kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Так как основание степеней 6 больп!е единицы, то показатели степеней связаны неравенством того же знака: -х< 1. Умножим обе части на отрицательное число ( — 1). Прн этом знак «сравснстна меняется на противоположнын: .т > — 1 или х е [-1; ). ь!хйзт: [ — 1; ). 47ба) Для решения неравенства 2 < < 3 — х ностроим графики Функций д, = 2 и д, = 3 — х. Необходимо определить значения х, при которых д, < д,. Графики функций д, и д псрссекаютсн в точке с абсциссой х = 1.
Из рисунка видно, что значения первой фуюпгии яс больше значений второй при хл 1. Поэтому решение данного неравенства х Е (-; Ц. Пудкг! (; 1[. 475в) Дхя решения неравенства ~ — ! > 2х + 1 построим графики (4) Функций д, =[-[ н д = 2х+ 1. Необходимо определитьзначении х, прн которых д, > д., Графики Функций д, и д., пересекаются в точ- ыо Главе 4. Покеытгкькак к мага личсскае кклкк ке с абсциссой т = О. Из рисунка видно. что значения первой функции не иеньше значений второй при хкб. Поэтому решение данного неравенства х Е (- ; О).
Дунйу: (; О). 476а) По определению логарифма 1о359 = 2, т.к. 35=9. Ятаауг 2. 4816) По определению логарифма !о647 27 — степень, в которую надо возвести основание )(-, чтобы получить число 27. Про)(з ' (Я веримвто! .—, =!3 ') =31=27. 13 ! ьквеетг проверено. 4836) Используя определение логарифма (стспень, в которую надо возвести основание 3, чтобы получить двннсс число», найдем: 1 1 ! (об 64 = 2, т.к. 8з =64; !об — — — 1, т.к.
8 '- — и 1аб 2- —, т.к. 1 8' — 2. Щвег! 2; — 11 — . ' з' 4846) Для решения уравнения !об, х= — 3 используем опрсле 1 ление логарифма (степень, в которую нада возвести основание —, 5' )-з Ж' чтобы получить число х). Тогда имеем: х= 1-! =(6 ') з 65= (5) — 216. ЩЩ21 216. 1 477в) По определению логарифма 1об 2 - †.
т.к. 32* = 2. 1 Ядзнг! †. 5 з 4786) По определению логарифма !об 8 =-, т.к. 32' = [2 )ы = 5 з =25 - 8. ~~внсг —. 5' 1 479а) По определению логарифма 1об — — степень, в кото- З В1 1 рую надо возвести основание 3, чтобы получить число — . Провез! ' 1 1 рим зто: 3, = . Яувпт: п!юве!юно. З' В1' 141 рд Лака«вне«знак и лога и миткгкак ккиии 1 4866) Для решения уравненнм 1об — =2 воспользуемся опреде- 1Е лением логармфиа (с!епеньк в которую надо возвести основание х, 1 1 1 чтобы получить число — ). Тогда имеем: хз- —, откуда « 1Е 1а 4 Однако по определению логарифма основанием ие может быть 1 отрицательное число. Поэтому остается одно значение « — — .
4 1 Яудегг — . 4 487а) Запишем данные числа в виде логарифма е основанием 4. используя определение логарифма. Пусть 2 — !об х. Тогда по определению «= 42-16 и можно записать 2 = 1ой 16. Аналогично ! запишем оставшиеся числа: — = 1ой 4' = !об, 2; 1 =1о644' !о6,4 н 0 !о614е= !о641. ))2ддг: )об!16; 1сб 2; 1об 4; И641. 4886) Используя основное логарифмическое тождества, запишем! я'К" ~ = 5,2.
