kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 36
Текст из файла (страница 36)
- —. Вернемся к 2 старой неизвестной х. Имеем два уравнения: сов 2х- — 1 (откуда к ! 2х-кт2лл и х- — +лл, где лез) и сов2х- — (тогда 2х- 2 2 1 к к = — агссав — + 2лй- — — + 2хй и х = — — + кй, где 2 Е 2). 2 3 а к к Пгйех: — + кл; 4: — + кй, где л, й Е в. 9 1556) В уравнении юп х + вш 22 + в1п Зх = 0 сгруппируем в левой части члены и разложим ес на множители: (я!и х+з1пЗх)+ +аж 2х=О нли 2в!и 2хсовх+в!и 2х О или юп2к(2совх+ 1)=0. Произведение множителей равно нулю, если хота бы один из ннх равен нулю. Получаем два уравнения: в1п 2х = 0 (тогда 2х = лл 1 и х — — л, где л Е з) и 2сов х + 1 - О (тогда сов х =- — — и х- 2 2 = -згссОв (- — ) 4.
2кй — — — — + 2лй, ГДЕ й Е Х). 2! 3 к 2к айаг: — л; * — 4- 2кй, где л, й е г. з 12 156в) Для решения уравнения —, - 11 — 2в!и х введем но тик !1 1Ь вую неизвестную 1-а!их и получим уравнение! — -11 — 2! 1+ 1 или 15= 111+ 11-2И вЂ” 21 или 2П вЂ” 9!+ 4-0.
Корни этого квад- 1 ратного уравнения ! = — и 1 = 4 (не подходит. т.к. ! х 1). Вернемся 1 2 1 1 к старой неизвестной х. Получаем уравнение я!их = —. решения 2 1 которого х = ( — 1)" агсяш — -1- кл = ( — 1)" ° — 4- хл, где л Е з. 2 Е к Пгйпг: ( — 1)" ° — ч-лл, где л е г. е гэе Глап Б. Задами па попам спас 1буа) При решении уравнения (б Зх — (б х = О зшшшсм таншнсы и!пзх с!ах — оопзхп х через синусы н косинусы; — — = О или опзх соек и!пза Зпшхсмх ссп х =О или .=О или =О нли =О. Дробь равсса Зх сох х соя Зх со» х оы Зх иа нулю, если се числитель равен нулю, т.е.
п(п х = О, откуда х = лл (где л б 2). виват: кл, где л Е 2. 4442» 2с 158а) Для решснил уравнение агссов — = —,' используем 3 3 ! 2х 2л ! 2 определения арккосинуса и получим: — = соз-- или 3 3 3 ! — или 2 + 4х - — 2 или 4х - — 5, откуда х = — — . 2 4 Зх Зл Щнет! ~ — — -!- 2кл; — е 2кл], где и Е 2. 4 4 где л Е г. 150в) Для решения неравенства 2в(п хя 1 используем формулу понижения степени: 1 — соь.
2хб 1 или -сов 2хе О. Умножим обе части на отрицательное число (-1). При этом знак неравенства меняетси на противоположный. Имеем сов 2х>0. Решая это неравенство, например, с помощью тригонометрического круса, получим . (з. ),(24 159а) При решении неравенства в1п ~ — — х~ С вЂ” используем ~ 2 ~ 2 42 формулу привсления и получим: — сов хи †. Умножии обг час- 2 тн на отрицательное число (-1).
Знак неравенства меннется иа (22 противоположный: сов х> — †. Решим это 2 неравенство с помощью тригонометрнческо- 4 го круга. На оси косинусов отложим знаД чение — — и построим соответствующие Зл Зп /2 4 углы х = и — „для которых соп х = — — . 4 2 Видна, что решенном неравенства бутут Зг Зп значения — — с хе —. Учтем периодичность функции косинус и 4 4 Зл Зп получим решение липкого неравенства х Е ~- — 4 2лл; — 4 2кл~, 4 4 ' 4.
У иингнил, нс аиснслсиа. с стили имении и нг иигнгтн 267 л «л — — + 2ялс 2х< — + 2кл, откуда хе ~ — +кл; — + ял], где л ех. 2 2 4 ' 4 л и Яд)321 хЕ ~ — — + ял; — + пл], где л Е 2. 4 4 161а) Неравенство ~ сов х — 1(К 0,5 эквивалентно двойному неравенству -0,54ссмх-14 0,5. Ко всем частям прибавим число 1 и получим неравенство 0,54 сои хя 1,5. Правая часть неравенства выполняется при всск х. Поэтому двойное неравенство эквивэлентно неравенству соах30,5. Решая зто неравенство, получим х Е и и Е ~ — 4- 2пл; — э 2ял], где л Е 3. 3 3 я, н Ошпдс [- — + 2кп; -и 2ял], где лез.
3 3 1626) ОДЗ неравенства !об зш х > 1 задастсл условием э(п х э О. Запишем неравенство в виде )об„а(п х > !ойе 50,5. Так как основание логарифмов 0,5 меньше единицы (логарифмическая функция убывающая), то логарифмируемые величины связаны неравенством противопололсиосо знака э!и х . 0,5. Таким образом, даинсс неравенство эквивалентно двойному неравенству 0 < в)п х < 0,5. Решая зто неравенство, находим хЕ ~2яп! — с 2кп]си~ — + 2яп; я+ 2ял], где 6 ~ ~6 и ( эи л Еэ, Огиздс ~2кл( — и2кл ~си! — +2кп; к+2кл].
