kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 28
Текст из файла (страница 28)
()Хвсх: см. график. 5365) Найдем производную функции /(х)= 1бх на промежутке хб ~ ' . Получаем /'(х)- 2 2/' 1 = — > О. Так как производная ее* х ~(х] положительна, та функция 1(х) возрастает. Позгаму Функция ](х)-. 13 х имеет обратную Функцию з(х)-агс)зх. По свойству обратных функций график обратной функции З(х) симметричен графику Функции г(х) относительно бис. сектрисы первого и третьего коорЯтавет: см. решение днпатных углов.
$11. Производная показательной н логарнфмичеекай функций 538а) Учтем правило нахождения нроизволной ат суммы функций. Для Функции у =-4е -!-5 найдем производную: у'-. (4е*-!- 5)'- -. (4г')' -1- (5)'.= 4(г')' — О = 4е". атлет: 4е'. 538г) Используем правило нахождения производной длн разности функций. Длн Функции у=5е' — хз найдем производную: у'-(Зг ' — «)'-(5г *]' — (хгг'-5(е ')' — Зх-бг ".(-х)' — ух = 5е "( — 1)— — 2х= -5е "- 2х.
Ответ: -5г '-2х. 539а) Учтем правило нахождения производной от произведения функций. Для Функции у = с'сан х найдем производную: у (г сов х) (г ) сов х те (сове) . с*сов х ! е ( — в)пи) = е" (саех— — е!и х). ЩВОГ! г'(сов х — еш А). 539б) Используем правила нахождения произиолных. Для Функции у =За*и 2 найдем производную: у'=(Зе'ь2*)'=-(3 е )'+ г (2']' — З(е*)'+ 2 1и 2 = Зг" + 2'1п 2.
эвнг: Зе".!-2"!а 2. ((. П и.глодлап локаламелькой и лога ической иггаии 157 5425) Учитывая правила нахождения первообразных, для функ- 2 3' ции Г(х) = 2 3* найдем периообразную Г(х) — + с. (па 2 3' ()тдис! — + с. )па 542а) Вычислим интеграл ! ! ,. ! 0,5' ! 0,5'- 0,5" ма,ь ~ (па,а 1 Яхщт! †. 2! 2 0,5 — ! 2 ! 1 (п —. -( 2 2Ь2 2 543а) Используем правило нахождения производной от произведения функций. Для функции у = е" в!и- найдем производную: 2 у'и(е жи — ! и(е" ( юи — е (В!и-(ие (х ) ° в!и — +е сое — х 2 Х~-~ иЕ* 2«.ащ-+Е Саа-.— ис (2«3(п — П-еаа-(. ~2/ 2 2 2 ~ 2 2 2 ~ «1 «) ьйлмт( е' ~2«в!и — + -сов-~.
2 2 2~ 544а) Учтем правило нахождении производной ог частного двух функций. Для функции у = —, найдем производную: («)'(4' ьа)- (4'+5)' Е«*(4'+5)-«" 4'(п4 у (4' 5)' (я' 5)г «'(Е 4' + 30 - «4*(п4) (4' ь 5)' « (Е 4' ь 30 — л 4* (и 4) (4' 5! 545а) Найдем производную функции Дх)-хеп*. Получаем ((х)-(хеь )'=(х)'еп" +л(еп )'-1 еп"+хео* ° Ь=еч (1+ 5х). Так как ири паек значенинх х величина еп" > О. то функции имеет елинст- 1 пенную иритнчсскую точку х --.
На рисунке приведена диаграм- 5 ма знаков производной Д(х). Так кек ри проходе через критичес- 540б) Напомним уравнение касательной( у-Д(х„) (х — х )+ 4- ((хо), где хп — точка касания. Длл функции /(х) - 3" найдем производную Д(х) - 3"!и 3. Вычислим значения производной н функции в точке касания хе= 1: Г(х„) = 3!п 3 и 1(хп) = 3. Тогда касательная имеет вид! у 31иЗ(х-Ц+3 или у=31иЗ.х — 31пЗ+3 или у=х 3(и 3+(3 — 3!иЗ). ()2302: у=х.З!в 3+(3 — 31пЗ).
168 Глава 4.!)ггнолательнаа и лога .иинес ал г((унг иии кую точку знак производной меняется с минуса иа плюс, то точка 1 ! Ь(-() х- — — — точка минимума и гыи=. ! — 1= — — е ' = — — е Ь Ь) Ь 1) 02ж)2; промежуток убывания ~; — -~, промежуток возраста- Ь~' 1 ! 546а) Так как первообразная Функции Дх) = е . то пержюбраз- З-2 пня Функции)(х)-ез ' равна Г(х) = — ес = — — е ' -с. -2 2 1 з.з* — — е *ее. 5466) Учитыван правила накожления первообразных, для функ- ции г(х) =2.0,9* — 5.6 ' получаем Р(х)- 2 — '- ' ес = 0.9' Ь,а ' ы о,е (-1)ж ь.е 2 6.9 6,6 ' 2 .
