kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 20
Текст из файла (страница 20)
1 Ятдсх: Г(х)- л+ -ч5к-2+2аш( — — «)+с. 4 (3 — 2л) 3475) Для функции ~(х) = Зхэ — 2х найдем общий вид всрзооб. Х" разных Р(х) = 3 — — 2 — -1- с = хэ — хэ -1- с. Известно. что точка М (1; 4) 3 2 принадлежит графику функции г(х). Подставим координаты этой точки в общий вид первообразной: 4 = 13 — 13+ с или 4.= с. Тогда искомая нсрмюбразная Р(х) = ха-хэ+ 4.
ЯПП2: Г(х)=ха хг+4. !за Глава 3. Па воад зная в аот ! л 248) Учтем, что координата движущейся точки х(г) являстсн первообразной для скорости о(!) = г! - 2! — 1. Тогда получаем х(П = г = — + 2 — — ! г- с = — !!+ Р— ! -!- с. Длн нахождения постоянной с з г з учтем, что в начальный момент времени (! =- 0) точка находилась в 1 начале координат: 0 = — .Оз+ Ог — 0 + с, откуда с = О.
Тогда коордн- 3 г г ! ната точки х(!) = — гг+ П- г. Пхзпг! х(!) - — !'+ (г — !. 3 3 350) Известно, что ускорение тачки а(!) =. 12(г-г-4. Сначала найдем скорость точки о(!), учитывая. что скорость — дервообразная ! для ускорения. Получаем о(!) =12 — + 42+ с,-4ггт 42 «-с,. 3(ля определения постоянной с, учтем, что в момент ! = 1 с скоросгь точки о=10 м/с. Имеем: 10=4-13+4 1+с нли 10=4+4+с„ откуда с = 2.
Тогда скорость точки о(г) = 4сг т 42 + 2. Теперь найдем закон движения (координату) точки, учитыная. что координата — первообразиая для скорости. Получаем х(И=4 ° — + 4 ° — + 22+с = гл+ 2!2+ 2г+с . длв определения посто- 2 2 г. явной с! учтем. что в момент г 1 с координата точки х 12 и. Имеем 12=1 +2 12+2 1+с, илк 12=1+2+2+с, откуда с 7. Тогда координата точки х(!) - !" + 2П+ 22 7. Ягаез! х(П = !" + 2!3+ 2(+ 7, г 351а) По второму закону Ньютона ускорение тела а —, где Š— сила, приложенная к телу массой ж. Сначала найдем ускоре- 3 — 9! иие о(г) = = 2 — Зг.
Определим скорость тела (учтем, что ска- 3 рость — нервообразная длн ускореяив) о(г] = 22 — 3 — -!- с . ддя оп- 2 ределення с, учтем, что в момент времени ! = 1 скорость точки г 3 о -4. Имеем: 4 =2 1 — — 12+с или 4 =2 — —, +с, откуда с = 2,5. о 2 ! 2 и ! з г Тогда скорость тела о(!) 2! — — г! т 2,5. 2 Теперь найдем координату точки (координата — первообраза !" г г !а т ная для скорости) «(г) - 2 — — — ° — + — 1+ сг = ! — — г т — ! + сг 2 2 3 2 2 2 Для определения постоянной с учтем, что в момент времени ! — 1 координата х = — 5.
Имеем: — 5=1 — — 1 + — ° 1лс илн -5=1— г г, 3 а г Зст В. Илтег ал ! з 1 з 3 2 — —, + - + с., откуда с - -9. тогла координата точки х(1) ]з — — за + г 3 т 1 е — з — 9. Щваг' .т(1) - Н вЂ” — ]з + г — 9 3 з 352а) Найдем общий вид первосбразных Р(х) для функции Дх) = =Зхз — 2х+4. Получаем р(х) 3 — — 2 — е4х-~-с=хе — хзе4х+с. 3 з Функция Р,(х) нроходит через точку М ( — 1; 1).