Яудйг: 5,2. 1 1212 1 1К22 (1! ' 489г) Запишем выражение ! — ! в виде Н ! —,! ),2) Пользуясь основным логарифмическим тождеством. иолучаем: 1 2 2 !)26621 — . 1 1 ' 1 490в) Используя свойства степеней, денное выражение запи- 11,212 ( ЬК, 1'! шем в виде Я ' =~~-) ' ) = 3 = 81. !2«двуг 81. 4916) Используя свойства степеней, сначала упростим данное ' ~" 3 ~Ь) 3 ~„ИГ дем логарифм по основанию 3. пользуясь свойствами логариФмов: .2 1! -2 1 !обз) а' Ь* 1= !обз и + !оба Ь" = -2!одзи+ — !обз Ь. 1 ьггвпгг — 2!обз и — — !обз Ь. е 1 492в) Запишем данное выражение 2)10а'Ь с - 'в виде 10'х ха'Ь"с -". Использ!я свойства логарифмов, найдем десятичный логарифм этого выражения: Ыг Гласи 4. Пэкогстглгнал и неги и ингскан Эункзип 13(10 а'Ь с ')=1310 4 13а 4 )ЗЬ + 13с -' = — 1310 1- — !Зо ! 4!ЗЬ 114 ~) 4 4 4 3 1 1 ! 1 1 1 — — !бе- — 4- — !из 4-413 Ь вЂ” 7!Зс.
Учтено. что 13 10= 1. 2 3 3 1 ! Оззьт: + -!За+ 413Ь вЂ” 7)йс. 3 3 494а) Число 72 разлогким на простые множители 72 2!.32 и преобразуем число !о3372, пользуясь свойствами логарифмоа. ПолУчаем: !об 72 = (оба(23 3!) = (ой 23+ 1об 31= 3(ойь2+ 2!об!3. Так как по условию!об 2 а и )об 3=Ь. то получаем !об 72= -За+ 25. э!тахт! За 4-2Ь.
4956) Изнестна, что разность логарифмов чисел равна лога- рифму частного этих чисел. Поэтому получаем: !об, 7 — !ой. —,— 2 !к т = !об ! 7 ! — ) =- )ой, 16 = )об 2" =- 41ой 2 = 4. 1 4. ЯХВПЗ: 4. 2( 1Е) 2 2 496а) Воспользуемся свойстваии логарифмов. Получаем: !ЗВ+!313 132 !З(2 3) 3!Ззг!32+!33 4!32 гт!33 4!32 г !Зз 2!34 4 !ЗЗ 2'!32 4 !ЗЗ Паз+!За 2(2!32+ !ЗЗ) = 2. Птщзг 2. 2!32+ !33 497а) Дла вычисления х преобразуем правую часть равенства, используя свойства логарифмои. Получаем: !обе х = 31об 2 ! ! 0,5(ой 25 — 2)об 3- !об 2 + )об 2эо 3 — !об Зг-!об 3+ (оба бв В.З 40 4Π— 1о349 =!обе — =!обэ —. Имеем равенство 1об х=!ойе —. Так как равны логарифмы (по одинаковому основанию 0) чисел, 4О 4Э то равны и сами числа х= †.
Яхпстг —, 9 в 4976) Используя свойства логарифмов, преобразуем правую 1 1 часть данного равенства: 13 х = — !3 5а — 3!3 Ь+ 413 с.= 1а(5и)'- (эа)' . с' — 13534!бс"= 13, =13 —,. Имеем равенство!Зх=!3 —, в' ь' ь* Так как равны логарифмы (по одинаковому основанию 10). то г'Зьлл г'Зыл равны и сами числа х =- „. ЬпвПЗ! ь" ь' !42 гй Паки»анели!а» и лаги и ли!гика» г акции ! 498а) В аеРавенстве 1ой, 3+ !ойз — < — 2 в пеРвом логаРифме 2 !»е,з ! перейдем к основанию 3: !ой» 3 = — ' = —.
