kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 34
Текст из файла (страница 34)
ЯОШГ! У>ОпРихЕ(- 1)обз2) н У<0 пРи хм()об 2; ). 118б) Область определения функции у = !б (х — 2) — 1 ))(у) = (2; ). Найдем промежуток, на котором значения Функции положительны. Решим неравенство: )б (х — 2) — 1 > 0 или )б (х — 2) > 1 или )б(х — 2) >)310, атвудах — 2> 10 их>12, т.с. хЕ(12; ). Очевидно, что на промежутке х Е (2; 12) значения функции у < О. ЩШЛ". У>О ПРИ ХЕ(121 ) Н У < 0 ПРИ ХЕ(21 12). 119а) Область определения функции у(х) = 5*+ 5 ()(у) й— симметричное множество. Найдем у( — х) = 5 '+ бч "1= 5 "+ 5 = = 5" + 5 "= у(т). Так как у(-х) = у(х), та Функция д(х) по определению четкая.
Яущг: четная. 123в) Функция у = 2!" определена на Я и является четной, Поэтому сначала построим график этой функции при х Э О. В этом промежутке функция имеет вид у, -2". По свойству четной функции отразим эту часть графика влево относительно оси ординат. Получаем график данной функции. Яущу: см.
график. 12бб) Для решения нера- 2 венства 1х — 2 < — построим графики функций у =э(х — 2 2 и у = †. Видно, что графики этик функций пересекаются в единственной точка А, абсцисса которой .т = 3. График первой Функции располагаетсн не выше графика второй функции на промежутке х Е [2; 3). Яхту: [21 3[. ЗФ як ии 19Т 127) Для нахождения наибольших значений функций сначала рассмотрим их основания. Очевидно, что 2 < 3 < 21, поэтому )об 2 < < (об!3 < !об 2 нли 1 < !об!3 < 2. Так как основание !об!3 > 1 поз з каэательиой функции у = (!об 3)"', то эта функция возрастающая. Тогда эта функция ямеет наибольшее значение, если показатель стснени наибольший, т.е.
а!их=1. Зто зкачение функции равно у =(!об,б)! = )об 3. Очевидно, что 1 < 2 < 3, позтомУ !об 1 < )оба 2 < )об 3 изи 0 < < Узбз2 < 1. Так как основание показательной ФУнкции У - ()об 2) меньше единицы, то эта функция убывающая. 'Тогда функция имеет наибольшее значение, соли показатель стенсни наименьший. т.е.
1 соа х = — 1. Эго значение функции равно у = (!об. 2) ' = = !об,З. !48„2 Видна, что нанболыпие значения двух данных Функций равны. Птвпг: доказано. 1 128а) Если Г(х )-О, то выполняется уравнение -з(гхоз = О. ОДЗ уравнения определяется условинми: 4хо — 1 > 0 ! (откуда к„> — — ! и 1 - х„з> 0 (тогда — 1 <я„< 1). Нахолим ОдЗ: 4 1! Г з хзб '(--! 1 . Запишем уравнение в вилс: — — — =. 91 —.тз, ,!44„1 1 Возведем обе положительные части в квадрат: — = 1 — хо или 4 „41 1-(1 — х!)(4 О 1) или 1-4х — 4хз+1-хз или дхзтхз — 4х =О.
а а о о а о с о Разложим левУю часть УРавнениЯ на множители: хо(4х„т г хс— — 4) = О. Так как произведение множителей равно нулю, то хотя бы один из них равен нулю. Получаем два уравнения. а) х„= О. Зтот корень входит в ОДЗ уравнения. б) 4хз+ хе-4=0. Это квадратное уравнение имеет корни хо= Яз . причем в ОДЗ входит только корень хо- 8 8 -1 + уб5 Ответ! 0; Я +! ( 1 )"' 120а) Найдем производную функции Дх)-1-,! .
Получаем ! Д(х(=н !п — (хе!) =Н .)и-. Показатсльнах Функции (з~ з (з~ з' ! 1 (З1 > 0 ири всех значениях х. Множитель )и — < О. Поэтому 3 производная 1'(т) < 0 при любых значениях х. Следователыю. Функ*1 (1) * ция Дх) = ! — ! убывает на множестве Е.
