kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Подставив в это неравенство производную 1"(х), получим: 2+4з1п4т > О или а!п4х > 1 > — —. Для решения неравенства введем 2 новую неизвестную 1 = 4». Имеем неравен- 1 ство ып 1 > — —. Решения этого неравенства 2 х тй — + 21Ш <! < — -1- 2КЯ. ГДЕ Н Е». ВЕРНЕМСЯ а е а. П «»свези» «гл е ыевосмв и л э»сод»оа к старой неизвестной х.
Получаем двойное линейное неравенство а 7» — — + 2пл < 4» < — + 2ки. Разделим все члены этого неравенства 6 6 вв положительное число 4. При этом знак неравенства сохраняет- з з 7» к ся! — — + — л <»< — т — л. 24 г ы г л» / з» 7»» Ях!жг! (-1У"' — т -л; ~ — — + -л; — + -л~, где л б 2. 24 Я ~ 2Я 2 24 2 240а) Такой функцией является, например, Функция /(х) = х + +со⻠— 3. Проверим зто. Найдем проиаводную этой функции: /'(х) - (х Я соь х — 3)' = 1 — вш х. Видна, что производная /'(х) совпадает с данной функцией. Яущ,х! Пх) = х + сов х — 3.
$ б. Применения непрерывности н производной 241а) Функция /(х) = «4 — х 4- 1 непрерывна в любой точке области определения ()(/)=Е, т.к. является суммой непрерывных функций. По!тому функция Дх) являстсн непрерывной в точках х -О и х - — !. Яхз(ц: является. ! 2 2416) Для наглядности изобразим график функции (»+1 при х< — 1 /(4 = 2 . из г(мфнна виана, что в точке х, = О Функция является непрерывной, а в точке х = -1 функция ие является непрерывной.
Рассмотрим поведение Функции /(х) вблизи точки х - -1. Пусть х — — ! + Ьх. Если 2 ах<О и Ат-! О, то значение функции /(х)-+О. Если Ат> О н Ат-+О, то значение функции /(х) — ! 2. Таким образом, прн х -+-1 значение функции /(т) стремится к двум различным величинам. Следовательно, 47уикшся Дх) в точке «! — ! не является непрерывной. Щвйг! является, не являстси. 242а) Так как функция /(х)-хз — 2хт нвллетсл суммой двух непрерывных функций, та Функция Дх) непрерывна иа асей числовой оси. Поэтому промежуток непрерывности Функции Е.
Жвст! Н. 27 2426) Функции Ех), определена прн тех значениях х, 3»» для «атарых Зх + х" х О или х (3 + х) х О, т е. при х х О и х х — 3. Гласа 2 Л сизвсдния и ег с ияевгния Функция 1(х) называетсн непрерывной в точке хс, если при х -4 х„ значение 1(х) 4 1(хе). Но функции )(х) в точках « =0 и х = — 3 нс существует. Поэтому в этих точках функция не является непрерывной'. Следовательно. щюмежутки непрерывности данной функции (- ; -3).(-3; 0),(0; ). Щ2222:(- ; -3),(-3; 0],[0; ). 244а) Решим квадратное неравенство «2 — 5х+ 4 > 0 методом интервалов. Найдем заачения т.
при которых выражение х'"' — 5х + 4 равно нулю. Эти значения х, = 1 и х = 4. Отметим эти точки на координатной осн. Они разбили коордиматную ось на трн интервала. Определим знак выражения хз-5хь 4 в последнем третьем промежутке. Например, для точки х =!О из этого интервала получаем: 102 — 5 10+ 4 > О. Прн переходе к каждому следующему промежутку знак выражения меняется иа противоположный. Получаем диаграмму знаков этого выражения. Учтем что данное неравенство строгое. и границы интервалов в решение ие входят.
