kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Решая это квадратное неравенства, получим х Е [-3; 3). Щвйг: [ — 3; 3). 1 222б) Область определения функции у = -Г задается 4 -7 ээ условием хэ — 7х+ 12 > О (подкоренное выражение должно быть неотрицательным и делить на нуль нельзя). Решая это квадратное неравенство. получим х Е (-; 3) Ы (4; ).
ЯЗ(ВЦ: (: 3) О (4: ). 223а) Область определения функции у = тгом х задается условием соз х э О (псдкореннсе выражение должно быть пестри. цательнмм). Из тригонометрического круга вилис, что неравенство сов х э О выполнено в ! и )т' четвертях, т.е. при х Е Е [ — +2кп; — +2кл~, где а Е г.
2 2 Ятй(ц1 ~--+ 2хл; — + 2хл~, где л Ех. 2 2 224а) Функция 1(х)-(22 — 7)з является сложной и се можно записать в вцае Ях) = 5(б(х)), где Ь(б) = 2" и 2(т) = 22 — 7. На правилу нахождения производной сложной функции получаем: 1' = — Л' б' = (64),' '(2т — 7)'„881 2 = 1661 16(2х — 7)1. Индекс внизу указывает, по какой переменной берется производная. утрат: 16(22 — 7)"'.
1 2246) Функцию 1(х) з запишем в виде 1(х) = (бх + 1) 1. [эг 4 1) Эта функция является сложнов и ее можно представить в виде 1(х) =- Ь(2(х)), где Л(б) б з и б(х) = 52 т 1. Но правилу нахождения производной сложной функции нолучаем1 1' = 5' б' = О( з)' ° (5х -1- 15 + 1!' =-38 4 ° 5= — 156 4- — 15(5х+ 1) 4= — „.
Индекс внизу (зз ч 1) указывает, по какой переменной берется производная. 15 з 2256) Функция 1(х) = ( — х — 7~ — (1 — 2х)4 является разностью з (1 двух сложных функций (-х — 7~ и (1 — 2х)4. Находя производ- (4 аые этих функций (аналогично примерам 224а, б), получим: )1 1 (1 ('=8 (-х — 7) ° — — 4(1-22) ° ( — 2)=2~ — х — 7 +8(1 — 2х) .
з з 3 Я2ДЩ: 2( — х — 7) +8(1 — 2х) . ,4 Гласа зк П скзссдкак и гг к илюкгки» 226а) Область определения функции р= Л вЂ” 2совх залаетс» условием 1 — 2совх>0 (подкоренпое выражение должна быть неотрицательным). За- 1 пишем ато неравенство в виде созхс —. 2 По оси косинусов (горизонтальная ось) от- 1 ложия значение —. Построим углы, удовг' 1 лстворяющис условию ссз х = — на вромежутке [О; 2л).
Зто углы хк= — и хз= 2к— к 5к — = —. Множество тачек окружности, удовлетворяющих исра- 3 3 аенству. отмечено буквой 1. Видно, что решсинеи неравенства 1 п зк сав х < — являются значения — < х с †. Учтем периодичность 2 з з )к, 5к функции косинус и получим х Е ) — ' 2кл: — + 2кл~, где л Е з. ьз з 1к 5и ) Щвзгк 1 — е 2гл; — е 2кл 1, где л е г. )з ''з 11 226г) Область определения функции у = ! — 1. 1 задаогся угла- х 1 внсм — -1-1 > 0 (подкорсннос выраженно далжяо быть нсотрицак 1 тельным). Знапишем зто неравенство в виде — > 0 п решим сто к методом интервалов. Отметим точки х, =- 1 и х.,= О, в которых числитель и знаменатель обрашаютсн и нуль.
Построим диагрзм- 1+к 'му знаков дроби †. Учтем. что х а О (делить на нуль нельзя). Тогда решение неравенства .т Е (-: — 1) О (О; ). 227а) Даны функции 1(х) = 3 — 2х и 3(т) - хз. Зададим формулой сложную функцию 5(х) = Т(3(х)). Так как 3(х) - хи, то функция 3(х) - 1(хи). Теперь найдем агу функцию, если ее аргумент равен хк, т.е. З(к')-3-2 хз. Яумцк Щх)=3 — 2 кз. и П !сознал 237в) Даны функции 1(х)=3-2х и 3(х) «2. Зададим 1Рормулой сложную функцию И(х) - й(1(х)).
Так как Дх) - 3 — 2г, то функция И(х) 2(3 — 2«). Теперь найдем зту функцию, если се аргумент равен (3 — 2х), т.е. И(х) = (3 — 2т)2. Цуиз(1 Л(х) = (3 — 2«)2. 1 228а) Даны Функции !(х) = — и 2(х) = сов х. Заладим бюрг — 1 мулой сложную Функцию И(х) = )(2(х)). Твк как 2(х» созх, то функция И(х)-1(сов х). Теперь найдем эту функцию, если се аргумент ! равен сазх, т.е. И(х)- .