Подставим координаты этой точки в общий энд пермюбразной: 1- (-1)з — ( — 1)з+ + 4. ( — 1) + с или 1 = — 1 — 1 — 4+ с, откуда с = 7. Тогда функция Р,(х) имшт вца: Г (х) =хе — те+ 4х+ 7. Функция Р (х) проходит через точку ]т' (О; 3). Подставим координаты этой точки в общий вид первосбраэной: 3 = Оз — От+ 4 0+ с, откуда с = 3. Тогда функция Г (х) = хз — хат 4х Е 3. Найдем Разность Г~ — Рз = (хз — хт+ 4х Е 7) — (хз — х '; 4х+ 3) = 4, Так как зта разность положительна.
то график функции Р,(х) расположен выше графика функции Гз(х). ьт~: 4; первой. 5 8. Интеграл 353а) Изобразим фигуру, ограниченную линиями у= хе, у=0 и х 3. Для вычисления площади этой фигуры найдем первообразную для функции у=хе. Получаем Р(х) = †. Тогда площадь 3 3" о' фигуры Я Р(3) — Р(0) = — — — = 9 — 0 = 9. 3 3 Яудв2: 9. 353в) Изобразим Фигуру, ограничен- у иуюлнннямиу=э(пх,р=О,я=Он х г = в. Для вычисления площади вюй фигуры найдем первообразную для фуик- пни у-юпх. Получаем Г(х) = — соя х. Тогда плошддь фигуры Я Р(к) — Г(0]- =-СОЕКЕССЕО= — (-1)+1=2.
Щвад: 2. 354а) Изобразим фигуру, ограниченную линиями у = хт + 1, у - О, х = 0 и х = 2. Для вычисления плошади этой фигуры найден первообрззную для функции у = хз + 1. Получаем Р(х) = Глава 3. Пе ааае лиал и иитег л' = — + х. Тогда площадь фигуры 8 - Р(2) — Р(0) -( = 4 2 ! — ~ — 4 0)- 4 (4 ) (4 =(4+2)-0 б. Яудщ: б. 854в) Изобразим Фигуру. ограниченную лннияии 3 = 4 — хт и 3 =0. Найдем точки пересечения параболы у = 4 — х! с осью абсцисс. Положим у = 0 и получим уравнение О = 4 — хт, откуда х = т2. Длл вычисления площади атой фигуры найдем первообразную для функции у -4 — хт.
л* Поаучаем Р(х) = 4х — †. Тогда плошадь 3 фигуры 8=у(2] — Р( — 2)- (4 2 — — (- 4 (-2) — — =(8 — — )— 3) З ~ (, 3) 31 ы ( !е) 32 2 2 -~-8+-~а — -(- — )= — =)о-. Я2532; )О-, 3) 3 ( 3) 3 3 3 855а) Изобразим фигуру, ограниченную линилмн р — (3+ 2)3, 3=0 и х О. Для вычисления плогцади этой фигуры найдем первообразную для функции у - (х + 2)3. Получаем ( -2) Р(х) = 3 Тогла алощадь фигуры 8 = (О 2) (-2-2)* 3 2 - Р(0) — Р(-2) - — = — — 0 = 2-.
з 3 3 3 2 ь'гает: 2-. 3 855б) Изобразим Фигуру, ограниченную ли- 1 иннину= ., +1, у=0, х 0 их=2. Длн (»+ 1) вычисления плошади этой фигуры найдем пср- ! вообразную для функции у =, + ! = (» ° !) (л 1) -(т+ !) 2+ !. Получаем Р(х)- +х-- — х. Тогда -1 л+1 площадь фигуры 8 Р(2) — Р(0) - ~ — — + 2) — ! — — + О ! = 1-— зе! ! ( Ое1 ) 3 -(-1) = 2-.
Ятщцг 2 —. 2 2 3 з 2ОВ В. 2(нмгэ Збба) Изобразим фигуру, оэ)юниченн)чо линиями у = Звш ~ т + — ), Зэ Зэ Зэ э1 2-0, х-- — их- —. На промежутне ~ —; -~ Функция у(х) 20, ('й, Зэ1 а на промежупсе ( 4: 1 функция у(х) с О. Поэтому разобьем данную фигуру с плошадью Я на Фигуры с плоп1ддями Я, и Я„т.е. ээ) Я=Я +Я,. Найдем пержюбразиую для функции у-Ззщ~х+ — ~ 1 2 ° ! Зэ1 и получим Г(х) — Зсов~х 4- — /. Тогда площадь Я Г~-~- Г~ — — ~= (э Ээ) ( Ээ Зэ) = -3 сов~- + — ~+ 3 сов~ — — + — ~ = -Зсов к + Зсоз 0 - — 3.
