kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Найдем д(-х) = 4(- х)з — 2( — х)з+ ( — х) —. — -4х + 2хз — х = -(4хз — 2хз+ х) =- -д(х). Так как выпояняетс» равенство д( — х) — д(х), то функция д(х) цо опреде тени ю нечетназ. Одасу! нечетная. Глава 5. Задачи на лсато зис Гз 96в) Область определения фуншгни у =,— з залаетсн ус- 43 3 2 ловием >ГЗ ом х — — з О (т.к.
делить на нуль нельзя), откуда пслу- 2 ,Гз Гз чаем сае т и — . Решая ато неравенство, находим х з еаттчхм — 4 2 2 т + 2кп - с — + 2кл, где л Е х. Таким образом, область определения з функции — все т. кроме х = е — + 2кл. з х ьхвлг: зсе числа, «раме чисел — + 2хл (гле л Е 2). з ° ч ° ° -тур*:-.** условием юпгх — созгх > О (т.к. подкорениое выражение неотрицательное) или О 2 сает х — миг х или О > саз 2х. Зто неравенство вьшолч Зз яяется во второй и третьей четвертях, т.е. — ' Е 2кл < 2х 4 — + 2кл, 2 2 т зз [т. Зз откуда — +клххх — екл. т.е. Ю(у)= ~ — '+кл; — + кл~, где лег. 4 4 ~4 4 [з Зз Огз~т ( — + кл; — + кл1, где л Ез.
97г) Область определенна функции у = чГз!пх ч- /сов х задается условиями юп х > О и сая х з О. Зги неравенства выполняются в первой четверти, т.е. О+2клкхх — +2кл или В(у)= 2кл; — 42кл|, 2 [ 2 ~де л Е т. [)ув~: [2кл; — + 2хп|, где л Е г. 2 х Х 98а) Функция етп- ограниченна, т.е. -1 < юп — Х 1. Умиожим 2 г все части етого неравенства на отрицательное число ( — 3). Знаки неравенства при етом меняются на противоположные: 3 > > — Зз!п — >-3. Ко всем частям неравенства прибавим числа 1 и 2 палучимт 4 21 — Зз!п — З вЂ” 2 или 4 >уд — 2. т.е.
область аначений 2 данной функции Е(у) = [ — 2; 4[. Оудп(: [-2: 4). вм 939) Учтем. что 49 х †. Поэтому область определения данссч х ной Функции аадается условием соз х и О. Если соя х = О, то из асновното тригонометрического тождеспю з!п х - е ч1 — соз х - х1. Г г Запишем дакную Функцию у-2соз х 29 х в виде у = 2соз хи !91 З.Ф лк ии в1пх х — = 2в1п к. Очевидно.
что выполнено нерввеиспю — 2 < 2мп х С 2. Однако, т.к. соакпб, то а!пххя! и 23!пххя2. Повюму область значений функции Е(у) - (-2: 2). О)932: ( — 2; 2). юпк амх 99г) Функцию у Сбх+с46к запишем в виде р пав й М в1п'х а и х 1 2 2 — — . Функция в(п 2х огра- Япхсих юпк их зю» вк вм2.х ничеяна, т е. - 1 < 3(п 2к 4 !.
Из этого неравенства можно ппв учить: 1 1 2 2 — < -! или — 2 (, тогда — < -2 нли — В 2. Таким сбюп2х юп 2х и» 2к юп 2к разом, область значений функции Е(у) - (-; — 2) О (2: ). Япжу: Е(у) (; -2) с) (21 !. 1006) Сначала найдем промежутки, на которых функция у = ! — !6 Зк положительна. Для этого решим неравенство ! — 16 Зх > 0 нли 162х< 1.
Введем новую переменную х Зк и получим неравенство !З 3 < 1. На сон тангенсов отложим значение 1 и построим соответ- л ствующий угол з - †. Неравенству удовлетво- 2 ряют величины — — <з < —. Учтем периодич- 2 4 ность функции тангенс: — — -1- кя < х < — + кл. где л Е г. Вернемся 2 4 х к теперь к неизвестной х. Получаем: — -+ лл < Зх < — + нл.
