Fizika_Lect_Borisov_5_2000 (811246), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Поскольку оператор перестановки – интеграл движения, то функция P€ψ Π – также решение УШ:H€ − E P€ψ = 0 .()ΠПоэтому правильные решения определенной четности ψ S (ψ A ) получаются путем составления (анти)симметричных линейных комбинаций функций P€ψ Π .11.2. Принцип ПаулиДля системы фермионов получаем антисимметричную функцию,которую можно записать в виде определителя Слэтера (J.
Slater,1929):ψ 1 (ξ 1 ) ψ 1 (ξ 2 )L ψ 1 (ξ N )1 ψ 2 (ξ 1 ) ψ 2 (ξ 2 )L ψ 2 (ξ N ).N ! ..........................................ψ N (ξ1 ) ψ N (ξ 2 )L ψ N (ξ N )Здесь нормировочный коэффициент включает N ! – число перестановок среди N частиц.Интерпретация функций ψ Π и ψ A такова.Функция ψ Π («неправильная») описывает состояние системы, вкотором 1-я частица находится в одночастичном состоянии ψ 1 , 2-ячастица – в состоянии ψ 2 и т.
д.Правильная функция ψ A отвечает состоянию, в котором N частиц заполняют N одночастичных состояний, причем нельзя указать,какая частица в каком именно состоянии находится, что согласуетсяс принципиальной неразличимостью тождественных частиц (им невозможно приписать номера). Если среди одночастичных функцийψ n есть одинаковые, то ψ A ≡ 0 в силу известного свойства определителя, содержащего одинаковые строки. Это означает неосуществимость такого состояния и приводит к принципу Паули (W.
Pauli,1924–25), сформулированном им первоначально для электронов: в81ψ A (ξ 1 , ξ 2 ,K, ξ N ) =одном и том же одночастичном состоянии не может находитьсяболее одного фермиона.Подчеркнем, что принцип Паули – следствие антисимметричности волновых функций, и поэтому он справедлив только для фермионов.11.3. Система двух электроновВолновая функция двухэлектронной системы удовлетворяет условию антисимметрии:ψ (ξ 1 , ξ 2 ) = −ψ (ξ 2 , ξ 1 ) .Определим сначала оператор спина системы:hS€ = S€(1) + S€(2 ) , S€(n ) = σ (n ) .2Здесь индексы (1) и (2) нумеруют спиновые подпространства отдельных электронов в спиновом пространстве системыC 4 = C 2 ⊗ C 2 .
В каждом из подпространств C 2 имеем базисные векторы:(n )(n )(n ) ⎛ 0 ⎞( n ) ⎛1 ⎞u = ⎜⎜ ⎟⎟ , d = ⎜⎜ ⎟⎟ ,⎝ 0⎠⎝1 ⎠2которые являются собственными векторами операторов S€(n ) и S (n ) .z4В пространстве C в качестве базиса можно выбрать 4 вектораu (1)u (2 ) , d (1) d (2 ) , u (1) d (2 ) , d (1)u (2 ) .Удобно выбрать новый базис, состоящий из собственных векторовоператоров квадрата полного спина и его проекции на ось z :h 2 (1)h2(2 ) 22€(σ + σ ) = (3I + σ (1) ⋅ σ (2 ) ),S =42hS€z = (σ 3(1) + σ 3(2 ) ).2Замечание. Мы используем здесь сокращенную запись операторов двухчастичной системы.
Точная запись, например, операторапроекции спина такова:hS€z = (σ 3 ⊗ I + I ⊗ σ 3 ) .2Легко проверить, что указанный базис имеет вид:82χ 1, −1 = d (1) d (2 ) ,1 (1) (2 )(u d + d (1)u (2 ) ),2= u (1)u (2 ) ,χ 1, 0 =χ 1,11 (1) (2 )(u d − d (1)u (2 ) ).2Смысл индексов векторов χ S ,ζ таков:S€2 χ = h 2 S (S + 1)χ , S€ χ = hζχχ 0, 0 =S ,ζS ,ζzS ,ζS ,ζ.Прямая проверка проводится с помощью формул:σ 3u = u , σ 3 d = −d ;σ 1u = d , σ 1d = u ;σ 2 u = id , σ 2 d = −iu .Например,2hS€2 χ1,1 = (3I + σ 1(1)σ 1(2 ) + σ 2(1)σ 2(2 ) + σ 3(1)σ 3(2 ) ) u (1)u (2 ) =2h2= (3u (1)u (2 ) + d (1)d (2 ) + id (1)id (2 ) + u (1)u (2 ) ) = 2h 2 χ1,1 ;2hhS€z χ1,1 = (σ 3(1) + σ 3(2 ) )u (1)u (2 ) = (1 + 1) u (1)u (2 ) = hχ1,1 .22Следовательно, S = 1, ζ = 1 .С точки зрения теории групп мы доказали, чтоD1 / 2 ⊗ D1 / 2 = D0 ⊕ D1 .Это частный случай теоремы о разложении прямого (тензорного)произведения неприводимых представлений D j группы SO(3) впрямую сумму неприводимых представлений:D j1 ⊗ D j2 = D j1 − j2 ⊕ D j1 − j2 +1 ⊕ L ⊕ D j1 + j2 =j1 + j2⊕J = j1 − j2DJ .Базисные векторы в пространстве представления DJ размерности2 J + 1 имеют вид:e j1 j2 JM =j1j2∑ ∑ C ( j j JM | jm1 = − j1 m2 = − j21 2j m1m2 )e j1m1 e j2m2 ,1 2M = − J , − J + 1, K, J .Они являются собственными векторами операторов момента J€2 и J€z(см.