где л Е г. 163а) Используя свойства степеней, запишем правую часть 1 уравнения 0,2* 'э* 215 = 5Я в виде степени числа — = 0,2. Полу- 5 чаем: 0,2* чэ* эгэ = 5' = 0,2 ьэ. Так как равны степени (с олинаковым основанием 0,2), то равны и показатели степеней: хс — 16х— — 37,5 = — 1,5 или хэ — 16х — 36 = О. Корни этого квадратного ураннения х, = 18 и х, =. — 2.
ь'сдпг: 18; -2. 164а) Для решения уравнения 54* — 2 ° 52""1 — 3 52" 2 = 50 в правой части вынесем множитель 51 2 за скобки: 52 1(51 — 2.5- — 3) = 60 или 5м 2 12 =.60 или 52* 1= 5, откуда Зх — 2 =1 и х = 1. атак!: 1 16М) Запишем уравнение 51' '+ 34 52* 7 ° 5 в вндс 5 ° (5*)э+ + 34 (э )э= 7 5' и введем новую неизвестную ! = 5" > О.
Получнем кубическое уравнение 51*+ 3411= 71 или 512 т 3422 — 71 =- О. твк как гиО, то разделим все члены на 1 и получим квадратное урав- гоа Глене 5. Задачи ни винте ение ! пенне 512+ 341 — 7 = 0. Корни этого уравнения 1, = — и 1 — -7 (нс подходит, т.к. 1> 0). Вернемся к старой неизвестной х. Имеем 1 уравнение 5"= —, откуда х - -1. Щдгп: -1. э 166г) Все члекы уравнения 3 16'+ 2 81*= 5 36* рвзделим на выражение 36"иО.
Получесм: 3 ~ — ) +2 ~ — ) = 5 илн 3 ° )-) + 141 (Эб) (гб) (9) (в)" +2 ° 1-) =5. Введем новую неизвестную 1=1-) >О н получим (е) 2 уравнение: Зс+ — = 5 илн ЗИ вЂ” 51+ 2 = 0, корни которого 1, = 1 и г 1 - †. Вернемся к старой неизвестной х.
Имеем урввнения: ! -) = 1 2 ~) 1 1 1 (откуда х 0)и ~-) = — = ~-) (тогда х †). (хдщг: 0; — . (е) 3 (9) 2 2 167в) Используем основное тригонометрическое тождество и запишем уравнение 2и" '+ 2 " "= 3 в ниле: 2ин '+ 2' "" "= 3 2 или 2и" + —,=3. Введем новую неизвестную 1= 2ин >0 и 2 '" 2 получим уравнение: 1 4 — = 3 или И вЂ” 3! + 2 =- О. Корин этого квдэратного уравнения 1, = 1 и 1 - 2. Вернемся к старой неизвестной х. Получаем уравнении: 2ич *= 1 (тогда в!пэх — 0 или в!и х = О.
откуда х=ял, где л Ег) н 2"" = 2 (тогдв в!игх= 1 нлн*!их=-1, от- куда х —. — +яд, где д е з). Решении х = ял и х= — 4. лд можно г 2 объединить бюрмулой х = — т, где т Е з. 2 Огюст: —, т, гпе а Е з. 1б 168а) Для решении неравенства г — > ~ — ) запишем его ле- 122 12 ) «ую часть в виде степени числа —: -ж- = -г; = —, = 2 = ! —,) Тогда данное неравенство имеет вид: ~ — ) «~ — ) .
Так как осно- (2) (2 1 ванне степеней — меньше единицы (покэзвтельная 61ункция убы- 2 4. У звенел, х зеечстеа, системы везении и ве овен<те 209 веющая), то показатели степеней связаны неравенством противо- 3 в в положного знака; -- з 3 т х, откуда х > - †. Ятвдк ! — —; ). 2 2 169а) Неравенство 0,04' — 26 0,2" т 25< 0 запишем в виде (0.2*)2 — 26 0,2" т 255 0 и введем новую неизвестную 1= 0,2'.
Получаем квадратное неравенство П вЂ” 261-5 25 5 О, решение которого 141< 25. Вернемся к старой неизвестной х и получим неравенство: 140,2" < 25 или 55< 5 "х 52. Так как основание степеней 5 больше единицы (цоказательная функции возрастающая), то показатели степеней связаны неравенством того же знака: 04-«Х 2. Умножим все чисти неравенства на отрицательное число (-1).
При зюм знак неравенства меняется на противоположный: 0 > х > — 2. ()2)ю11 [-21 О). 170а) Так как 3 > 0 при любых значениях х. то разделим все члены неравенства «1. 3" — 3" ' < 0 на выражение 3". Знак неравенства сохраняется. и получаем квадратное неравенства «2 — 3 < О, решение которою —,/3 5 хх 5/3. ьчвшт1 '(-5/31 5Гз~. 170г) Для решения неравенства 2"'1 — 2" 5 — 2"'4 > 5" — 5" ш разложим ею части на множители: 2™(1 — 2 — 22) > 5" '(1 — 5) или 2 '1( — 5) > 5"'(-4).
Умпожим обе части иа отрицательное число (-1). Знак неравенства меняется на противоположный 2' 1 ° о < 5" ' ° 4. Разделим обе части на положительное число 21 ° 5 н получим: ., < ', или 2" < 5 . Разделим обе части и» по- 2' 5 2'.5 2' 1О ложнтсльное выражение 5'. Имеем: —, < 1 или — < — ~ . Так 5' как основание степеней — меньше единицы (показательная функция убывающая), то показатели степеней связаны неравенством нротнвоподожного знака: х > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
