kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 21
Текст из файла (страница 21)
'!г з ) з ! в) в в в 1Ы Глава 2. Пг аад нил и намел л 3655) Иаабраэим фигуру, ограниченную 1а лнииямн у = —, . у = 2х и « = 4. Найдем абс- 1а циссу точки пересечения линий у= —, и л' 1а у = 2«. Получаем уравнение: †, = 2х нли 8 = «э,откудах = 2. Раэобьем данную фигуру на две: АВС и СВЕИ. Тогда искомая плошадь ЯнБлгю+Бааса= АС'ВС+/:г(х= '2'4 ~ =4 "гга ! 1е(' !'1а !а) гаса 2 2 Щвэу: 8. 4 — (4 — 8) 4 — (-4) 8 Збба) Изобразим фигуру, ограниченную линиями у, - «2 — 4х + 4 - (х — 2)г и у!- = 4 — «2.
дню!огнчно задаче 865,и можно показать, что площадь этой фигуры 2 2 Я=/(ут — у!)г(х=/(4 — х — х +4х — 4)г(х = а а 2 !2 = /(-2« г- 4«)сгх = ~- — + 2«2) ~ 2 а а — +2 ° 22~-( — +2 0 )=( — — +8) — 0= — =2 —. 2 ьлднг! 2 з' 368) Иэобразии графики функции 1(х) - 8 — 0.522 и касательной к этой параболе в точке с абсциссой ха=-2. Прежде всего нанишем уравнение касательной. Вычислим 1"(х) = — 0,5-2т = — х. Напомним уравнение касател иой н точке с вбсциссой ха! д = г'(ха)н х (х- ха) + Лха). учтем. Что )'(. „) =- -( — 2) 2 и ((ха) = 8 — 0.5 (-2)* = = 8 — 2 = б.
Тогда уравнение касательной у 2(х + 2) + б или д = = 2х + 10. Площадь данной Фигу- ры (см. аадачу 365,и) ! ! 1 8 = /(у — ((х])г(х = /(2«+ 10 — 8 т О 5«2)дх = /(2«+ 2+ 05х )г(х = 'КИнм!г ээ 115 !! =(х +2«+ — =(1 +2 ° 1+ — ) — (-2) +2 ° (-2)т =3 —— 6 5 Э! ! 1 1 -(--) = 3- + 1 — = 4- = 4,5. Я23221 4,5.
3) 5 З 370а) Найдем объем теле, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапепии, ограниченной линиями у = х!+ 1, х=б, «=1 и у=О. Известно, что объем тела вращения вычисляется по формуле У = х) 1 (х)4«. Тогда ! 1 получаем У = в((х +1) 4« = к)(х + 2« +1)!2«= о а 1 =я — +-х +х =л — +=+1 — л — + — ° Отб)=л ( 5 3 )( (5 3 ) '15 3 ) !5 с »э зэ 23 — — я — = — х. ьйдю! — л. 15 15 !5 371а) Вычислим объем тела, полученного прн вращении Фигуры, ограниченной линиями у, -хз и у.
=х. При вращении фигуры АВС ее объем 1' = л~у2!»2«. При вращении фигуры АВВС ее объем У! = ! = я) у! Их. Тогда объем двиной фигуры о ! 1 ! 1 У=Уз-)г! = х(уз~»2« — я( у!2»)х=я((уз~ — у12)!2« = л((«2 — («2) )4«= с е о о 1 ! = л((х —.т )»2«=л~ — *- — )( = н~- — -) — л — — — ~= а . е 2 2 2 =Я ° — — л.б = — л. Ягщп! — л. 15 !5 15 3715) Вычислим объем тела, полученного при вращении !ригуры, ограниченной линиями у, = 2х, ут х + 3. х = О и х 1. Учитывая результаты предыдущей авдачи.
этот объем ьга Глава З.Пе ссб энв» н антее вл 1 ! ь )'=к) (рта — у()йх= (((х+ 3) — (2х) )Ах= к) (к~ь бх+ 9 — 4хт) Ах = о с о 1 = к((бх+9-Зх~)Ах=к(бх +9х-хз)( =к(З+9-1)-к(0+Π— 0)=11к. о Якши; !1к. 372а) Введем ось координат церпеидикулярно сечению шара с началом в центре шара. Сечением шара является круг радиуса г и площадью Я(х) - юв. Для нахождения радиуса г рассмотрим прамоупшьный треугольник ОАВ. По теореме Пифагора АВз — ОАз— — ОВз или гз - Вз — хт, тогда Я(х» к(дг — хз). Теперь найдем объем шарового сегмента, нс- ь пользуя формулу 1' = к) Я(х)бх.
