kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Вудсу: (О: ). 171а) Прн решении уравнения 1ойз х-4 — 3!оде« введем новую неизвестную 1=.!оззх н получим квадратное уравнение: 12= - 4 — 31 алн 12-1 31 — 4 - О, корни которого 1, = 1 и 1 — — 4. ВеРнемся к старой неизвестной х. Получаем уравнения: (об„х=. 1 (тогла по 1 определению х - 3' = 3) и (об х - — 4 (тогда х - 3 1 = — ). з 8! 1 Язишг 3; —.
51 ' 171в) ОДЗ уравнения )ойз /х — 5 + (ой„,/2« — 3 .— 1 опрсделяетсн успениями: х — 5 > 0 и 2х — 3 > О, откуда х > 5. Используя свойства шо Гииии 5. Задачи ни нивки ниг "и, ° ° <м)Г: Ги:2)= <)*- )) - )- =3. Возвелем в квадрат обе части этого уравнения! (х — 5)(2х— — 3) -9 нлн 2хи — 13х+ б-О. Корни квадратного уравненна х, = б ! в х = —, (не входит в ОДЗ). Отде: б. г 2 1726) Уравнение 16(3 + х — 17) = х)630 — х запишем в виде< 16(3*+х — 17)-1630"-1610 или !6(3 +х-17)=)6 —, нлн 30* <о* 16(З'+ х — 17) = 163", откуда 3" +х — 17-3" и х-17.
Щ~: 17. 1736) В уравнении )сй ха!об)-х — )об< х-б вычислим !обд--х= ) 2,.2 -2 н перейдем к основанию 3. Получаем". )об х+2 — * =6 2,2, 2 вли 1обзх+.2+)обзх 6 или 2!об х=4 илн 1ойзх-2. Тогда ло апредел<нию логарифма х = 32- 9, ()2661: 9. 1746) Прологарифмируем обе чести уравнения ими -125хз по основанию 5.
Получаем." !об х"и'*-!об (125хи) или )сб х.!обих = = !об 25+ !об хз нли 1оби х-3+ 2 1об х. Введем новую неиавесгную 2 = )об х н получим квадратное уравнение: Р-3+ 22 или <2- — 2< — 3- О. Корни этого уравнения <, = -1 и < 3. Вернемся к ста! рой .<еизаестной х. Имеем уравнения: )об х = -1 (тогда х = 5 ' = —.) 02292: —; 125. ! 2 175а) для решения уравнения 3!аб< юп х+ !об (1 — сои 2х)-2 используем формулу понижение степени н свойства логарифмов. Получаем; 31оби ею х+ !об. (2з!них) = 2 или 3!обита!их+ 1об 2 < +!об а!пз -2 или 31обзв!пт+1+21об 21пх 2 или 3!об<вши+ + 21обт мп х — 1 = О.
Введем новую неизвестную ! = 1оби юп х н по. лучик квалратное уравнение ЗР+ 2< — 1 = О, корни которого 2, = — 1 ! н < - —. Вернемся к старой неизвестной х. Имеем два уравнения. 2 3' ! ! „. ! а) !ой а)ох=-1, тогда з!их-2 '= — и х = ( — 1)"агсв!п — + ля = 2 2 2 и =- ( — ! )" . — <- хп, где и Е 2. е ! 2 < б) 1об з1пх- —, тогда и!их-2"= )2. Зто уравнение решений 2 не имеет, т.к. в!и х я 1. ~~П: (-1)" ° — Ели, где и Е 2, е 4. У снеек» ее ее»ястве, се<телы ееиги й и яг еенсте 27! 176а) ОДЗ неравенства !обз (хз — х — 4) < 3 определяется условием х! — х — 4 > О.
