kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Получаем квадратное неравенство (х — 2) (х е 5) З О. Его решение х Е (; -5] О [2; . ). Щжц: ( —; -5]О[2; ). 250а) Область определения 1(х) = ~/Ях — хз задается условием 9х — хз>0 (подкоренное выражение должно быть неотрицательным). Решим неравенство х(9 — хт) > 0 методом интервалов.
Зто выражение обращается в нуль в трех точках х =-0 и х = — 3. Отметим эти точки на координатной оси. Они разбили ось на четыре интервала. Определим знак выражения 9х — хз в последнем четвертом промежутке. Для точки х = ! О, например, из этого интервала получаем 9 ° 10 — 10з с О. При переходе к каждому следующему промежутку знак выражения меняется на противоположный. Имеем диаграмму знаков выраженип 9х — х"'. Па оснонании этой лиаг- раммы запишем решение неравенства «Е ( —: -3] О[0; 3], что и является областью определения данной функции.
Пх!дгг: (; -3] О [О; 3]. 25)а) Обсудим график функции Пх) на рнс. 97,а. Касательная к графику функции горизонтальна в точках В н В. Касательная образует с осью абсцисс острый угол в точках А и В и тупой угол с осью абсцисс е точке С. Щвцт: см. решение. 252а) Обсудим график функции 1(х) на рис. 98.и. Учтем геометрический смысл производной: значение производной в точке х равно тангенсу угла наклона между касательной (проведенной к граФику в точке «е) и осью абсцисс.
Паатему в тачках Ь н г( произ- В. (у няененнл неи е ыенаеин и н энзаодноа водная равна нулю (касательная параллельна оси абсцисс). В точке е производная положительна (касательыая образует острый угол с осью абсцисс). В точках а и е производная отрицательна (касательнаи имеет тупой угол с осью абсцисс). ьцвйх: см. рещение. 2636) Тангенс угла наклона к аси абсцвсс касательной, проно- 2! 1 дашей через точку М ( 2; -~ графика функции /(х) = — хз — х раз~ 3 вен значению праизвойной в этой точке. Найдем производную ! /(х) = — -Зтз — 1- тз- 1 и ее значение в точке М, те.
при х= 2. 3 Получаем: /'(2) - 23 — 1 = 3 — тангенс угла наклона касательной. ()ума: 3. 264а) Тангенс угла ыаклоиа к оси абсцисс квсателыюй, ыроходящей через точку М ! -"; О) граФика функции Нх) = 2сов х равен 12 значению щюнзвадной в этой точке. Найдем производную /'(х) = -2( — юпх)=-оп хи се значение в точке М, т.е. прп х= †. Полу- 2 /л ! л чаем: /'! - ! - -2мп — — — 2 ° 1 = -2 — тангенс угла наклона каса- ( 2 ~ 2 тельной.
Яудйх: -2. 3 266а) Найдем производную функции /(х) = — = Зх '. Получаем л з /'(х) (Зх ')'=3 ( — х 2)- — —,. Найдем значения функции н ее 3, 3 производной в точке хе. /(хэ) — н /'(х ) = — —, . Подставим эти 3 3 3 велнчкыы в уравнение касательной: у =- — (х — х )+ — = — —,х+ л„л' 3 3 3 а + — + — = — — х т — . Для данных точек х - -1 и х - 1 получал А( л а о ем уравнения касательных: у = — Зх — б и у = — Зх+ 6. ж~: у--Зх-б. у=-Зх+б.
266а) Найдем производную Функции Дх) = За!их. Получаем /'(т) = Зсоз х. Нейдем значения Функции и ее производной в точке хэ: /(хн) 33!п хе ы /(хэ) Зсоз хз. Подставим эти величины В уравнеыие касательной: у = Звон хе ° (х — х )+ Зз!п хе= Зсавха.х— Зх„сов х„+ Зюп х = Зсоа т„° х-!-(33!иле- Зхзсов хе). Длн данных точек х = — и х -к получаем уравнения касательных: у =- з 2 э = Зсоэ ° х+ 331п — 3 ° саз =3.0 ° хе 3 ° 1 — 3 ° ° 0)=3 н те Гласа 3 Л оиззсдная н ее н иленгния у = Зсоз к. х + (Зэ!и к — 3 к. соз к) - 3 ° (-1) х + (3 ° Π— Зх (-1)) = =-32+ Зя. Таким образом уравнения этих касательных у=3 и у - — Зх+ Зк.
5)2662т у - 3. р -Зх+ Зл. Збуа) Касательная к графику функции Цх) - хз — Зхи6 Зх параллельна оси абсцисс. если се углоной коэффициент (т.е. производная) равен нулю. Найдем !"(х) = Зхз- 3.22 е 3- 3(хз — 2х т 1) = = З(х — 1)э. Приравняем производную нулю 3(х — 1)э= О и найдем абсциссу точки касания х = 1. Теперь легко найти и ординату этой точки у = ((1) = 15 — 3 12 6 3 1 = 1.