Найдем область определения этой оз« -1 функции. Она задается условием сов х — ) ай (делить на нуль нельзя). Решая это неравенство, получаем « а2ян, где п Е х. Таким образом, область определения функции И(х) — все значения х. кроме х = 2хп. 1 Отнэт! И(х) ; все х, кроме х = 2«п (где и Е 2). соз « — 1 228а) Даны Фувкции р(х) = (х и 2(х) = соз х.
Зададим форму!ой сложную функцию И(х) = р(2(х)). Так как 2(х) = саа х, то функция И(х) = р(сов х). Теперь найдем эту Функцию, если ас аргумент равен созх, т.е. И(х).= т(соек . Найдем область определения этой функщ!н. Она задается условием созх>0 (подкоренное выражение должно быть неотрицательным». Решая зго неравенства. получим: х Е ~ — — т 2кп; — + 2яп~, где л Е з (см. задачу 223,а). 2 2 Г з Яраг: Л(х) = чсоз«, »)(Л) =.
~- — + 2яп; — + Зхп~, где и Е з. 2 2 229а) Такой функцией является функция 1(х)- —. Проверни 2 эт). Для Функции 2(х) - 2х найдем Ду(х)). Так как 2(х) = 2х, то 2« !(2(х)) !(2«)- — = х. Таким образом, требуемое равенство вы- 2 палисно. Жщт: Дх) = 2 « — 2 220в) Такой Функцией являстси функции !(х) —.. Прове- 3 рнм это. Для функции 2(х) = 3« Е 2 найдем !(2(х)).
Так как 2(х) —. (з«2) — з з = 3« .ь 2. то Ду(«)) =. ДЬ«+ 2) = = — = х. Такни образом, з з требуемое равенство выполнено. ()ТщЗ! Дх) =— з 230а) Функция 1(х) = («1 — 2«2+ 3)'1 является сложной. Зе можно записать в виде Дх) = Исд(х)), глс И(д) = д!1 и 2(х) = хз — 2х! е 3. 66 Глава 2, П ии«всу! иия я и и в«««ии ииим!«иия Используем првнило нахождения производной сложной функции: (;=5;.У',. (У")' (и'-2«2+ 3);= 174!з (Зхз-2.2Х).—. 17(хэ — 2хз ! т 3)'Ь ° (Зхз — 4х). Индекс внизу уьззыезет переменную. по которой берется производная. Ятуйх: 17(хз — 2хи 4 3)'в ° (Зтз — 4х).
1 2306) Функцию 1(х) = «(1 — х" т —, запишем в виде Дх]= «*ь 3 = (1-хв) + (хз+ 3) '. этв функция равна сумме двух с«южных функций (1 — х" )' и (х«+ 3) '. Используя прзвнло изхождения про. взводной сложной функции (внзлогичио примеру 230,а), получим: 1 — (1 — хв) (-4хз)+(-ц(хз+3) 2 (2х) — — Г= 2 41 — «' ( '~ з) Щи!ц! †.у 2316) Учитывая, что производная суммы Функций равна сумме 1 производных этих функций, получаем: у'= (! — — зп«х~ = (1)— 2 — (-з!пх) =0--(в!пт) = — -созх. щдвх: — соэх.
(,2 ) 2 2 2 232г) Учтем, что произзоднзя суммы функций равна сумме производных этих функций. Для функпии у = 2мп х е 1,5 сов х получзем у' = (2вш х+ 1,5сов х)' = (26!и х)'+ (1,5сов х)' = 2(в!и х)' + е 1,5(сав х)' = 2сав х — 1,бзьп х. Отн„у: 2сов х — 1,5з!и х. 2336) Производная суммы Функций равна сумме производных этих функций. Поэтому для Функции у совх-!Зх получаем: у' ! .= (саз х — (3 х) = (сов х) — (!3 х) = — Бш х —— иии' « 1 Отдух! -вьп х — —, е и' « 234з) Используя четность Функции косинус и формулу приве! дания. эзпиюем Функцию 1(х)- -сов(2х-я) в внле: 1(х)-.