На основании диаграммы знаков запишем решение х Е (-; 1) П (4; ). Сцваг: (; 1) и (4; ). х з 2446) Рациональное неравенство эО решим методом х 44х — 5 интервалов. Найдем значения т, при которых обращаются в нуль числитель х + 3 = 0 (корень х = — 3) и знаменатель хз+ 4х - 5 = 0 Хтэ (корин х= 1 и х=-5) дроби, . Отметим этн точки на ко- т' 4х-5 ординзтной оси. Они разбили ось на четыре «птерзала.
Определим Х4 5 знак дроби, . например, в пссасднем четвертом промежутх 444-5' 242 ке. Для точки х = 2 нз этого интервала получаем,, > О. 2' 4" 2 -5 При переходе к нажлому следующему промежутку знак выраже- +з ння меняется на противоположный. Имеем диаграмму 4г — 5 знаков этой дроби. Учтем, что х я -5 и х я 1, т.к. делить на нуль нельзя. На основании лиаграммы знаков получаем решение данного неравенства х Е ( — 5; -3) О (1; ).
Яхдйгг( — 5; — 3) .)(1; ). %. П и,иеигии» иги не»а<ми и и и.«еазиаи 8 2466) В рациональном неравенстве , < 1 нерснессм число 1 в левую часть и приведем выражения к общему знамс- 8 8 — к*«6» — 8 нателю. Получаем:, — 1 < 0 нли „< 0 нли -б» 8 »"- 6» 8 '+ бк О. Рашим это неравенство методом интервалов. Ней- — 6 «8 деи значения к, при которых обращаютсн в нуль числитель -хе+ бк — 0 (корни х, =0 н х»= 6) и знаменатель хк — бх+ 8= 0 -» «ек (корни хз 2 н х = 4) дроби .. Отметим эти точки на каор- »'-бт 8 линатной оси. Они разбивают ась на нять интервалов.
Определим -»«+ б зная дроби, например, в наследием пятом промежутке. «'-б тв' -16« 6 .1о Цля точки к = 10 из этога интервала получаеи , - < О. 1С вЂ” 6 1О«8 При переходе к каждому следующему интервалу знак дроби меняется на противоположный. Имеем диаграмму знаков выражения -» 6» . Учтем, что данное неравенства строгое н границы про- — б 8 межутков в решенно не входят. На основании диаграммы знаков получаем решение исравенскве к Е ( — ; О) Г)(21 4) О (б; ). ьиадг«( ; О) Н (2; 4)П (б; ).
44 2466) Область определения функции 1(х) = )~к — задается 4 условием к- — 80 (подкоренное выражение должно быть не- » — 3 отрицательным). Решим зто неравенство методом интервалов. - Зк — 4 Приведем выраженяя к общему знаменателю: >О. Най- к-3 дем значения х. при которых обращаются в нуль числитель х»вЂ” — Зх — 4 = 0 (корни х - — 1 и х 4) и знаменатель х — 3 - 0 (корень 1 з к -З» — 4 к =3) дроби . Отметим эти точки на координатной оси. » — 3 гг Глава 3.П взводная и гг л илевсви» Они разбили ось нв четыре интервала. Определим знак дроби, например.
в последяем четвертом промежутке. Для точки х б из 5'-3 5 — 4 этого интервала получаем >О. При переходе к каждо- 5-5 "- Зк — 4 му следующему промежутку знак выражения меняется -3 ва противоположный. Имеем диаграмму знаков этой дроби. Учтем, что х в 3, т.к.
делить на нуль нельзя. Не основвнин диаграммы знаков получаем решение неравенства х Е( — 1; 3) О[4; ), что и являетсн областью определения данной функции. 0п)пг: (-1; 3) О (4; ). (4 — х при х < 4 247а) Функция г(х) = ~ з непрерывна во всех ~(х — и) при х > 4 точках ксординэтнай сон, кроме, может быть, точки х = 4. Рзссмотрим поведение функции вблизи этой точки. Пусть х-4+ Ах и Ах — 4 О. Если Ьх > О, то значение )(х) 4 (4 — т)г. Если Лх < О, то значение 4(х) -4 4 — 4 = О. Необходимо, чтобы величины (4 — т)з и 0 совпадали.