откуда г 4 й й л к — — а -л < к < — + -л, Таким обрваом, у > 0 на промежутках Е 3 12 3 к к к к ~ — + — л; — + -л~. Аналогично нющем. что у < 0 на промежутках в з ы з (л к к к ,— +-л; — +-л~. (12 3 С д й й й й (к к й х Отмт; у> Она (- — +-л; — +-л ), у<Ока ~ — +-л: — +-л~. а 3 12 3 (12 3 Е 3 где л Е г. япхаав х 1016) Область определения функции у(х) = ()(р) = - (; 0) Н (О; ) — симметричное множество. Найдем у(-х)- ' (- ) *(- ) - * и р(х). Учтено. что йш х— х нечетная функцяя (т.е. вш (-х) = -вшк) и сов х — четная функция !92 Глава 5. Задами на новмо ение (т.е.
соа ( — х) сов (х)). Получили. чта у(-х) - у(х). Тогда по определению функции у(х) — четнан. ~веет: четная. — л 101в) Область определения функции у в1п —, в!л х В(у) = л -! =(: -1)О(-1; 1)О(1; » — симметричное множество. Как известно, функция у(х) = яп .т — нечетная, т.е. у(-х) = — у(х). надет: нечетная.
102г) Функцию у (япх-е-сазх)2 запишем в виде: у=в!пзх+ + 2яп х со*.г 4- сове х = (з!лг х + созт «) + (2в1п х соз х» = 1 е в!л 2х. Функция у = 1+яп 2х периодическая н ее наименьший положи- 24 тельный период Т = — = к. Ягдуд: периолическая, г. 2 104в) Найдем производную функции у-з!ах-амх.
Получаем у'-сов х — ( — яп«) = сае т; в!и х Приравияем производную нулю: сан хч-юпх=О или 1+ !ух=О изи Збх = — 1. Найдем критические точки х = — — + кл, где ! л Е 2. На тригонометрическом круге отло. я Зй 4 жим углы х = — — (при л =-0) и х = — ' (при 4 4 л — 1). Определим знак производной у' = -сов« е з!их, например, при «=0: у'= сов О+ вш 0= 1 > О. Прн Зн переходе через значение х = — знак производной меняется на 4 противопотожный, т.е. у < О. Поэтому точки максимума х„,„= Зн ЗЛ Зл 42 ( 42 ! = — + 2кл (где л 0 2) и Ув „=.
У(х, ) =- в)п — — саз — = — — — — ! = 4 4 2 ~ 2) й и = т2, точки минимума х„,„= — — + 2кл и у„„„=у(х„„„)= зш)! — !— 4) — соз~--~=- — — — = — Г2. агнце: у„,„„=аг2, у„ан-- )2. н! 4ГЗ Г2 4~ 2 2 10бб) Функцию у=.4П-савах запишем в виде у=4)з!азх =- =) в1п «). Сееачала построим граФик функции у, .= в!и х. Там, гдг ялха 0. функции у,-ял« н уз-)з!ах) совпадают (поэтому зги части графиков у, и у также совпадают). Там, где в!п х < О, функция у = — яп х = -у,. Позтому, чтобы построить такую часть графи- шз 2 3. Фуллчив ка функции у, надо честь графика функции у, зеркально отразить вверх относительно оси абсцисс. ЯП(02: см.
график. 106в) Сначала построим график функции у = си х. Для функции у пихт ~ соек! раскроем знак модуля, используя определение: совттсовт, если совх>0 (2совх, если совх>0 у = . Поэтому совх — соэт, если совх<0 (О, есви совх<О на промежутках, для которых сов х э О, строим функцию у = 2д, = = 2соз х. На щюмежутках, для которых сов х < О, строим функцию у О. Жвю! см. график.
108) Запишем уравнение в!п — = хэ в виде э!п — — хэ = 0 и рас- 1Е 1О смотрим Функцию !(х) = вш — — хэ. Легко проверить, что эта Функ1З ция аечетная. Екти данное уравнениеимеет коренья, то вьшолняегсн равенство 7(хе) = О. Найдем П вЂ” х„) = -7(хз) = — 0 = О. Слеловательно, число ( —.т„) также корень данного уравнения. ьмдйу! ла. 1! 109а) Используем формулы приведения н получим: мп! к + - 1- .Г 1 1 .=-вш — и соэ! як-1= -сов †. Оценим число —: 0 « — —.
На л к) к и Е «! промежутке ~0! — ! функция синус возрастающая, а косинус убыва1 л 1 1 ющая. Поэтому: и!и О < ма — < в(п — (или 0 < в!и — < — ) и сов О' л В к 2 1 к 1 (з >сов- >со*- (или 1>сов- > — ). Из сравнения неравенств в 2 1 1 следует, что зш — < с!и-. Умножим обе части этого «еравенсгва иа к и отрицательное *!испо ( — 1).