Запипюм неравенство в виде 1об (хз — х — 4) < 1о328. Так как основание логарифмов 2 больше единицы (лагарифмическан функция возрастающая), та логарифмируемые величины связаны неравенством того же знака хз- х — 4 < 8. Таким образом, данное неравенство эквивалентно системе квадратных неравенств хз-х — 4>0 1« — х — 4>0 2 или ~ 2 . Ре!пенис перного неравенства х -«-4<8 1« -х-12< 0' ! — »[77] [! т!7 «Е ~ О; ) изображено нв диаграмме сверху. 2 ~ ~ 2 Решение второго неравенства х Е (-3; 4) изобра»кено снизу.
Видно, что система неравенств (в, следовательно, и данное неравенство) вы- 7-477 [1 ° 777 полняется прн «Е ~ ; ~~ : ). 2 ~ ~ 2 1 1 — З»77) (!»(77 ) 1776) ОДЗ неравенства 1об! (10 - х) + !ой» (х — 3) > — 1 залаетсн условиями: 10 — х > 0 и х — 3 > О, откуда х Е (3; 10). Используя свойства логарифмов, запишем неравенство в виде 1об, ((10 — х) х ! х(х — 3))> 1об,б. Так как основание логарифмов — меньше едини- е цы (логарифмическая функция убывающая), то логарифмируемые величины связаны неравенством противоположного знака: (10— — х)(х — 3)< 6 или 10« — 30 — хе+ Зх< 6 или 0< «2 — 13«+ 36.
Решение втого квадратного неравенства х Е (; 4] О [9; ). С учетом ОДЗ получаем решение даниога неравенства х Е (3! 4] О [9; 10). Отде:(3! 4] О [9; 10). ]2«тзу= — 1 180а) Систему линейных неРавенств [5 т 4Р 1 Решим ме- -! — 2* толом подстановки. Из первого уравнения выразим у = и з -! — 2» подставим во второе: 5«+ 4 — = 1. Умиажим все члены з 212 Пчаео 3. Задачи ни носко ение уравнения нв 3 и получим: 15х-4-8х= 3 или 7х= 7. откуда 3=1. Теперь вайдем д - = = — 1. ЯХВаг: (1; -1). -1 — 2» -1 - 2 ! з 3 (д * 1З 181а) В системе уравнений д е сначала упростим перх+дн5 вое уравнение. Для этого введем новую неизвестную 1 = — и полу- д 1 13 чим уравнение: 1+ — - — или 612 — 13! + 6 = О.
Корни этого урана з 2 кения 1 = — н 1 — —. Вернемся к старым неизвестным. Имеем 2 2 3 дне системы уравнений. (д з з д= — х а) ~Х " или ~ 2 . Подставим первое уравнение ао (хеднб (х+дн5 3 3 3 второе: х + †х - 5 илн -х - 5, откуда х - 2. Тогда д -х— 2 2 2 3 — 2- 3. 2 ! д б) х 3 х+д=5 2 д = — х или ~ 3 . Подставим первое уравнение во (х т д = 5 2 3 2 второег х+ тх= 5 или -х.=5, откуда х = 3. Тогда д= — х = 3 3 3 - †.3=2. Таким образом, система имеет два решения (2; 3) и (3; 2). Ятвсуг (2; 3), (3; 2). 1826) Разложим левые части уравнений системы 2 3 е 232 )х д (д+ т) =12 3 э 2 4 на множители ~ 2 2~ 4 и разделим хд — хд =4 (хд (д — х)н4 х'д'(д ч- х) 12 д уравнения почленно друг нв друга: , „ = — нли — = 3 х'д"(д — х) 4 д — х или д+ х = Зд — Зх или 4х = 2д, откуда д 2х.
Подставим это соотношение. например, в первое уравнение: хз ° (2х]э+ хч(23)2 = 12 или 823+ 4х -12. откуда хз-1 их 1.Тогда д 2х-2 ° 1= 2. 023~1 (1; 2). 212 Е.у апенин, не аненстеи, системы авнениг и не сиеста (хзе уз= 7 183а) Для решения системы уравнений ( з з введем но(х у =-8 (ее г= 7 вые неизвестные 1 хэ н г уг. Получаем систему 1 . Из (12 = -8 ' первого уравнения выразим г = Т вЂ” 1 и подставим во второе: 1(Т— — 1) =-8 или О-П вЂ” 71 — 8.