Итак, в точке (1; 1) касательная к графику данной Функции параллельна оси абсцисс. 02дет: (1; 1). 258а) Касательная к графику функции г(х) - 2сов х + х параллельна оси абсцисс, если ее угловой коэффициент (т.е. производная) равен нулю.
Найдем Ц(х) = — 2ып х -!- 1. Приравняем производную нулю — 26!и х + ! + 1 =0, откуда э!ох —. Решим зто урав- 2 пение, используя тригонометрический круг. Находим абсциссы точек касания х = — + 6 5и т 2ял н х - — = 2кл. где л Е и. Теперь найдем ордннаты этих точек: 6 — +2кл != 2соя! — +Зкл !+ — + 2гл =2 — + — + 2хл = 63+ — +2хн ( 1= ~ ) )3 и Г и 6 ! (6 / 6 2 6 6 тэ 5и и (! — + 2кп ! = 2сое — + Зкл~+ — + 2кл = 2 ° — — ~+ — + 2хл = = — чГЗ т — + 2кл. Итак. координаты точек касания — е 2лл; чГЗ т 6 ! 6 т — + Зкл ), ! — т 2кл; — сЗ + — + Зхл). 02662: — — 2кн: ъЗ + — + 2кп~, ~ — + 2хл; — 63 + — — 2кл~. где л Е х.
259а) Найден тачки пересечения графика функции Ц(х) = Зх — х" с осью абсцисс. Цля этого положим Цх)-О. Получаем кубическое уравнение: О = Зх — хз илн О =-х(3 — хз), корни которого х, = О и х = =чЗ. Угловой коэффициент касатеяьной Д= (Зи равен значению производной в точке касании. Найдем производную )'(х) = = 3 -Зхт и определим угловые коэффициенты н найденных точках: Д, = Г(О) = 3 (угол и, = агсгб 3), 6 = Г'( /3) = 3 — 3 ( Л)2 =- 3— 77 3. П имечеяиз зез ызяссми и з эзсдчой — 9 = -б (угол а = агстй (-6) = -згс)йб), йз- 1"( — )3) — 6 (угол аз= - — вгсгб б). Ягщт: агсзб 3; — аеас(3 б; -агс(3 б.
1 260а) Если график функции 1(х) = — пересекает ось орди- «-1 кзт, то координате х этой точки равна нулю. Найдем угловой коэффициент касательной, проведенной в этой точке. Вычислим производную 1 !'(х) = — „. Ее значение при х =0 (х — 1) ! 1 Равно 1'(О) = —, = — — =- -1. Сле(з - 1) 1 Эз довагельно, (да= — 1 и а = —. Тогда 4 Зз и хОАС к — а=г.— — = —.
Трсуголь- 4 4 ник АСС прямоугольный н х))= —— 2 з з — хОАС - — — — .= †. Следовательно, 2 4 4 квсатсльная Образует с осью ординат угол — . 4 261з) Получим йюрмулу для вычисления приближенного значения Функции 1(х) = х4+ 2х. Найдем производную этой Функции !'(Х) = 4ХЗ 4 2. ТОГДа )(Х) = !(Хз) т ('(Х) ° ЗХ.
В НаШЕМ СЛН1ВЕ КОЛУЧаем: ! (х) = (х 4+ 2х ) + (4х э + 2) ° йх. Точку х, = 2,016 зацншеи в вилс х,-хс+йх. где хе-2 и йх = 0.016. Тогдв !(2,016) = (24+ +2 2)+(4.24+ 2) 0016= 20+ 34 0016=20+ 0 544 = 20 544. Точку х = 0,97 запишем в виде хэ-х„+Ах. где хз-1 и йх- -0,03. Тогда 1(0 97) = (1'+ 2 ° 1) + (4 ° 14+ 2). (-0 03) = 3+ 6. (-0 03) = 3 — 0 18 = = 2,82. Огдйг: 20, э44; 2, 82. 262а) Известно, что (1 + Лх)" 1 -1- лйх. Применим эту формулу для вычисления 1,002'зс. В этом случае йх = 0,002 я л 100. Тогда получаем: (1+ 0002)зе= 1+ 100 0002 1+ 02-1.2. (лгите! 1,2. 2636) Недо вычислить (25„012 = . 25 ° — ' = .„Г25 ° ) ОЮ48 = 2З 1 =51~)В000~8.
Известно, что»1+йх 14 — Ьх. В нвшем случае г Лх = 0,00048. Поэтому ДЛЙК~48 =,11 4. 0,00048 = 1 4. — ° 0.00048 = ~ 1 2 = 1,00024. Тогда,(2э,012 = 5,/).00013 = 5 ° 1,00024 = 5,0012. Яггнд: 5,0012. га Г еес 2!1 извод сл и игл имг чил 264а) Получим формуду для вычисление приближенного знзче- ! ния Функции /(х) — 23 х. Производная этой функции /(х) =— с Тогда /(х) =/(хи)+/(х„).дх. В нашем случае получаем: Дх) =. ! =[бх -1- —, ° Лх.