0.9* Ь.6 ' !а 0.9 !и 6.6 Ь 0,9 !и Ь.а 5476) Найдем площаль Фигуры. ограниченной линиями у - 3", у=9 и х-1. На рисунке изображена зта Фигура. Ее площадь гг Я = ~(9' — 3")йх = ~— (!ггв !ааг а 2 Ь 2 Л 2 2 З ЬЬЗ ! З МЗ МЗ ЬЗ 548а) Найдем площадь Фигуры, ограниченной линиями у — ! Ь у= 3 и х = 1. На рисунке изображена зта фигура АВС. Плошадь агой фигуры 1(. П ои»ио)ки» покигителоиои и лога и литеекои г икпии 139 Злгии =З'2 Цз) г(»= -1 6+ — =бе (~)' (0 -(~) (1)' пб— 1пз (п 3 (п ! з 1 3 в = 6 4- — =6 — —. МЗ З(пз' Щв~е: б— 8 31п 3 (!) 54бг) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями у = ~ — ) (2) у = 4" и у = 4. Эта фигура изображена на рисунке.
Найдем абсцис(!) су точки цересеченин прямой у= 4 и зависимости у = Н . Полу- (2 ) (! '!" чаем уравнение: 4- ( —,,) или 4 =2 ", откуда «--2. гЬналогично находим точку пересечения линий у-4 и 9-4 . Получаем «-1. Плокидь данной фигуры АВ621 Зллс = Злвсе Злсге ~вол« = ! г(1) =4 3 — )(-! !пх — )4 1пх=12- -2 о 1 ! ! 4 (о !П 2 2 Ь! 2 (о 3 (2) (2) 4'.4" 1-4 4 ° 1 3 3 = 12 4 — — = 12 + — — — = 12 -— (п2 2!п2 Ь2 2М2 1 2 ЗЬЗ 2 !и 2 21 2 9 Жанн! 12- —. 21п 2 549а) Используем правило нахождения производной сложной ! функции.
Дли функции у = 1и (2 т Зх) получас»! у' = — (2 1 З«)в 2 3 ! 3 3 2 Зг Зг 2 3 2 5496) Учтем правило нахождения производной от суммы функций. Дла фУнкции Р = !озо 3 х + 31п х получаем: У' = (!обо 3 л + мп х)'— Глава 4. Пояагзпмлпяал и лага и япчггхая пкзии 1п» 1 1 =(1ой х)'+(31пх)'= ~ — '-сов х= — +соах. ~ !п о,з »!и о,з 1 Щщп — -г сов х. »!пс,з 550а) Учтем правило нахождения производной дла произведенияя функций. Дла функции у = хз 1об. х получаем: у = (х )ой х) = ! =(хз) 1ой х+хт(!ой, «У 2хй!й,х+хг! — ) =2х)обтх+хг 2 2 ~!п2 ! " »!п2 ()~щ.: 2х) 5. '+ — ". в !пз' !п» 550б) Длн функции у = — учтем правило нахождении произ!и») водной длн частного двух Функций.
Получаем: у' = » Оп»!' ° » -!и» ° Ы!' »» — !и»'1 1 — Ь1» 1 — !и» ЖВй(1 » .»' 551а) Учтем правило нахождения пермюбразных. Так как пср- 1 зосбразнвя функции — есть функция !и (х !. то первообразпая функ- 1 и!т ции — есть функция — — †. Поэтому псрвообрвзной <Рунк- 7» ° 1 т 3 з! (1» 1! ции !(х) = являетсн функция Р(х) = + с. » и! т зг (т»+ 1' + г. 1 5515) Учтем правило нахождения для разности Функций. Тогда 1 .
первообразной функции !(х) = — — является Функция Г(х)- -!п(х(-2!п(х 5(+г. Отщхг!п!х( 2!и!х-г 5( ! с. 552а) Напомним уравнение касательной у — — !"(хз) (т — х„) 1- Дх„), где хп — точка касания. Для функции Дх) = !п(х+ 1) найдем ! производную !"(х) — — †. Вычислим зпвчсиия производной Д(х) » 1 и Функции 1(х) в точке касания «и —.О! /'(х )= =1 и Дхп) = = !п(0+ 1) = )п 1 = О. Тогда уравнение касательной: у = 1 [х — О) ! 0 илн у — х.
Ответ; у-"х 552г) Используя правила нахождения первообразиых, вычислим интеграл: и. П извадипл ппиизателпнпз и лпгп и лине»над внииа 161 1п(2»+1(( 1в(з 2+1( Ьг)З О+1) !Ощ — — 1п 10. зх ! з ~ з э з з з О О а!наг — !и 10. 1 3 554З) Учтем правило нахождения производной для частного !п (5 + 3 ) двух !(эункций и для сложной функции. Для !!!ункции у 1 (1п (5 + Зх)) . (хг +!) — !п (Ь + Зх) . (л' г 1) получаем: У = (х .г1) 5 ! (5+2»)("' 1) — !п(5-Зх) 2»;З- -2»М(зчэх) (»' !) (х +!) З(х" !)-2 (Ь-Зх)М(5 ЗН (5 3 )(х +1) З( '+1)-2»(5 Зх)! (5.5 ] (5 3»)(х ° 1) 555З) Найдем пронэволную Фукклии 1(х) = чгх )пх =хе 1пх. Попу- 1 чаем: 1"(х) = (хг!пх) = ! х' ! !ох+ хг(1пх) =-х ' 1пхт »1 .— = 2 х Пх 1 !Ох 2 = — у-+-у-= — г .