При этом знак неравенства меняется на 7 Г!р!иии Глава 5. Зздэи» зе асеюс ээг 194 противоиачожный. л получаем« вЂ” з!п- >-сгм-, т.е. з!я[34 — > г >сов[к+ — . Яхт: вш~хл--1>сов к+ — . э] л~ ! з! 110а) Преобразуем левую часть неравенства в!па+ сова> 1, ис«юльзуя вспомогательный угол. Получаем: вша+сова=«12 х х! в1па+ сова!= 12!сов-в!па+*!а-сова~=423(п1и+ — ).
л з Обозначим г = а + — . Так как О < а < —, то А 2 Е з г л л эг — < а+ — < — + — или — <г < —. Из рн- 4 4 2 4 4 4 сунка видно, что для таких г величина юп г > ]2 > — . Умножнм обе части этого неравенства 2 на положительное число «Г2. Знак неравенства сохраняется и получаем «12 в!пг > > /2 ° —,т.е.
«Г2з(пг>1илиашал-сова>1. [)2впт«дшшэано. Гг 2 1106) Очевидно. что -1 < в!п и< 1 при а б В. Построим углы, равные Я1 (радиану). Очевидно, что промежуток [ — 1; 1] црннадле- з з) жит промежутку ~- -' - !. Очевидно, что при 3 3] — <г < — величина сов г > О. Поэтому н 3 3 сов (з(п а) > О при а Е Я. Отша: доказано. 111б) Длл решения уравнения !Ох = = «12 сов» нв промежутке — — < х < — по- 2 2 строим гРаФики функций у, -гб » и у = 42 с«м х.
Видно, что граФики этих функций пересекаются в единственной точке А. Абс- циссв этой точки х- — — единственное рс- 4 шсние данного уравнения. [)хдю: — . 4 1еэ 3, гв ливии 112а) Область определения функции у =916х — х задаегся ус- Г з ловком 16х — хз> О (подкореиное выражение должно быть исотрньмтельным). Решим зто неравенство методом интервалов: х(16— — хэ) З О или х (4+ х) (4 — х) З О. На днаграмме приведены знаки выражения 16х — х".
Видно, что иеревенспю выполнено ари хЕ(-; -4)О[О; 4), ~то н является областью определения П(р). Я2992: (--; -4) О [О: 4). "=Р: ':-' условием хз 3 — Зь и > О (подкаренное выражение должно 6ьггь неотрицательным). Решим это нераненство: 3" (хз — 3) > О. Так как при всех х функция 3" > О, то разделим обе части неравенства на 3 . При этом знак неравенства сохраняется и получаем квадратное неравенство «з — 3 > О. Решение атого неравенства х Е (: — ьГЗ) () П [ ГЗ: ) нвляется областью определения данной функции ()(д).
ахжу: (--: —,[3 ) и [.~з; -). ы [за з) 114в) Область определения функции у = задается уе- «-» в з ловиямн: Зх — 2 > О (логарифмическая величина должна быть положительной) н хз — х — 2 е О (делить н» нуль нельзя). Решая пер- а все неравенство, получаем х > †. Рсозан второе неравенство, нахо- 3' дим: хе — 1 и ха2. Учитывая эти результаты, получаем область оп(юделениа функции ()(у) = ~-; 2~ () (2; ).
(г ~з' ЩвШ: ~ —;2)П(2; ). (з 1)ба) Функцию р-Зх з запишем в зиле у- —, Так как хе> О, 3 3 то О « —, . Поэтому область значений данной функции Е(р) = =(О: !. Отак: (О' ). 116а) Учтем, что функция косинус ограничена, т.е. -1 < соа х 1. Показательнаи функция с основанием 2 возрастающая.
Поэтому !эа Глене Б. Задо и на наста ение получаем! 2 < 2 я 2' или — С 2 < 2. Следовательно, область 2 ') значений Ф)нкции у-й Ь(д)-1-1 2~. Яущд: 1-1 2~. ~2 ~2' 117в) Область определения функции д = 2 — 3' ))(у) Л. Сначала найдем щюнежуток. иа кагором Функция положительна. Решим неравенство: 2-3 > 0 или 2 > 3, откуда !обэ2>х или х м (— )абэ2). Тогда очевидно, что нв промежутке т Е (!об 2; ) значения функций у < О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