Значение з 44" залижем и виде х-х зЛх, о а х х г где х = 45'= — и ах= -1'=. - — = — 0,01?. Тогда /(44) = 23 — 1 е 1бе 4 12) х 0,01? = 1 — 0,034 = 0,966. «Нцед) 0,966. 265а) Получим формулу для вычислении приближенного значени» Функции 1(х) = сов х. Производная этой функции /'(х) = = — юп х. Тогда /(х) = Дхс) + /'(хс) Лх. В нашем случае повучаем /(х)= сов хе — вшхе ° Лх. Прн вычислении сов~5 ! 004) соатветст. х х л сенна х = — и Лх = 0,04. '! агда сав! Л е 0,04, = с7м — — бш — .0.04 = а [б / б б — — — - 0.04 = — ' — 0,02 = — ' — 0,02 = 0,86 — 0.02 - 0.84. чз ! чз, !.72 2 2 2 2 «мвд?7 0,84.
! Збба» Запишем данное число в виде: —.„, - 1,003'1" = (1 1- 1.аоах' 1 0,003) зз. Используем 7)юрмулу (1 Ь Лх)" = 1 + лдх. В нашем случае Лх = 0,003 и л = -20. Тогда получаем: (1 -1- 0.003) ю= 1 1-(-20) х х 0,003 = 1 — 0,06 = 0,94. Щвцт! 0,94. 26?) Учтем, что скорость тела и00 есть производная от перемещения х(П по времени, т.е. и(1) = х'(1). Для величины х(1)— = — — 12+ 211+ 51 найдем и(!) = - — . 312+ 2 21+ 5 = — 1! 1- 41 1- 5.
1 1 з 3 Найдем скорость тела в момент 1 = 2 с! и(2) = -21 4 4 ° 2+ 5 -9 м,гс. Вели тела останавливается, то его скорость равна нулю. Потучаем уравнение: 0= — 12+41+ 5 или 0 11 — 41 — 5. Корни этого квадратного уравнения 1 — 5 и 1 - — 1 (смысла не имеет). «2592: и(1) = — 11-7 41 т 5 (м/с), и(2! = 9 (м/с), ! = 5 (с). 269) Угловая скорость тела м(П есть производная от угла поворота ф(1) по времени.
Для величины О(1) = ЗП- 41 + 2 находим к(1) ф'(1) = 3 21 — 4 = 61 — 4. При ! 4 получаем угловую скорость ю(4) б ° 4 — 4-20. Птвст! м(Ц-61 — 4 (рад,'с), ы(4) = 20 (рад/с). 271) Учтем, что скорость — производная от перемещения по времени, т.с. о -х'(1) -(2Н-1-1-1)'= 5114 1. Ускорс!пге — производная от скорости по времени, т.е. о = о'(1) = (б(14 1)' - 121 (см/сз). Найдем, з какой момент времени ускорение равно данным величинам. ! Если о = 1 смз/с, то получаем урзвнсние 1 = 121, откупе ! = — (с). 12 ! Если а = 2 смз/с, то имеем уравнение 2 = 121, откуда ! = — (с).
б ! Щ:.~: 121; — (с]; — (с). 12 ' б 273) Известно, что перемещение тела меняется по закону ! х(!) = .41 = 1'. Снэчзла найдем скорость тела (скорость — производная ст перемещения по времени) о(!) = х'(1) = ]1' ] = — 1 '. Тс- 2 перь нейдем ускорение тела (ускорение — производная от скороетн по времени) а(!)- о(1)= 1-1 .") = — ! — — ~1 ' = — -1 '. Вычис- !2 / 2 ~, 2~ 4 ]з /! — ] лим куб скорости тела: оэ- ! — 1 */! = — 1 '. предстзвим теперь оз 1,2 ~ З 1 в виде: оз — — ! - -1 ' ( = — -и.
Таким образом, оз = -- а, т.е. ус- 2 ~, 4 ~ 2 2 корвине пропорционально кубу скорости. Яувзг! доказано. 275) Перемещение меняется по закону «(!)- !2+ 1+!. Найдем скорость тела (скорость — производная от перемещения по времени! о(1)-.с'(П (1 4 1+1)' 21+1. Также вычислим ускорение (ускорение — производная скорости по времени) а г/(!)=(21+ + 1)' = 2 (см/с!). а) Определим действующую нз тело силу Г-та = 2 кг 2 см/с! = -2 кг.002 м/сг-004 —, -004 Н. с б) Найдем кинетическую энергию тела .Е через 2 с после начала мгг движения Е= . Для этого вычислим скорость тела в этот мо- 2 мент времеви е(2) = 2 ° 2+ 1 = 5 см/с=0,05 и/с. 'Тогда энергия 2-Е,ОЗ' «г к тела Е = ' —, = 0.0025 Дж.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