Критическая точка Функции Определяется 2ч ч 22 уравнением:!их+ 2=0 нли 1пх=- -2, откуда х- е г. В вырпжснпи для производной знаменатель 2»(х > О.поэтому знак производной определяется числителем !пх + 2. Нп рисунке приведена диаграмма знаков производной !'!»). Видно, что (О; е 2] — промежуток убывания, (е 2; ) — промежуток возрастания. Точка х - е 2 — точка минимума и Упп = 1(е 2) - г!е " 1пе — = .= е ' ° ( — 2) = — —.
С22221 (О; е г] — промежуток убывпния, (е' —, )— 2 ПРОМЕжУтан ВОЗРВСтакнп; Хв»„=Е 2, твв„= --. !и» 556в) Нейдем производную Функции !(х) = г . Получаем: )"(х)- ч ю' 6 тур!вин 103 Глони 4. Показательна» и лога и линоскаа нкаии Критическая точка функции определяется уравнением: 2 — !и х = О нли !и х = 2, откуда х = ег. В выражении для производной знамена- гтель 2х,гх >О, поэтому знак производной определяется числителем 2-!пх.
На рисунке приведена диаграмма знаков производной 1"(х). Видно, что (О; ез) — промежуток возрастания, (ет; ) — промежуток убывания. Точка х ег— точка максимума и ( „= Пег)- ()2щп: (О; е') — промежуток возрастания. (ет: ) — промежуток 3 у убывенин; х - гз, г„„„= —. 557а) Найдем площадь ФигуРы. 4 ограниченной линиями у = — + 2, у = к -О, х-2 и х-б. Этз фигуре нзабрзженз па рисунке. Плопмдь етой фигуры о Я = ! — + 2 ба= (4!п~х~+ 2х)1 3 3 -(41и 6+ 12) — (4!и 2+ 4) = 4(!и 6 — !и 2) + 8 4 !п —, + 8 = 41п 8 + 8. 6 3 Жззтг 410 3 т 8. 566а) Для вычисления числа 24' найдем ближайшее к числу 24 число, которое являетсн кубом целого числа, т.е.
24 = 27— — 8 = 27~1 — -~ 27! ! — - !. Тогда получаем: 24'и ! 27! )††!)! = з~~ з~ ~ 3.3~ з з. 3 5666) Используем проняла действий со степенями. Получаем (625.8 = о 625 16 — = тГ625.1б .4 — = 5.24 1-— 16 116 1 16 16. 4 ! '1 64! 64 32 32 33 ЯЗВ: 7 —. 31 33 561в) Исцользуем свойства корней. Тогда получаем; 4Г9,62 =. 9+ — = 9 1+ — ~ = н(9 . 1+ — 8 1+— 50 1 4501 1 450 1 450 2) 11. П илюднил ио агателеиои и лога и инееюгй иииии !ЗЗ ! =3 ~1+ — 1=3 - — =3 —.
мю/ ию зоо ' 1 Ойзу: 3— зоо „Ди 'и "(2ЧЗ -1) 'Л '(2ЕЗ -1) ПОЛУЧаеи: Р(Х)= Зт те= .— Еои, оси 2 /3 — 1 2„!з х '+с. 11 5546) Вычислим интеграл, используя правила нахождении нер- вообразима. Получаем: 1 —., = 411 х 'йх = 4 — =12хг~ ! г ! = 12~8' — 1'~ = 12(2 — 1)= 12.
01552! 12. 5656) Найдем плошддь фигуры, огра- 1 1 виченной ливиями у - х "з, у - — и х - — . 2 Эга фигура изображена нз рисунке. Оче. видно, что графики функций пересекаются при х 1. Поэтому площадь фигуры ! !! Я=)(- — х )Их=~!п!х~ — — — ~~ 1 5626) Найдем производную степенной функции /(х) =-х '. Получаем /(х) --х '. Видно. чта в области определения функции з Пх) х Е (О; ) производна» /'(х) < О.
Позтому функция /(х) убывает. /1 Тогда на промежутке 1 ! —; 27~ наибольшее значение достигает~ з 1 ся нз левой границе промежутка при х = — и равно /!(- ! = ~ — ! а = (2 ) = 2 = 16. Наименьшее значение достигается на правой !ранице щюмежугка при х 27 и равно /(27) = 27 * = (3 ) = 3 ' = —. З1 1 ЖВЩ1 16; —. З1 5636) Найдем первообразную степенной функции Пх) — -х зеа 1аэ ейстеител«иие числа !и2 ) связанная с периодом Т полураспада ~й = — !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
