kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 15
Текст из файла (страница 15)
2 Ятвдг". а) 0,04 П; б) 0.0025 Цж. 277) Перемещения тел меннются по законам х (П 4!! — 3 и 3 ! х (О-1 . Найдем скорости тел (скорость — производная от перемещения по времени): и, - х',(1) - (41! — 3)'- 81 и оз =- х' (() =- (1!)' ЗН. Известно. что о, ь оз. Поэтому получаем неравенство 81 .
311. Так кэк 31 ь О, то разде!им обе части неравенства нз эту величину. Глава 2. )Г алаадаал и ег и ияеаеаиа 8! При атом знак неравенства сохрвияетсв. Получаем: — > г или 2! 8 2 2 - >!.т.е. 0<!<2- (с). Охват: 0< ! < 2 (с). з 2 3 276) Так как первое тело движется с постоянной скоростью 5 км/ч, то его перемнцеиие 3,(г) - 51 (км) = ОА. Перемещение юорого тела В (г)-222+ ! (км)-ОВ. Найдем расггояние между телами Я-АВ.
Рассмотрим /ГА )В и запишем теорему косинусов: АВ2 = ОА2+ ОВ2— 8, ! — 2ОА ° ОВ воз« АОВ - 3»+ 3 2 — 23 Я, ° — = г бе' = (51)2» (211+ Г)з — 5! . (212+ 1) = 25Н+ 414+ 4Н+ О 8, и + Н 10(з 512= 41» бгз+ 21Н, откуда АВ 4! — 61 + 2П =Б(г). теперь найдем скорость З 2 удахения тел (скорость — производная ст перемещения по време- (» ' - з " + 2! -') ии) о=о(Г)= ~ 41 — 61 +21!2 ! = 2 4! — б!" + 2П 4 .
4!' — б ° 3! ° 21-2! 8!" — ЗГ г 21 — -/ „— (км/ч) при ! > О. 21 4! - З!» 21 44!» — бГ» 21 8!' — ЕГ 21 ьВИ2Х: ~ при Г>0. !44 - ж ° 21 $6. Примеиеинм ароизводной к исследованмю функций 1 279а) Найдем производную функции /(х) =3 — -х. Получаем 2 /'(х) ] 3 — — «! = — —. Зта производная отрицательна при всех зна- 2 ~ 2 чениях х. Следовательно, Функция /(х) убывает на всей числовой оси. (жвцг: ( —; ) — щюмежуток убывания. 2796) Найдем производную функции /(х) — «2+ 2х — 3. Получаем /'(х)-( — хз+ 2« — 3)'- — 2х+ 2-2(1 — х). Видно, что при х < 1 производная положительна и функция /(х) возрастает.
Поэтому (-; Ц вЂ” промежуток возрастания. Прн х > 1 производная /'(х) отрицательна и Функция /(х) убывает. Следовательно (1; ) — промежуток убывания. Ягийт: ( —; 1] — премежуток возрастания, (1! ) — промежуток убывания. 2 230а) Найдем п1юизводную Функции /(х) = — — + 1 = — 2х '+ 1. 2 Получаем /(х) =(-2« '+1)'- — 2 ( — Пх 2= —,. Видно. что произ- 6. П ияенгнея а изесднса к исгледееанню нкчэа вг водная положительна при .т Е ( —; 0] () (О; + ). Заметим, что прн х = 0 функция г(х) и ее производная ~'(х) не оарелелены.
Следовательно, функция возрастает на нромежуткал (-; 0), (О; ). [)тнтх: ( —; 0), (О; ) — лромежуткм возрастания. 2808) Найдем производную Функции г(х) хз(« — 3) = «э — Зхз. Получаем г"(х) (хт — Зхз)'=Зхз — 3 ° 2х 3«(х — 2). Изобразим на диаграмме звакн этого выражения. Видно, что производная ((«) положительна при х Е (; 0)() (2; ). Поэтому промежутки воэраста- нин (; 0). [2; ). Проиаводная г'(«) отрицательна прн х Е (О; 2). Следовательно промежугок убывання Функции [О: 2). Явдат: промежутки возрастания (; О). [2; ), промежуток убынания [О; 2).
281б) Найдем производную функции Дх) = 4 — хй Получаем г"(«) =. (4 — «е)'= -4хз. Производная ~'(х) положительна при х < О. Поэтому промежуток возрастания (-; О). Пронзнодная /'(х) отрицательна при «> О. Следовательно промежуток убывания Функции [О; ). [)хват: промежуток возрастания (; 0), промежуток убывания [О; ). 283а) Найдем производную функции г(х) = хз е 3«з — 9х+ 1. Получаем ['(х) = 3«з+ бх — 9 = 3(хз+ 2х — 3). Разложим это выражение на множители ['(х) = 3(х — Ц (х+ 3) и изобразим диаграмму знаков. Видно, что производная положительна при х Е (-: -3) О (1; ). кости точки ( 3, 28) и (1, 4).
Схематично изобразим граФик. ивет: (-; -3), [1; ) — промсжут. ки возрастании. [ — 3: Ц вЂ” промежуток убывания. Гмова 2. Прои.4водмим и г иримгвгмим 233г) Найдем производную 4Рункцни 1(х) = х" — 2хэ. Получаем Г(х) = 4хм — 2 22 = 4хэ — 4х = 4х(х — 1) (х + 1). Изобразим диаграмму знаков производной. Производная положительна црн х О ( — 1; О) П ()(1; ). Поэтому промежутнн возрастания [ — 1; 0), [1; ). Произвсднва отрицательна при т Н ( —; — 1) П (О; Ц. Следовательно про- межутки убывания функции (- ; -Ц, [О; Ц.