п. 7). Коэффициенты разложения C ( j1 j 2 JM | j1 j 2 m1 m2 ) называ-83ются коэффициентами Клебша–Гордана. Мы нашли их явный виддля частного случая j1 = j 2 = 1 / 2 .Введя дискретные спиновые переменные для электроновζ 1 = ±1 / 2 и ζ 2 = ±1 / 2 , запишем найденные базисные векторы χ S ,ζ ввиде функций двух переменных:χ1, −1 (ζ 1 ,ζ 2 ) = d (ζ 1 )d (ζ 2 ) = χ1, −1 (ζ 2 ,ζ 1 ),1[u (ζ 1 )d (ζ 2 ) + d (ζ 1 )u (ζ 2 )] = χ1,0 (ζ 2 ,ζ 1 ),2χ1,1 (ζ 1 ,ζ 2 ) = u (ζ 1 )u (ζ 2 ) = χ1,1 (ζ 2 ,ζ 1 );1[u (ζ 1 )d (ζ 2 ) − d (ζ 1 )u (ζ 2 )] = − χ 0,0 (ζ 2 ,ζ 1 ).χ 0, 0 (ζ 1 ,ζ 2 ) =2При этом три симметричные функции χ 1,ζ (ζ 1 , ζ 2 ) образуют базис вχ1, 0 (ζ 1 ,ζ 2 ) =пространстве D1 , а антисимметричная функция χ 0, 0 (ζ 1 ,ζ 2 ) – в D0 .11.4.
Атом гелияПрименим полученные выше результаты для анализа общейструктуры спектра атома гелия 42 He – системы, состоящей из положительно заряженного ядра с Z = 2 и двух электронов.В приближении бесконечно тяжелого ядра гамильтониан атомагелия сводится к системе двух электронов, взаимодействующих между собой и с неподвижным кулоновским центром с зарядом − 2e :h21 ⎞ e2222⎛ 1€⎜(∇1 + ∇ 2 ) − 2e ⎜ + ⎟⎟ + ,H =−2 me⎝ r1 r2 ⎠ r12где r12 = r1 - r2 – расстояние между электронами.
Подчеркнем, чтоспиновые взаимодействия в нерелятивистском приближении не учитываются.Решение стационарного уравнения ШрёдингераH€ − E ψ (ξ 1 , ξ 2 ) = 0можно искать в виде разложения по базисным спиновым функциям,найденным в предыдущем разделе:ψ (r1 ,ζ 1 ; r2 ,ζ 2 ) = ∑ ϕ S ,ζ (r1 , r2 )χ S ,ζ (ζ 1 ,ζ 2 ).()S ,ζИз антисимметричности полной функции ψ и свойств симметрииспиновых функций χ следует, что координатные функции обладаютопределенной симметрией:ϕ 1,ζ (r1 , r2 ) = −ϕ 1,ζ (r2 , r1 ),ϕ 0, 0 (r1 , r2 ) = ϕ 0, 0 (r2 , r1 ),84т. е. принадлежат подпространству H A ( H S ) пространства L2 (R 6 )при S = 1 ( S = 0 ). Эти функции удовлетворяют тому же уравнениюШрёдингера, что и ψ :H€ − E ϕ S ,ζ (r1 , r2 ) = 0 ,()причем симметричная и антисимметричная функции принадлежат,очевидно, разным собственным значениям.Таким образом, уровни энергии атома гелия зависят от полногоспина S даже в пренебрежении спиновыми взаимодействиями в гамильтониане.