Тогда функция /(х) в точке х = 4 будет непрерывной. Получаем условие (4 — т)к = О, откуда т 4. Следовательно, цри т = 4 Функция Дх) непрерывна на всей числовой оси, Для наглядности изобразим поведе- ние Функции!(х). Учвсток 1 от пэрэмст- г ра ги не зависит. Участок 2 зввисит от ! параметра вь При ж-44 величина (4- 4 — гл)э -4 0 н точке А стремится к точке В. (4 — м1 А При гл = 4 гочки А и В совпвдвют н функция Дх) становитсн непрерывной иа всей х числовой оси. ()удЮ4 т =4. к — Зк 247б) Чтобы функция 4(х)- —, была непрерывной пз всей '-и числовой оси, прежде всего необходимо, чтобы функции была определена на всей оси. Для этого надо, чтобы при любых знзчепиях х знвменатсль дроби хз — гл х О.
Зто возможно только при т < О. Тогда цри тзких значениях т денная функция непрерывна на всей числовой оси, квк частное двух непрерывных Функций (при этом значение функции. стоящей в знаменателе. не равно нулю). Отв4П: т < О. 248в) Бикввдрстнсе неравенство х" — 1Охг+ 9 4 0 решим методом интервалов. Сначала решим биквсдрвтисе уравнение.
Ввелем новую неизвестную Г-хг и получим квадратное уравнение Гэ— — 104 т 9-0. Корни этого уравнения 4, = 1 и г -9. Вернемся к ста- 5. П езгнил ягз ыексгти и а изесдиоа рой ивнев<сткой х. Получаем уравнения: хз = 1 (его корни х,, = — 1) н хз = 9 (корни х 4 = 3).
Отметим эти точки иа координатной оси. Они разбили ось на пять интервалов. Определим знак выражения хз — 10хз+ 9, например, в последнем пятом промежутке. Для точки х = 10 из этого интервала получаем 10" — 10. 10т+ 9 > О. При переходе к каждому следующему промежутку знак выражения меняется на противоположный. Имеем диаграмму знаков выражения хз — 10хз+ 9.
На основании диаграммы запишем решение данного неравексим х 6 [-3; -1) П [1: 3]. [)гваг; [ — 3; — Ц О [1: 3]. 2490) Область определения неравенства э~х — 4 (х — 3) < О задается условием хт — 4 > О, т.е. х Е (; — 2] П [2; ).
Легко проверить, что значения х - я2 ис удовлетворяют данному строгому неравенству. В остальных точках области определения значение ух — 4 > О. ( г Разделим обе части данного неравенства иа положительную величину чхз-4 . Прп этом знак неравенства сохраняется. Получаем линейное неравенство х — 3 < О, решение которого х < 3. Учитывая также область определения, получим окончательное решение данною неравенства х Е ( ; -2) П (2; 3).
Охват:(- ; -2) П (2: 3). 249в» При решении неравенства хг(3 — х)(х -~- 2) > 0 учтем, что х = 0 не является решением его. При х а 0 величина хт > О. Разделим обе части дашюго неравенства нв зту величину. Получаем квадратное неравенство (3 — х)(х з 2) > 0 того же знака.
Репжя его меюдом интервалов. пазучии — 2 < х < 3. Учтем. что в этом промежутке .т з О. Тогда имеем решение данного неравенства х Я ( — 2; 0) () (О; 3). ()2392: ( — 2: О) и (О; 3). ( -а)("а) 249г) При решении рациональною неравенства, > 0 (» з) учтем, что з:= — 3 не нвяяется решением неравенства (т.к. делить на нуль нельвя). При хн — 3 выражение (х + 3)з> О.
Умножнм обе части данного неравенства на положительную величину (х + 3)з (при этом знак неравенства сохраняется) и получаем (х — 2)эх х(т ь5)>0. учтем, по при ха2 выражение (х — 2)з>0, Поатоиу разделим обе части неравенства нв эту положительную величину (знак неравенства при этом сохраняется).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