Щвдг! доказано. (з! 193 Глава 5. Задачи «э «ав«ю г«иг $4. Уравнения,неравенства, системы уравнений н неравенств 136а) Для решения линейного уравнения 3(х — 2) — 5 = 4 — (5х — 1) раскроем скобки в обеих частях Зх — 6 — 5= 4 — 5х+ 1 и приведем подобные члены Зх — 11 - 5 — 5х. Слагаемые, зависящие от х, перенесем в левую часть, не зависящие от х — в правую, изменяя их знаки на протнвоположныеч Зх + 5х = 11 + 5. Вновь приведем подобные члены 8х = 16.
Разделим обе части уравнения на числа 8 и найдем х = 2. Жшпч 2. ! -3 1316) Так как ~ ч- 5 = 4. то выражение, находящееся под ~ 2 знаком модули, равно в4. олучаем дэа уравнения. х-3 х 3 а) +5=4, тогда = — 1 илих — 3=-2 и х=1. 2 2 г — 3 « — 3 б) +5 — 4, тогда =-9 или х — 3- — 18 и 2=-15. 2 2 Ят222: 1; -15. 132а) Линейное уравнение ах — 22= 3(х — 1) запишем в виде: ах — 2х Зх — 3 или ат — 5х — 3 или х(а — 5) - -3. Для нахождения неизвестного х кадо раздеиить обе части уравнении на коэффициент (а — 5).
Разделить можно, если втот коэффициент не равен нулю, -3 т.е. а а 5. Тогда уравнение имеет единственное решение х = в — 5 3 — . Выяснмм, какие решения имеет уравнение прн а = 5. Под- 5-в ставим это значение в уравнение х(а — 5) = — 3 и получим: х О = -3. Такое уравнение решений не имеет. ьмй2т: при а а 5 — единственное решение, прн а = 5 — ве имеет решений. х — ! 133а) Умножив обе части линейного неравенства + х < 2 < 1,53+ 3,5 на положительное число 2. Прн этом знак неравенства сохранястсяч х — 1 + 2х < Зх + 7. Члены, зависящие от х. перенесем в левую часть, не зависящие от х — в правую.
Приведем подобные члены: ха 2х — Зт< 7т 1 или О.х< 8. Это неравенство выполняется при любых значениях х. Поэтому рсшеиие данного неравенства х Е (; ). Жам: ( —: ). - 7( 134в) Умножим обе части неравенства — < 2 на положи- 2 тельное числа 3. Знак неравенства сохраняется и получаем: (х— — 7,'а б. Это неравенство эквивалентно двойному линейному неравенству: -6 а х- 7< 6. Прибавим ко всем частям неравенства 4. У ааиеаиа, ае аееастаа, сметены анемии и ае секста 189 число 7 н получим: — 6+ 7 < х — 7 Е 7 С б + 7 нли 1 4 х < 13, те. х 6 [1; 13).
Щнст: (1; ! 3). 8 135в) Очевидно. что число х = — не являетса решением нераз вснства (х — 4)(5 — Зх) < О. Разделим обе части на положительное выражение (5- Зх(. При атом знак неравенспю сохраняется и получаем линейное неравенство х — 4 < О, откуда х < 4. Учтем, что 8 с) (8 ха —, и найдем решение лепного неравенства х 6 1; — [ш ( —; 4). з' 3) '(3' Оевет: ~ 1-~се~ —; 4~. 1Збв) В уравнении (х — 3) (х — 2) 6[х — 3) последний член перс- несем в левую часть и вынесем общий множитель (х- 3) за скобки.
Имеем: (х — 3) (х — 2) — 6(х — 3) = 0 илн (х — 3) (х — 2 — б) = 0 или (х — 3) (х — 8) = О. Произведение множителей равно нулю, если хотя бы олин нз ннх ранен нулю. Получаем линейные уравнения: х — 3=0 [корень х-3) и х — 8 =. О (корень х=-8). ()убей: 3; 8. 137а) Пусть хс — сбший «о[юнь лвух данных уравнений. Тогда выполняются равенства: хс — ох =О и хс — х — За О.
Вычтем нз о о с о первого равенства второе: «з — ох — (хе — х — Зо)-0 или -ох + с о о а а за + х„+ Зо = 0 нли Зо = х„(а — 1), откуда х„- — общий корень. Подставим это значение хо, например, в первое уравнение: ( — ) — о~ — )=0 или ~ )~ — -о~=О За'(4 - а) или ~ — ( ~ ~аО или, =О.