( — 1) + 3 х (4 4) ( 4 4 (й Зэ. х 1 - б. Так как на промежутке ~4: функция у(х) С О, то пло щадь Я, =-~Г~ — 1 — Г~ — )) = -~ — Зсоз~ — т — ) «-Зсов~-+ — ~~ = =-( Зэ — — Зсов — + Зсозз~ = — ( — 3 ° О+ 3 ° ( — 1)) = 3. Тогда площадь всей 2 фигуры Я=б+3 =9. ПЗИ22: 9. Зббб) Изобразим фигуру.
ограниченную линиями у = 2сов 2х, э и 2 = 0, х = — — и х= †. Для вычисления площади этой Фигуры для 4 4 Функции р - 2соэ 2х найдем первообра У 4!н 2» ную Г(х) = 2 — = вш 2х. Тогда площвд г Ф-У.ы Я-Г~-;)-Г~ — "~ =з)н(2.') в1п~ 2 ' ~ — — ~ = вгп — — з!п ~ — — = 1 Н вЂ” (-1) = 2. ()2222: 2. ыо Гласи 3.
На есз а.!вал н интгг ал 2 357а) Для вычисления ) х~а(х найдем первообразную для функ- -1 л* ции ((х)-ха и получим г"(х) = —. Используем формулу Ньюто- 5 й 2' (-1) Зй на — Лейбница. Тогда получаем: ) х~!(х =— 5 ~ 5 Ь 5 -1 ! зз з + — = — =6— Ь Ь 5 ~НИЬт: 6 —. з 5 «12 3575) Для вычисления ) совка(х найдем первообразную для о функции Дх) - соз х и получим Р(х) зап х. Используем формулу /й !И2 . г. Ньютона — Лейбница. Тогда получаем: ) СОВ Х а(Х = В1П Х!а — — З1П вЂ”вЂ” 2 о — юп0=1-0=1.
2(2 2 1) 2(2 1+1) 1 ()йгм2: — . 15 1 1 -3+5 2 1 = — — + — =— 10 5 ЗО 20 15 чй 353г) Для вычисления ) в1п2ха(х найдем первообразную для ~а — снй 1 Функции У(х) =ми 22 и получим г(х)- = — — соз2х. Исполь- 2 2 зуем формулу Ньютона — Лейбница. Тогда получаем: и )нй ) з)пгх!(х = — сов2х~ =--ссм! 2 ° -)+-сов!2 ° -) = --совке !а л «--сов-= -- ° (-1) а — ° О = —. 2 2 2 2 2 Щдзй! †. ' г д» 358а) Для вычисления ) —, найдем первообразную для , (2!+1) 1 (гл Ь1) функция у(х)=, =(2ха-1) й и получим Е(х)=.
(гл а 1) -! 1 :2=— . Используем формулу Ньютона — Лейбница. Тогда 2(2 + !) 2 2 Л 1 1 1 получаем: ), 26 Уемгг л 3596) Длл доказательства данного равенстве двз интеграла. Вычислим: ьэ ,ыз 1 1 з!пхдх=-созх( =-сов-+созО= — — «-1=— Е 3 2 2 надо вычислить з Н4 1~„- "! =2чх~ =2 (- — 2( — =2 — — 2 — =1- Ще 4 1З 2 4 Щз 1 1 2 2 1 иятегрвлз. Получаем: )(2х+1)«2»= (»2 + х)( =(12+1) — (02 10) =2 з з н ) (хз — 1)42» = ~ — — х)~ = ~ — — 2) — ~ — — О)= 4 — 2 — 0 = 2.
Видо «о 1 з но, что )(2»т1)6» =) (х — 1)«2». Птвпт: доказано. 36040 Изобразим фигуру, ограниченную линиями у = хз — 4» + 5. у О, х = О и х = 4. Тогда 4 площздь этой фигуры Я = ) (х — 4т + 5) 6» = 4 Е = ~ — — 2»з+ 5»)( = ~ — — 2. 42+ 5 4)— -( — — 2. 0 + 5 0) = ( — — 32+ 20) — 0 = !О з 1 «бз (Ъ ) '12 б4 1 1 1 = — - 12 = 21- - 12 = 9-.