Получаем в ~в у = к /к(Нз-хз)Ах= к(Взх- — *" ) =к(йз. В- — "Р )- в-и ~ в-и з ) з 3 з з (з з , и*1 ( з и*'( ви' = — к — к(-Я -ВН + — ) = к(ВН вЂ” — ) = — (З — Н), 3 (з з ) з) т 0 г "и (ЗВ-Н). 374) По закону Гука силе г, растягивающая пружину на величину х. вычислястсн по г(юрмуле Р = Фх (где  — коэффициент пропорциональности).
Так как сила в 4 П растягивает пружину на 8 см (или 0,08 и), то получас» уравнение 4 = й 0,08, откуда й = 50. Тогда сила Е= 50х. Теперь найдем работу, которая при этом со- ь всршаегсв, по бюрмуле А = ) Р(х)дх.. Получаем: в,о.оз А = ) 50хбх= 25хг) =25 0,08г = 0,16 Дж. Ь)удву: 0,16 Дж. о 375) По закону Кулона на электрон действует сила Р - — —,, где и у — коэффициент пропорциональности, 7 — величина заряда, х— 117 9.
0666щгниэ лсннмин гюглгни расстояние между зарядом и электроном. Найдем работу силы взаимодействия зарядов ь ь А=УР(х) х=У вЂ” '", х=м/ = ~-1--1), Я °: ~-1--1). 377) Пусть тонкий слой жидкости плотности р толщины бх поднимается на высоту х. Тогда объем такого цилиндрического слоя кгзбх и вес рбягэбх. Работа, которая затрачивается на подъем этого слоя, равна 6А-рбягэь(х х. Для нахождения всей работы по заполнению бака надо просуммироэать по всем таким слоям (при условии. что толщина слоя 6х -+ О).
Получаем: ь ь ь Г Э Г ЬЬ( ЬГ Ь рг А = ~ рлкг х бх = рбхг ~ х Г(х = рбкгэ— о с ь 'ь'эг 2 Глава 1У. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ Й О. Обабьценме понятия степени 381а) По определению 616-2, т.к. 26-16. ЬГ Яулетг проверено. 381г) По определению ь/ — 243 — — 3, т.к. ( — 3)ь = — 243. 'Ядиш: проверено. 383в) Используем свойства корней: с~32 = )((-2) =-2. Я2352: -2. 3846) Используем саойсгва корней: ь~ — = ь 625 ))(,5~ 5 э Яиихг —. 5 Зйба) Запишем уравнение хэ+4 0 в виде хэ--4. Так как это уравнение нечетной (третьей степени), то оио имеет единственный коРень х ььг-ч = -ьГ4. Ятщтг — (4.
!18 Глава 4. Показателвнал и лога и личгскал нкиии 3856) Уравнение хб= 5 имеет четную (шестую) отепепь. Поб Г" бг атому уравнение имеет два корня х - я ч5. Жвйг; а т5. 1.28 387а) Из уравнения 0.0228- 1,28-0 выразим хб= — = 64. О.О2 Так как уравнение хо= 64 четной (шестой) степени, то оно имеет два корня х= йт64 = 222 = — 2. Щ8п21 — 2. 388а) Обе части уравнения чгх = -0,6 возведем в третью степень: (4(х) = (-0,6)з или х = -0,216. Итак, уравнение имеет единственный корень. Ятщйб -0,216. 3395) Используем свойства степеней и определение корня.
Тогда 5 б 5 получаем: (24(-2) = 2 '(1(-2) = 25 ( — 2) - — 24 - -64. Я22021 -64. 3906)Иопользуем свойства корней и учтем. что 32 = 25н 243 = = 35. Получаем. "Л2 243 = 4(2" . 3 = ~((2 3) = ъ(б = 6. Яуйп(1 6. 391в) Подкоренное выражение разложим на простме множители. учтем, что 48 = 24. 3 и 27 = 33. Тогда получаемб 4Г48 27 = = 4(2~ 3 3 = 4(24 3 =$2'3) = 4Г6 =6. Яуветб 6. 3936) Учтем свойства корней. Тогда получаем: 4 Л)' —" а 4Я "4(2 2 Птвп2. 2 4.
8 1 394а) Обратим смешанные чиела в неправильные дроби: 39 — = 16 4 625 5 (51 1в 100 10 — и 39 — = — = —, и учтем евокотва етепеней и 16 2' ),2) 27 27 3 «арией тогла ~олучаем: ))1 ' Таи —,: ~-~27 = 5 3 15 15 15 15 'мио у*)442 ~ГО 10* 010' 7(10')' ',Ймб* 15 3 3 П2062: — —, за' !!Э 9.