Дробь равна нулю, а — 1 а-1 ( -1)' если ее числитель равен нулю, т.е. Зос(4 — о) О. откуда о = 0 и а = 4. Проверим найденные меаченин. а) Прн о = 0 данные уравнении имекгг вид: хе = 0 (корень х - 0) и хз — х-0 (корнн .т, — 0 и х -1). Поаепму уравнения имеют общий корень х„-О. б) При о 4 данные уравнения имеют вид: хс — 4х= О [корни х,=О и ха=4) и хз — х — 12-0 (корни х,— — 3 и хз 4). Видно, что уравнения имеют общий корень хе = 4. [)[ВШ1 о =О. о-4. 138а) Рассмотрим уравнение [д — 1) хз+ (й+ 4) х + Ф е 7- О. Так как коэффициент прн хс завясит от параметра Д, то возможны два с.тупая. а) Если й = 1. то данное уравнение линейное: 5х + 8-0 и имеет 8 елинсгнеиный корень х = — - .
8 Глава 3. Задачи ыа аовмо иис 5) Если й в 1, то данное уравнеыые квадратное. Квадратное уравнение имеет единственный корень, если дискриминант равен нулю. Найдем Р (й+ 4)2 4(й 1)(й+ 7) й!+Зй+ 16 4йз 24й+26 = -Зйз — 16й+ 44. Получаем уравнение: Зйл+ 16й — 44 = О. корни 22 которого й 2 и й =- —. Пры этих значениях !г данное уравые! 3 22 ние имеет единственный корень.
Ятвыг: 1; 2; — — . 3 139) Длл квадратного ураыысния З»2 — 5» — 2-0 выполняются Ь 5 с 2 бюрмулы Выетв: х +» - — — = — и х х = — = — —. Теперь найдем 3 ! 2 а 3 сумму квадратов корней! х !+ »2= (» !+ хл+ 2»,хг) — 2хгхз= (х, + 2 (5) ( 2) 25 4 зт + х„)2 — 2» х = (-~ — 2'1- — 1= — + — = — = 4 —. Затем определим 12=(З) '( З)в Е З= В = З' сумму «убое корней: х 3 т »З - (х, + х ) (»2 — ххл+ х 2) = (х, -!- » ) х 5/31 2) 5 43 215 х(хз+х! — х х )- — ~ — +-!=— 3(9 3) 3 5 27 5 2 3! 215 Отмк: х +х = —, т х = — —, хг+хз= —, тз+ хз= —.
3' 12 3' ! 2 9' ! 2 2? 2 3 15 140в) В уравнении —,+, = —, разложим знаменалсс5» 2»-!О к — 25 2 3 Ш тели дробей на множители: + = . Умно(» с 5) 2(л — 5) (л с 5)(л — 5) жии все члены уравыекия на 2»(хч-5)(х-5) и получим 2.2(х— — 5)+ Зх(х+ 5) = 15 ° 2» ыли 4х -20+ 3»" + 15х = ЗОх нли Зхз— — 11» — 20 =О. Корни втого квадратного уравнения х = — — н з хт-5. При » = 5 знаменатели дробей х — 5 равны нулю, поэтому 4 Я2332! — —. 3 этот корень не водходит 2 (»-1) (г-1) 1413) Для ре!пения уравнении ~ ) — 3! )+ 2 = 0 введем л -! 2 новую ыеизвестную ! = — и пОлучим квадратное уравнение !— — 3! т 2- О. корни которого 1, - 1 и ! -2.
Вернемса к старой неизвестной х. Получаем два уравнения. ' — ! а) = 1 илн х — 1 = х. Это уравнение корней не имеет. -1 б) = 2 или х — 1 = 2х, откуда х = — 1. Яудеус — 1. л 142в) В неравенстве (Зх — 2)" — 4» (2» — 3) > 0 раскроем скобки н запишем неравенство ы стандартном виде. Получаем! Зхг- 12х+ 4. У внених, не вен«тви. вист«ми внениа и не ив«яств 201 е 4 — 3«3 + 12х > 0 или «14-4 > О. Зго неравенство выполняется прн всех значениях х. Поэтому решение данного неравенства х О ( —; ). [)тиг: (-; ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