2 1 1 = -сов(я — 2х)- — -сов 2х. Используя прзвнло нахождения произ- 2 1 ! 1 водной слон!ной функции, получим: Г(х) = ! — — сов 2«) =- — -( — мп 2х) х х2 =юп 22. Вычислим значения производной з данных точках: Г(0)=ми(2.0)=зшО=О ну(к)=61п 2к=О. 92жц! 0; О. 2345) Учтем, что производная от суммы двух функций равна сумме производных этих функций. Также используем правило нахождения производной сложной функции. Запишем функцию /(х) = х — !3(.-2х) в виде Пх) = х Ь !3 2х. Тогда производная /'(х)- ! 2 =- (х + 23 2х)' = (х)'+ (!3 2х)' = 1 + —, 2 = 1 с. —,. Теперь с -'2 с '2» найдем значения производной в заданных точках: /'(О) —.
1 ' = 1 + , = 1 + - = 3, / (л) = 1 + = 1ч - » 3. мсс[2 - 0) ссс С ! (2»] 1 Охнет: 3; 3. ! 235а) Сначадв найдем производную функции Дх) = — х+ соа х. 2 /! /! ! Получаем: /(х) = ! — «+ соях) = ! -х) -с (созх) = — — з!пх. Прирав- [2 (2 г ! наем произеолкую нулю и пахучим ураннение! — — в!их — -О или 2 ! з!их —. Решения этого уравнения х-( — 1]" згсыв — -! ил =( — 1)'х 2 з х — ! хл, где л Е з. ьлвдт: (-1)" ° — -!- хл, где л Е з. з б 235г) Найдем производную функции /(х) — т — сов х. Получаем: Г(х) (т ожз) =(х) (сов») 1 — ( — Б»пх) — 1 ыях. При!жвяяем ароизводную нулю н липучим уравнение: 1+ ажх = О или мп х= — 1. Решения этоса уравнении х- — —, + 2дл, где л Е з.
х 02дзх! — —, +2лл, где л Е з. 2 236а) Функция /(х)-хзз1п 2х явзяется произведением двух функций х и юп 2х. Поэтому используем формулу для нахождения производной от произведения лвух фуякцнй. Получаем /'(х)— = (хзз!а 2х)'- (хз)' а!п 2х + хз (юп 2х)'-Зхзз!и 2х + я!сов 2х ° 2— =. Зхзе!п22+ 2ззсоэ2х. Ответ: Зхзв!п 2х+ 2хзсоз 2т. ссс 3» 236в) Функция /(х] = является частным функций сов Зх и х. Поэтому используем формулу длв нахожаения производной ]~з ] от частного функций. Получаем: П(х) = ( — ) ( »З»)» — смз» ° [») [-сжз» 3)» - 3 ! З»с! З.с + се»3» 3» 3* ° 3» Глава 2. П их»адни» и ее и имению» 237а) Учтем формулу для нахождения производной сложной функции.
Для функции Дх) - юлях получаем производную: 1"(х)- =(зйп х)'-2зяпх саа»-Йп2». ()23621 юп2». 2376) Функцив 7(») = 46 »+ с)6» является суммой двух функций. Учтем, что производная суммы функций равна сумме производных этих функций. Получаем: ( (х) = (16 «+ с(бх)' = (16 х)'.1- 1 1 ии" х — ия х -4(с х — с1и х) -ссс»2 с + (с16х)'— ы»*» иэ*»»1й" хсс ' 4нйсхсм яи 2» -4с 2» »и" 2» 236а) Функцию 1(х) = сов 2» аш т+ э1п 2»сов х, используя формулу для синуса суммы двух углов, запишем в виде: 1(х) = ып (х т + 2») = з!и Зх. Найдем производную этой Функции.
Получаем: 7'(х) = (юп Зх)' саз Зх 3 Зсаа Зх. Щвд21 Зсо»З». 236г) Используя формулу для синуса двойного аргумента, функ- ! цню 1(х) = в)п Зх сов Зх запишем в виде Г(х) = — ып бх. Учтем Оюр- 2 мулу для нахождения производной сложной функции. Тогда полу- чим1 1"(х) =! -я!пбх~ = -созбх ° б = 3созб». 1»увееус Зсоз бх. (1 12 ~ 2 2396) Функцию 1(х) = 2»+ ссм(4» — л), используя четности функции косинус и бюрмулу приведения, заяишсм в виде: 1(х) = 2х+ + соа (л — 4») = 2х — сав 4х. Найдем производную этой функции: 1"(х) = (2х — соа 4х)' = (2х)' — (сов 4»)' = 2 — ( — в!п 4х 4] = 2 + 4»1п 4».
Прн!меняем производную нулю. Получаем уравнсннес 2 + 4ып 4х = О 1 или э!и 4» — —. Решения этого уравнения 4х=( — 1)" агс»!п~ — ) + 2 2! 4- Лл - (-Ц" °, — — ~ + ЛЛ = (-1)ем — + ЛП, Гдс Л Е З. ТЕПЕРЬ НайдЕМ ( ! я я — — +-а. 24 4 Теперь решим неравенство 1"(х) > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
