kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(х — 1](« - г) 143а) Неравенство >0 решим методом интервалов. « — 3 Найдем значения х, при которых обращаются в нуль числитель (х — 1)(х — 2) 0 (корни х, 1 и х,= 2) и знаменатель х — 3 =0 (ко- (« - 1) (.« — 2) рень х = 3) дроби . Отметим зти точки на координатной «-3 ссн. Они разбивют ось на четыре интервала. Опрсделим знак выра- (.— П -2) женин, например, в последнем четвертом интервале. х — 3 (4 — 1) (4 — 2) Для точки х=4 нз этого промежутка получаем >О. 4 — 3 При перекопе к каждому следующему интервалу знак выражения меняется на противоположный.
Имеем диаграмму знаков дроби (х — 1)(» — 2) . Учтем, что х в 3 (т.к. делить на нуль нельзя). На ос- « — 3 нованни диаграммы знаков получаем решение данного неравенства х Е [1; 2] О (3; О ). [)2322: [1; 2) О (3; ). 4-«! 144в) Рациональнее неравенство — > — запишем в виде « — 3 1 — « 4 — «1 — — — > О и приведем дроби к общему знаменателю: « — 5 !†» (4 — )(1 — «) — 1 (« — 3) 4 — 4« — «х»4- » - 3 «' — э.
9 (« — 3) >О нли >О. Число х=З нс является решением данного неравенства. Прн хи 3 выражение (3 — 3) > 0 н данное неравенство эквивалентно квадратному неравенству («в — 5)(1 — х) > О. Решим это неравенство методом интервалов.
Най. дсм значения х. при которых выражение (х — 5) (1 — «) равно нулю: х, — 5 и х. = 1. Отметим эти точки на координатной оси. Они раабили ось на три интервала. Определим знак выражения (х — 5) (1 — х), например, в последнем третьем промежутке. Длв точки х = 10 из этого интервала получаем: (10 — 5] (1 — 10) с О. При переходе к кажлому следующему промежутку знак выражения (х — 5)(1 — х) Глина 5.
3 дачи иа ливии еиие 202 меняется на противоположный. Имеем диаграмму знаков этого выражения. Учтем, что хи 3. На основании диаграммы запишем решение данного неравенства х Е (1; 3) П (3: 5). йтгйтг (1; 3) П (3; 5). и Ь 145в) Для доказетельства неравенства — + — > 2 ь и Ь исеть левой и правой частей.
Получаем: — + — — 2- ь ( -Ь)* — ЭО, т.к. а, Ь. О, то проиаиедсиие иЬ>0 аь (и — Ь)2>0. Причем данное неравенство обращается только при а = Ь. ()2642: доказано. найдем раз- и'4 Ь'- 2аЬ аь и числитель в равенство > ° ° . --........ 2*''7*'Б. *- неотрицвтельна, то и праван часть должна быть неотрицательной, т.с. 2х — 1 2 0.
Возведем обе неотрицательные части данного уравнения в квадрат: хи+ 2х+10 = 4хг-42+ 1 или 0 = Зле — бх-9 или 0.= хи — 2х — 3. Корни этого квадратного уравнения х, = — 1 и х. = 3. Условяю 2х — 1 > 0 удовлетворяет только корень х — 3. ь'гапг: 3. 146а) Все члены уравнения чГх — + ч2+ х 0 умиожим 4 2+и ем /2.4х.Получаем ч/х.ч/Зтх -4+2+х-Оили чГ2хвхе 2 — х. Возведем обе части уравнения в квадрат: 2х+ хт-4-4х+ хе или 147а) Уравненке ч(хе 17-дх-7 —. 4 запишем в виде ч/х+ 17 = - /х — 7+ 4 Возведем обе неотрицательные части уравнения в квадрат: х+ 17 =х -7+ 8 /х-7+ 16 и.тн 8 = Зч(х-7 или 1 = = ч/х — 7 .
Вновь возведем обе неотрицательные части уравнения в квадрат: 1 = т — 7, откуда х = 8. ь(тает: 8. 44 1476) Для решения уравнения 2 ох — 1 + их — 1 = 3 введем но- 4Г вую неизвестную 4 = их — 1 >О. Получаем квадратное уравнение: 2 242+2=3 или 2Н+4-3 О. Корни этого уравнения 4 -1 и 22- —— ! 2 2 (нс подходит, т.к. 4 Э 0). Вернемси к старой неизвестной х и полу. 4/ чим уравнение чх — 1 - 1.
Возведем обе части этого уравнения в четвертую степенги т — 1 = 1. откуда х = 2. Жвсг: 2. 4. У внгл л. чг зеенстэа, гигиены велении и нг аегагте ЗОЗ 3 бх = 4, откуда х = †. Легко провсрить,что этот корень удовлство- 3 з рвет данному уравнению. Пу)йц: —. з' 149а) Для решения уравнения /225 е хз - хт — 47 введем новую неизвестную г = з(225+ «г . Тогда Р= 225+ ха, ~куда «з- гз — 225. данное уравнение имеет вид; г = гз- 225 — 47 илн О = ! — г — 272. Корни этого уравнения Г, -17 и ( = -16 (не подходит, т.к.