Тогда неравенство ме, $ !иа„ 1 ' ! ! ! имеет вид: — + !ойз — < -2. Обозначим а = !ой — и запишем !аа 2 2 22 ! ! ! -2 неравенство в виде: — +а <-2 или — + а+ 2 <0 или <0 а а а (а г !) или < О. Так как а а — 1, то числитель дроби (а-!-1]2 поло- а ! жительный. Число а = !ой, — отрицательное. Поэтому иеревегютво »2 (а !) ! а < 0 или 1ой, 3 е !ой — < -2 верное. Отв~! докааано. 22 4986) Для доказательства равенства 4 '"* = Т!'аа преобразуем его части, используя основное логарифмическое тождество и свойства степеней. Запишем число 4 в виде 4 = бм"', тогда левая часть имеет вгш 4 а* ы(5'"а ) =5 "а' ' а" . Число 7 запишем в виде 7- 5 '"', тогда ереван часть Т '"" = (5 'аг ) = 5 'аа Видно, что левая часть равна правой.
Следовательно, равенство докааано. 92302! доказано. 500а) Область определения выражения 1ой7,-5(б+х — х ) задается неравенством б+ х — хз> 0 (т.к. логарифм определен только для положительных венички). Неравенство запишем в виде О. > хг х — б. Его решение х 0 (-2; 3). Ответ! ( — 2; 3). 2 ге .5006) Область определения выражения 13 — задается нера« вЂ! 2» Ь венством — > 0 (т.к. логарифм определен только ллн положи»- ! гольных величин). Решим зто неравенство, например, методом нн- тервалов. Получаем х О ~; — -') О (1; ).
5) 2) 144 Глава 4.Показе ел«лол и лага э лите<хая чхаии 501а) Так как основание логарифмов 2 больше единицы, то логарифмическая функция у-!об х возрастающая. Данные числа свяэаны неравевством 3.8 <4,7. Поэтому логарифмы этих чисел свпэаны неравенством того же знака: !ой 3.8 < !об 4.7. ьлшт: 1обэ 3,8 < !обэ 4,7. 1 5016) Так иак основание логарифмов — меньше единипы.
то ло- в гарнфмическая функция у 1об.х убывающая. данные числа свяэаны нераненсгвом 0,15 < 0,2. Поэтому логарифмы этих чисел свпэаны неравенством противоположного анака: !ойэ 0,15 > 1ой, 0,2, ЬЧ3~1 1об,0,15 > !об40,2 502а) Число 1 эаппшем в виде 1 = !об - «Г2. Теперь сравним числа !об<1 3 и !об — «Г2. Так кан основание логарифмов «(2 больше единицы, то логарифмическая функция у = !об„«х возрас- т тающая. Числа связаны неравенством 3 >,/2.
Поэтому логарнф- мы этих чисел саяааны неравенством того же знака: 1ой 3> <г >1об„;-~Г2 нли !обу-3 > 1. Ятпат: !об э 3 >!. 503а) Оценим числа !об 10 и !об 30. Основания ло«арифмов 2 н 5 больше единицы, поэтому соответствующие логарифмические функции возрастающие. Число 10 оцепим степенями числа 2: 21< 10 < 2', тогда Рэй 24 < 1ой 10 <!об, 24 или 3 < (о3„10 < 4. Число 30 оценим степенями числа 5: 5т< 30 < 51, поэтому !обэ51< < !об430 < 1об 5 кли 2 < !об, 30 3. Получили, что !ой 10 > 3 и !ой 30 < 3.
Следовательно. !об. 30 < !об., 10. й~г: !Ой 30 < !Об 10. 505а) Область определения выражения 1ойээ!п х эадаетса иеРавенстаом э1п х > О. Видно, что это неравенство выполнено для углов, расположенных в первой и второй четвертях. Поэтому решение неравенства х Е(2кл; к>2кл), где лб х. Яхвпг: х Е (2кл; х + 2пл), где л е э. 505г) Область определения выраясения (3(1 — 3') эаааегся неравенством 1 — 3" > 0 (т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