виват« 9 —. з з а' з 3616) Изобразим фигуру, ограниченную линиями у = 2 — хз. у - 1, х = -1 и х — 1. Очевидна, что искомая площздь Я = Я„р — Явсзр — — ) (2 — » ) 42» — ) 1 «2» = -1 -1 1 1 = )(2-»~ — 1)«2»=)(1 — х~)«2» = нз Н4 Г 4» Видно, что ) в!п»42» = 1 —. ьмзв21 доказано. Е 614 "" 359») Лля доквззтелъсгвз денного равенстве надо вычислить двв ыг Глана 2. Пе знал а «ммаг ал 362в) Вычислим интеграл 3 !з !54 (>1,= !.— — = 16 —:'(-) ~ = 916- ~ = 9 16 — - 9 (6 — = 916 — — 915 0 = ~1!! г! Зн О н 5 = 9 чЗ вЂ” 9 0 = 9 (3. Ягмп: 9 БАГЗ. 363а! Исвользул основное тригонометрическое тождество и формулу для синуса двойною аргумента.
подынтегрвльную функ- Г ,г з цню запишем в виде !(х! =, в!п — + сов — ) = в!п — + 25!п-сов — 4 4 4) 4 4 4 зг (. зх зх! . к х! . х + соз — = ! в!и — + сов -) 4 ) 2 яп -соз — ) = 1+ в!п-. 4 ! 4 4! 1 4 4) 1' данный интеграл амз 2сов-)( 1 мв з 15, ~в!п-+ сов-~ йх = ) (1+ 5!п — вх = (х— о 4 4) ! зз о =( 2г з ! 2» = — ' — 2сов-) -(Π— 2совО) = ~ — — 2- — ) 4 2- Э 2) (3 21 гз 1 = — т 1. з ЯЗМП: — + 1.
з 3636! Вычислим интеграл , з 2 )(1422) Их = 3 (1 Ю) (1 2х) (142 2) (1г2.0) 4 2 В В В о е о 5 1' 625 1 624 = — — — = — — — = — = 78. в в а в в 1 3626! Полынтегрвльную функцию !(21= запишем в виде 32х+ 5 1(х) (2х+ 5) '. теперь вычислим данный интеграл 2 ) -г — = ) (2х + 5) - Их = — = Ж' + 5 ~ = чг2 2 + 5— -2 -~2'( — 2)+ 5 = Г9 — Л = 3 — 1 = 2. Яудж 2. 1!з 3. Иэтю ал 364а) Изобразим Фигуру, ограннчеяную линиями у = х', у — 8 и х — 1. Очевидно, что площадь данной фигуры 8=3„-8„2„=1 8 — ~хэбх= =8 — — ~ =8 — ( — — — )=8-(4 — -)= = 4+ — = 4-. ! ! ! ! 3646) Изобразим фигуру, ограниченную линиями у = 2созх, э э у = 1, х = — — и х = — . Очевидно, ч ю площадь эюй фигуры 3 3 !э 2э 3 =3л .о!.— 3„„л, = )2с бх-1 -чэ гз 23 . э = 2з!пх~ ' — — = 2з!и-— 3 3 и ! 2г.
ЧЗ -2 ! (-Т)- — =2.— '- 3) 3 2 ЧЗ 1 2э ! 2э -2~- — — — = 2чЗ вЂ” —. 2 ~ 3 3 О дкг: 2,Г3- — ". 3 365а) Изобразим Фи!уру, ограниченную линиями у-42 — хз и у-4 — х. Найдем абсциссы точек пересечения этих линий! 4х— — х! 4 — хили 0-хг — 5х+4, откуда х — 1 ! и х = 4. Тогда площадь данной фигуры Я = 4 ! о блзл =1(42 х')"х Йв «)ух= ! ! ! 4 )! =$42 — х ) — !4 — х~)!23 =))бх — х — 4)г)х =(5 — — — — 4х)~ 2 3 ! ! ! =(5 — — — — 4 4) — (5 — — — — 4 1)=(40 — — — 16)— )'э ! ! в )' гг') 3 и гг — (- — — — 4) = — — (- — ) = — + — = — = 4.5. 02342! 4,5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