Г> 0). Вернемся к старой неизвестно х и получим: хз= П вЂ” 225 = 17з— — 225 = 289 — 225 =64, откуда х = э8. [)пюм яб. 150а) ОДЗ неравенства т~хз- 5 > 2 определяется условием хз— — 5 З О. Возведем обе неотрицательные части этого неравенства в квадрат: хз — 5>4 (тем более хз — 5 > 0) илн хз — 9ЗО. Решая неравенство методом интервалов, найдем х Е ( —; — 3[ О [3; ). а:(-;-3[П[3:-).
' Ж-эзлч нестрицательна, а правая — отрицательна, то неравенство выполнено для всех х, входящих в ОДЗ. ОДЗ данного неравенства определяется условием (х — 2) (1 — 2х) э О. Решая это неравенство, напри[ мер, методом интервалов, найдем х Е ~ —; 2~. йтвуц: ~-; 2]. ~2 [2 151а) В неравенстве тхз-бх+ 9 > 3 подкоренное выражение является квадратом разности чисел. Поэтому данное неравенство эквивалентно неравенству [х — 3[ > 3. С учетом свойств модуля числа это неравенство эквивалентно двум неравенствам: х — 3 > 3 (откуда х > 6) н х — 3 с — 3 (откуда х < 0).
Тогда х Е (-; 0) () (6; )— решение данного неравенства. Ягдцг: (; 0) () (б; ). она Я:*' й а*-*'- ° > стоя условием: 2х — хз - 15 > 0 или хг — 2х — 15 4 О, решение которого х Е [-3; 5). Значения х - — 3 и х - 5 являются решениями данною ...;.....,...гь ) -,.-... Я:..й ....- тетьпо. Поэтому разделим обе части данного неравенства на зто выражение (знак неравенства при этом сохраняется). Получим неравенство: бх — «т — 440 или хг — Зх+4>0.
Так как дискримннант квадратного трехчлена отрицательный. то зто неравенство выполняется длн любых значений х. Следовательно. ОДЗ данного неравенства х е [-3; 5) является и его решением. Яхвпт: [ — 3; 5[. 2О« Глиаи 5. Задами ни нив«ли нии 152а) Для решения уравнения сов х+ 2сов2х 1 используем формулу Лля косинуса двойного аргумента и основное тригонометрическое тождество. Получаем; сои л+ 2(соззх — а1пз т)-в!птх-г + совзх или сов х+ 2совтх — 2з1пзх- в1пзх+ сов!к или сов х+ «- ссвтх — Зз!изх = О или сов х+ сових — 3(1 — сов! х) = 0 илн 4совз х+ + соа х — 3 = О.
Введем новую неизвестную 1 - оси х и получим квал- 3 ратное уравнение 41'+ 1 - 3 = О, корни которого 1 = -1 и 1 = — . 4 Вернемся к старой неизвестной х. Получаем два уравнения: м соз х = -1 (решения х - к + 2кй, где й Е з) и соз х -- (решения 3 х=еагсссз — «-2кл, где н е 2). 4 3 Яунп«к+ 2кй; иагссов — + 2кн, где й, л е г. 4 153а) Используем формулу для разности кубов чисел. Получаем: 1.2и я!п х — созз х = 1 + — ' или (юп х - соз х) (в!из х + в!и х сов х .1- 2 24' ими и есовзх)=1+ или(вшх — ссвх)(1+в!пхсовх)=1«-мпхх 2 хссах. Перенесем все члены уравнении в левую часть и вынесем общий множитель за скобки; (в!их — сов х)(1 +з1п хсозх) — (1+ +з1пхссих)=0 нли (1+в!пх совх)(вшх — совх — 1)=0.
Произведение множнтелсй равно нулю, если хотя бь« один нз ник равен нулю. Получаем два уравнения. и!и24 а) ! + мп х сов х = 0 или 1 + —, - О, откуда з!п 2х = — 2. Это 2 уравнение решений нс имеет. т.к. ~ в!п 2х(С 1. б) мах — сов х-1-0 или з1пх — соя х= 1. Решим это уравнение методом введения яспомогате!ьного угла.
Разделим обе части 1 1 1 и уравнения на «(2. Получаем: -1- мп х — сов х - -г или соз- х «)2 «2 12 и ! ! хми х — юс — сов х = -~ илн з!п~х — -) = -1 . Тогда х — — ( — 1)" и 4 42 4 1 и и и атее!П-Г-+ КЛ -( — 1)и — + ЛП (Гдс Л Е 2) И Х = (-1)" — «- — + КЛ.
42 4 4 4 ()геж: (-1)и — — — + кл. где и Е з. 4 4 153б) В уравнении сов~-+х1 + сов(--х) =- 1 преобразуем — Х и 4«и «г и и левую часть в произведение: 2сов 5 — — 4 — соз -" — — 5 — - — 1 2 2 4. У аененик. не вснства, системы енса а и не вснств 202 к Сз 1 или 2со* — сов х = 1 или 2 — соя х = 1. откуда соз х- — и 4 2 42 1 к х = вагссш.т- + 2лл = -- + 2лл. где л Е г. 42 4 02ЯСХ: — — 4- 2лл, где л Е з. 4 154а) Запишем уравнение сов 4х+2соззх = 1 в виде 2совкх- 1 — соя 4х и используем йюрмузы понижении степени: 1+ сов 2х2я!пз 2х или 1 т сея 2х = 2(1 — соз12х) или 2созз 2х + оса 2х- 1 = О. Введем новую неизвестную ! соя 2х и получим квадратное урав- 1 пение 2П+1 — 1-0, корни которого 1 — — 1 и 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