Оэеющение понятия степени 3946) Обратим смешанные числа в неправильные дрсбн и нспсль- зуем свойства корней. Получаем: 41 — ° 4,6 — — = 411! 49 4 2! э !5 ':Т вЂ” 15 2 -й= ~- й= й- ~ = —;;: —,'=-', —,'=' 3936) Так как подкоренныс числа связаны неравенством 0,4 < 5 < †. то и корни одинаковой (двенадцатой) степени связаны нераы' венством того же знака: 1!0,4 < )~ — . Щнсд! Ч0.4 < !2Г !2 5 !2 )( 12 399а) Используя свойства корней, первое число запишем в 1З виде — ч2 = ф-~ .ч2 ='~- ч2 = ~- 2 = ~-. второе число— 2 в виде ~~~-1 = ~~-. Так как числа удовлетворяют неравенству )!2 ~ )(2 ! ! — < —, то и корни одинаковой (третьей) степени из эгнх чисел свяэа- 4 2 )г ны неравенством того же знака, т.е.
)~- < ~- или — !2 < 4 2 2 ~ 2 : —,и,()5)*. 4006) Данные числа представим в виде корней одинаковой (пятнадцатой) степени: (4 = ч4 = 'Щ2~~ = /йю и 5(3 ь~/йз )) 2 ) = ч2 . Подкоренные !иола удонлетворяют неравенству 2'о > 24 Тогда и корни одинаковой (пятнадцатой) степени нз этих чисел связаны неравенством того же знака, т.е. ч2'О > ч2" нли 4(4 > 4)3. аздак зГ4 > 5)3. 40)в) Числа представим в виде корней одинаковой (пятнадцатой) степени: 9-2 = зе((-2) = 4-25 '4(-4 = 5~Д ч — 4 и !-(2 ! = ч-2 . Подкорсниые числа удовлетворяют = )!! 120 Глава б Покагогкелчкак и лога мичеекак кккии неравенству -25 > -2е. Тогда и корни одинаковой (пятнадцатой) степени из этих чисел связаны неравенством того же знака: т-25 > ч'-2е или т'-2 > г-4.
Яурйуг т'-2 > чl-ч. 402а) Используем свойства степеней и корней. Получаем: '~ ""='*' "" ' "=Ф"'нЖ-~м 7 хчг)азз =(2аЬ(ч(аЬ=2аЬ гга Ь . Учтено, что а>0, Ь>0. Поэтому 2аЬ>0 н !2аЬ~=2аЬ. 025221 2аЬ багз 4036) Так как а, Ь > О, то произведение аЬ > 0 и аЬ =) аЬ )- -.2(аЬ) . Используем свойства степеней и получим: аЬ )( —. = ч)(аЬ) х ~Г э э 55' з) Э те' 1 404а) По определению ариФметического корня чгаг ~ а !. Тогда. если та' - -а, то должно выполняться равенство (а (- -а. По определению моду.тя числа такое равенство выполняется при а ар. Я2522: а СО.
405а) По определению арифметического корни чаг =а. Так зГэ зГэ как по условию та = -а, то должно выполняться равенство а = — а или 2а О, откуда а = О. 02222: а О. 405в) По определению арифметического корня чгаг = а1 'Гаков жс равенство дано и по условию задачи. Следовательно, зто равенство выполняется при любых значениях а. Я2522: при всех а. 406а) Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби з Г т тДля этого умножим числитель и знаменатель на выражеЕт — 15 ние Л+ Л, сопряженное знаменателю.
Получаем: ~(ут. )г) ~()т.Г5) зЯ.З) = — (Л + г5). 11 ~5 (,/~ чгэ)(Гт„Г5) (/„-)* ( 5)' 7-5 2 ОХ25пг -'(ггз+Л). 4066) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе — 42 дроби 7-, умножим ее числитель н знаменатель на выражение 122 Глава 4 Поган<тельная а лога и ли ее<аз лачин и знаменатель дроби на величину ч2', сопряженную знаменателю. 4/ 4 'Гз \Га егз Гз 14< 14< 410г) Для решенив уравнения 'тх — 5 ах = 6 введем новую ог неизвестную 1= чх (по определению арифметического корня <е< < 3 1>0), тогда 14- (тх) =<<(х. получаем квадратное уравнение: 1<†51 = 6 или 12 в 5<†6 =.
О. корни каторога 1, - — 1 (не подходит, т.к. 1 > 0) и 1, = 6. Вернемся к старой неизвестной х. Имеем урав- ЗГ пение тх -6. Возведем в куб обе части уравнении: (Зх) =6 илп х = 216. Я2202: 216. 411а) При решении неравенства х4 < 3 извлечем корень четвертой степени из обеих частей. учитывая. что </х' = ~ х(. Полу <аем<(х( < /3 . Это неравенство эквивалентно двойному линейному неравеньтну: — <ГЗ <х< ГЗ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