Эта зависимость – следствие принципа тождественности и обусловлена свойствами симметрии координатных волновыхфункций.Можно доказать, что основному состоянию атома гелия отвечаетсимметричная функция ϕ 0, 0 (r1 , r2 ), и спин S = 0 .Переходы между состояниями с различными спинами с испусканием или поглощением фотонов оказываются маловероятными. Вдипольном приближении вероятность перехода (см. п.
10) обращается в нуль, так как равен нулю матричный элемент оператора дипольного момента между состояниями различной симметрии:(ϕ A , (r1 + r2 )ϕ S ) = ∫ d 3 x1d 3 x2ϕ ∗A (r1 , r2 )(r1 + r2 )ϕ S (r1 , r2 ) ≡ 0 .Поэтому спектр излучения атома гелия таков, как если бы существовали две разновидности гелия – парагелий ( S = 0 ) и ортогелий( S = 1 ). Уровни энергии ортогелия имеют трехкратное вырождениепо спиновому числу ζ – проекции полного спина S z ( 2S + 1 = 3 ).Замечание.
Спиновые взаимодействия расщепляют триплетныеуровни ортогелия (в отличие от синглетных уровней парагелия) натри близких подуровня (за исключением уровней, отвечающих нулевому полному орбитальному моменту системы двух электронов:L = 0 ).85ЗАДАЧИ1. Состояние свободной частицы при t = 0 имеет вид:ψ (0, x ) = A exp(− x 2 / 2a 2 + ik 0 x ).Найти при t > 0 средние значенияx , p x , (x − x)2, (px − px)2.2.
Найти коэффициент прохождения частицы через потенциальныйбарьер⎧U > 0, x ∈ [0, a ];U (x ) = ⎨ 0⎩0, x ∉ [0, a ].3. Найти уровни энергии частицы в потенциальной яме⎧⎪− U 0 < 0, x < a;U (x ) = ⎨⎪⎩0, x > a.4. Найти уровни энергии частицы в полеU ( x ) = − gδ ( x ), g > 0.5. Найти уровни энергии частицы в полеU ( x ) = − g [δ ( x + a ) + δ ( x − a )] , g > 0.6. Найти значения энергии частицы, при которых обращается внуль коэффициент отражения от потенциальной ямы⎧− U 0 < 0, x ∈ [0, a ];U (x ) = ⎨⎩0, x ∉ [0, a ].7. Вычислить матричный элемент для гармонического осциллятора(ψ 0 , x€n ψ n ).8. Найти уровни энергии системы с гамильтонианом1( p€x2 + p€y2 ) + m ω 2 (x 2 + y 2 ) + γ x y,H€ =2m22γ < mω .9.
В состоянии ψ m с определенной проекцией момента на ось Oz ,l€ψ = mψ , найти средние значения l€ , l€ , l€ l€ .zxyx y10. В состоянии ψ lm с определенными l 2 и l z ,€l 2ψ = l (l + 1)ψ , l€zψ = mψ ,найти средние значения l€2 , l€2 .xy11. Найти плотность вероятности различных значений импульсаэлектрона в основном состоянии атома водорода.8612. Электрон находится в состоянии с определенным значениемS z = h / 2 .
Найти вероятности возможных значений проекции спинана направление n = (sin α cos β , sin α sin β , cos α ).13. Используя уравнение Паули, найти спектр энергии электрона впостоянном однородном магнитном поле B = Be z , заданном векторпотенциалом A = xBe y .14. Показать, что при движении электрона в однородном нестационарном магнитном поле B(t ) и произвольном электрическом полеспиновые и пространственные переменные в волновой функцииэлектрона разделяются.15. Электрон движется в однородном магнитном полеB(t ) = (B0 cos ω 0 t , B0 sin ω 0 t , B1 ) .При t = 0 он находился в состоянии с S z = h / 2 .
Найти вероятностиразличных значений проекции спина на ось z в момент времениt > 0.16. Найти собственные функции и собственные значения спиновогооператора системы двух электроновQ€ = a (σ 3(1) + σ 3(2 ) ) + bσ (1) ⋅ σ (2 ) ,где a, b – действительные параметры.87Борисов Анатолий ВикторовичОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИРедактор О. В. СалецкаяПодписано к печати 08.02.99Объем 5,5 п. л. Тираж 100 экз. Заказ №Издательство физического факультета МГУЛицензия ЛР № 021293 от 18.06.98119899, Москва, Воробьевы горы, д. 1, корп.
2,МГУ им. М. В. Ломоносова,физический факультетТел. (095) 939-54-94. Интернет: http://publish.phys.msu.suОтпечатано в отделе оперативной печатифизического факультета МГУ88.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