Учтем, что функпи» 1(х) хм— -2хэ является четной. Находим значенняэ 1(-1) Д1)--1 и ДО)=0. Отметим точки ( — 1: — 1). (1; — 1) и (О: 0) на координатной плоскости. Также найдем точки пересечения функции с осью абсцисс. Получаем уравнение: 0 = х" — 2хэ нли 0 = хэ(хэ — 2), откуда х, = О, хэ = — 4Г2. хз 4(2. Схематично изобразим график. Птввтэ [ — 1; 0), [1: ) — промежутки возраьтанпя, ( —; -Ц, [О: Ц вЂ” промежутки убывания. 234б) Для функции Дх)= [к — 3[ — 2 раскроем знак модуля.
-[х — 3] — 2, если х — 3 < 0 [1 — х, если к< 3 Получаем: Т(х)- х — 3 — 2, если * — 3 > 0 [х — 5, если х > 3 ' Найдем производную этой функции [-1, если х < 3 1"'(х) = ~ . В точке х= 3 произ- [1, соли х > 3 1 1 Э Э водная фувкции не существует. Видно, что Функция возрастает на промежутке [3; ) и -2 убывает на промежутке ( —; 3]. В точке х - 3 Функция достигает наименьшего значения ДЗ) = — 2. Теперь легко построить гра1рнк агой 1рункции. Оуйау: [3; ) — промежуток возрастания, ( —; 3] — промежуток убывания.
[1 ~ [! — м 234г) Для Функции Т(х) - — — 1 ~ = ~ — ~ раскроем знак модуля, учитываи знаки выра 1 — .4 жения — (см. рис.) Получаемэ вз -] — — 1~, если хе(; 0)ьг[1; ] г(х] = ! ! г /1 — — 1, если хе(0; 1) ! г ! ! ! 1 — —, если хе(; 0(ш(1; ) — — 1, если х е (О; 1( ! г —,, если х е (; О) сг (1; ) ! Найдем производную ( (х) = .
Заметим, ! если х е (О; !) что производная в точках х =. 0 и х = 1 не существует. Учтем, что ! — ' 0 прн хк О. Тогда функция Г(х) возрастаот на промежутках (-; 0) н (1; ), убывает на промежутке (О; 1!. В точке х = 1 функция принимает наименьшее значение ((1] — О. От- метим,что прил -+ величина 1 — -г 0 н функция ((х) -г ( — ! ( = 1. Учнтыааи перечисленное, построим график данной функции. Цуйцг: (-; О], [1; ) — промежутки возрастания, (О: 1] — промежуток убывания. 285а) Функция г(х) = Зх Е оса 2х определена иа Я.
Найдем производную й~ункции ~(х).= 3- мп 2х 2 = 3 — 2юп 2х. Опредеггим знак производное. Очевидно — 1 С Уп 2х С 1. Умножим все части этого нс. равенства на отрицательнгм числа (-2). Знаки неравенств меняются на противоположные: 2з — 2а!и 2х? — 2. Прибавим ко всем частям неравенстна число 3: 5> 3 — 2а!и 2хр 1 илн 1 к/'(х) д 5. Видно. что ггроизводная г"(х] положительна при всех х.
Следовательно, функ. ния ((х] возрастает на Я. Жму: доказано. 2855) Функция б(х] — — — х определена на Я. Найдем произ- 3 Зх водную б'(х) = - — — 1 = — (хт-]- 1). Видно, что производная 3'(х) от- 3 рицательнз при всех х. Следовательно, функция б(х) убывает на Я. 9тделг доказано. Глава Д П оизвсдиая э ге л илелглих 286а) Для исследования уравнения х'- 27х + 2 = 0 рассмотрим функцию г(х)-хз-27х+ 2 и найдем се производную 7'(х) = Зх-'— — 27 =3(хз — 9).
На диаграмме изображены знаки этой производной. Тогда на промежутке Р, = (-1; Ц производная ]'(х) < 0 и функция )(х) убыввпг. ОпРеделим знаки функции )(х) на концах этого промежутка: (( — 1) = (-1)з — 27 ° ( — 1) + 2 > 0 и г(1) = 1з — 27 ° 1 + 2 < О, Видно, что функция убывает и меняет свой звяк. Следовательно.
на промежутке Р, уравнение имжч единственный корень. Нз промежутке Р = ]4; 6], как видно из диаграммы, производная ) (х) > 0 и функция г(х) возрастает. Определим знаки функции ((х) па концах этого промежутка: г(4) = 4э — 27 ° 4 т2 <0 и дб) = =ба — 27 ° б+ 2 ь О.
Видно, что функция возрастает и меняет свой знак. Следовательно, па промежутке Р данное уравнение имссг сдииствесный корень. Ьцжа: доказано. 288а) Функция Дх) = 4 — 2х+ 7хэ определена на )). Найдем производную 7'(х) = — 2 414х. Функция г"(х) также определена на Й (т.е. сущестеусг при всех х). Чогда критическая точка задается 1 1 условием 7'(х)-0 или — 2 з 14з =О, откуда х- —. Нгвщ: х = —. 2886) Функция 1(х) = 1 4 сов 2х определена иа Л. Найдем вронзводную г"(х) - -ып 2х 2 - -2гйп 2х.
Функция г"(х) также определена на )) (т.е. существует прн всех т). Тогда критические точки задакпся условием г"(х) = 0 или — 2в!и 2х = 0 илн в1п 2х = О, откуда 2х =хл и х = — л, где л е х. аунду:х = л, где л е х. 2 2 2896) Обсудим график, изображенный на рис. 110.6 учебника. Точка х, — точка максимума (производная в этой точке не существусг). Точка х — точка минимума (производная равна нулю).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