Корни этого квадратного уравнения Г, - — 1 (тогда г, = 8) и 1 - 8 (тогда г. - -1). Вернемся к старым ясизвестным х и у. Получаем две системы уравнений. (х = Ч-( = -1 откупа ~ зГ (х=',ГВ=2 тогда ( з с —. (р = ч-~ = -1 ' 029521 (-1; 2), (2; -1). (х-5у = Т 184а) Для решения системы линейных уравнений (ах из первого ураннсния выразим х= 5у.е 7 и подставим во второе: а (5у Е 7) - у —. — 3 или 5ар т 7а — у = — 3 или у(5а — 1) =- — 7а — 3.
1 Если кож)фипиент при у не равен нулю (те. 5и — 1 и О изи и с 7), то уравнение (следовательно. и данная система) имеот единственное 1 решение. Если и - —, то подставим зто значение в уравнение и со- 5 1 лучим у О - — — — 3. Очевидно, что это уравнение (и даннан систе- 5 ма) решений нс имеет. 1 1 ьпвйт: при а и — — единственное решение, кри а = — — решо- 5 5 ннй нет. 2х > 3— 12е — 2 185а) Для решения системы исравенств ( ( — е — (х — 7) < 2 з* — ш .а 3 9 решим каждое из неравенств и найдем значении х, удовлетворяю- щис ораву обоим неравенствам.
Умножим первое неравенство иа положительное число 11, второе неравенство — на положительное число 18. При этом знаки неравенств сохраняются. Получаем: х>1 22х > 33 — 13х т 2 (352 > 35 3х+ 12х — 84 < Ох — 40 л (Ох < 44, кУда х < 4 " . Тог- 9 9 214 Глиии б. Задачи ии лизим!»ение да решение еистемы неравенств х Е ()! 4 -). ()ГЛП1: (11 4 в ! 61 61 9) ) ) хбг» +»ч(х = 30 187а) Для решения системы уравнений ~ г г вве(ех+9» =5 дом новые неизвеетные з = Гх и ! = )» (тогда 22= х и !2= »). полу- (222+ ггз = 30 (хг(х 4 !) = 30 чаем систему уРавнений ( 5 или ( ! 5 .
Рэзде(х+1 = 5 ). =5 м(э+ !) И1 лим первое уравнение на вторив! — = — или х! = б. Теперь !.ч! 5 (х! =б имеем еиетему уравнений [ . Из второго уравнения выразим х = 5 — Г и подставим в первое: (5 — !)! = б или 0 = 22-54+ 8. Корни этого уравнения 1, = 2 и ! = 3, тогда г, = 5 — г, = 3 и г 2. Вернемся к старым неизвестным х и» и получим две системы. ( /х = 3 (хтЗ =9 а) ~ ) 2, тогда ~ (ч(х = 2 (х=4 б) ( )» 3, откуда (» П2292: (9: 4), (4; 9).
(ыпхеоэу = 0,25 189в) Для Реп!ения енетемы уравнении (з)п»созх = 025 жим и вычтем уравнения системы. Получаем: шп (» ч- ») = 1 в1пхсов»+ еозха!п» = 1 ', откуда 91пхеоэ» — еозхе!п»= — 0,5 э!п(х — »)=— 2 ! з х т» = — 2яа 2 ь.! и . Сложим и вычтем уравнения этой сиетех — »=( — 1) - — -кй Х 1+! е 2 б мы з 2Х= — +2хл+(-1) .— +кй и . откуда 2» = — + 2тл — ( — 1) — — кй ' 2 6 ! з ! 1 ! э х = — + кл -1 ( — 1) ° — + — Д 4 12 2 2 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
