d 3 k ∫ψreψ (r )ih(∇ e −ik⋅r ) .3/ 23/ 2∫(2π )(2π )Проинтегрировав в последнем интеграле по частям в предположении, что ψ r →∞ → 0 , получим с учетом2∫d3ke ik ⋅(r′−r ) = (2π ) δ (r ′ − r )3выражение для среднего импульса в координатном представлении:p = ∫ d 3 xψ ∗ (r ) (− ih∇ψ (r )) .Итак, в пространстве волновых функций импульсу соответствуетдифференциальный оператор:p → p€ = −ih∇ .Координате отвечает оператор умножения:r → r€ = r, r = ∫ d 3 xψ ∗ (r )rψ (r ) .Заметим, что в пространстве волновых функций в импульсном представлении C (p ) имеем:∂p€ = p = hk , r€ = ih∇ p = ih .∂pПоэтому, в частности, средняя координатаr = ∫ d 3 pC ∗ (p ) ih∇ p C (p ) .21Полученные результаты обобщаются следующим образом: каждой физической величине A , значение которой может быть в принципе измерено, наблюдаемой, однозначно соответствует линейныйоператор A€ в пространстве волновых функций.Фундаментальный оператор Гамильтона – гамильтониан, определяющий эволюцию волновой функции, выражается через операторыкоординаты и импульса:p€2H€ =+ U (r€) .2mСреднее значение наблюдаемой вычисляется по правилу:A = ∫ψ ∗ A€ψ d 3 x .В дальнейшем будем использовать обозначения из функционального анализа, предполагая, что множество волновых функций – линейное пространство.

Характеристики

Список файлов лекций