kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Точка х — точка максимума (производная )жана нулю). Точка х точка минимума (производная в этой точке не существует). ьчввт: см. решение. 290а) Найдем производную функции г(х) =- 5+ 12х — хз. Полу. чаем г"(х) = 12 — Зхз = 3(4 — хг). Построим диаграмму знаков этого выражения (учтем, что критические точки .т = х2). В точке х = — 2 б. П иленеиия л иаа и исследованию ии иа знак производной меняется с минуса на плюс. Поэтому х — 2— точка минимума В тачке х = 2 знак производной меняется с плюса на минус. Поэтому х = 2 — точка максимума. ()увкк х - -2 — точка минимума, х - 2 — точка максимума.
» 291а) Функпия Пх)- »)х = х' определена при х>0. Найдем производную !'(х) = — х "= — ~ . Зта функции не равна нулю при 2 зт» всех х. Производная не существует при х - О. Но эта точка не является критической, т.к. не является внутренней точкой области определения функции )(х) (х = 0 — граничная точка области определения). 'Гаким образом, функция не имеет критических точек. Щжт! доказано. ЙПг) Функция П(х) = Зхз+ 2х определена на Я. Найдем производную !'(х) - 15х" + 2.
Зта функция также определена на П. Производная 1'(х) ые обращается з нуль при нссх значениях х. Следовз.галино, данная функции критических точек нс имеет. Яуд)З: доказано. 292а) Функция Дх) = зшзх — сиз х определена на Я. Найдем производную ('(х) = 2юп х соз х -!- 8!и х. Зта функции также определена на Л. Прнравняем эту производную нулю н получим уравнение для нахождения критических точек: 2юп х саз х+ з)п х - 0 или зщх(2созх+1) О.
Произведение двух множителей равно нулю, сели один нз них равен нулю. Имеем уравнения: юп х =0 ! (тогда х =за, где л Е 2) н 2пжхэ1-0 (илн сои х- —. откуда х = г' агссоз~- - ! + 2лй = — — + 2кй, где й Е г). 2» 8 7» Яущу: х = лл; х = * — + 2хй, где л, й Е х. э 2(Ш) Функции П(х) = 2»е — „определена при х Е (; О) О (О; ). 8 2 2(» -8] Найлем производную )'(г) 2 — 8 — „=, . Зта функция тзкже определена прн х Е ( ! 0) О(0; ). Приразнясм ароизводную нулю н получим уравнение для нахождения критической точки 2(»' -8) — = О, откуда х = 2. Заметим, что точка х = 0 критической не » нвляется.
Яхт: х - 2. 298а) Функция ((х) (х — 2)э определена на Л. Найдем произеолную /'(х) = 3(х — 2)7. Зта функция также определена яз П. При- ее равняем производную нулю 3(х — 2) =О н найдем критическую точку »=2. Ягжт: х=2. ( — х — 2 прил<-1 293б) Функпия !(х) = х при — 1 < х < 1 определена на В. 2 — х при х > 1 (-1 при х < -1 Найдем производную !"(х)= 1 при — 1<х<1. В точках х -1 и -! прил. > 1 х = 1 проиаводнал не существует. Следовательно, эти точки — критические точки функции Дт).
Щжг! х - — 1, х = 1. 3» 29бб) Функция !(х) — определена на В. Найдем произ- 1 л» ! !'.!1»»! — х О»»»1' 1»»-».2» 1-." водную У'(х) = 3 (! «') (1 ' л ) (1 » .»') Эта функция также определена на В. Приравняем производную нулю 3 , = О и найдем критические точки х = е1. Знамена- (1-')" тель производной при всех х положительный. Поатаму знак производной определяется числителем 1 — хг (энакн этого выражения приведены на диаграмме). Из дию раммы видно, по (; — Ц, [1; )— пйп промежутки убывания функции 1(х), (-1; Ц вЂ” промежуток возрастания.
В точке «=-1 знак производной меняетси с минуса на З. (-1) з плюс. Поэтому х -1 — точка минимума и ~( — 1) = (1)* г' В тачке х - 1 знак производной менястса с плюса на минус. Поэта- Э 1 Э иу х = 1 — точка максимума и В1) = —, = †. Учтем, что граФик 1+1 2 функции проходит через начало координат. Также учтем, чта функция !(х) нечетная и сс !рафик симметричен относительно начала координат.
Теперь легко построить график данной функции. ЩИ!2: см. решение. 2 д. П ил»и»лил л ел!водили и исследовании линии 37 »' — 2» 4 2 лвбг) Функция 1(х)- определена прн «сох х, кроме — 1 х= 1. Поэтому х = 1 — вертикальная асимптота. Найдем произ- (» — 2»+ 2П» — 1) — (х' — 2» 21(» — !1' водную 1(х) = ( — 11' (2» 2Н»-О-(х'-3»+21 г '-4 +1- -' 2 г '-г Произ- (» — 11 1» — 1! (х — 11 водная 1'(х) = 0 прн х = 0 и х = 2 (критические точки). Зиамснатсвь »'- 2х проба, положительный в области определения Пх) п знак (» - И производной ~'(х) определяется числителелм хх — 2» (знаки этого выражения приведены на диаграмме).
В точке х = 0 знак производной меняется с плюса нв минус. Поэтому х =Π— точка макси- о-'-г о ° 2 мума и ДО) = -- -2. В точке х= 2 знак производной не- О-1 няетси с минуса на плюс. Поэтому х-2 — точка минимума и Запишем функцию в виде Пх) = (х-!)' ° ! 1 =х — 1+ —. При х-+ величина — -40 н Пх) « — 1 х -1 1 = х — 1. Поэтому у =- х — 1 — наклонная асимптота. Учктывая перечисленные свойства функции )(х).
построим се график. 1)н(аг( см. Решение. 2йбб) Фуншшя П(х) — — + т+ — определена на я., т е, ))(!) — д 2»' 2 3 3 Найдем тачки пересечения графика функпии с осями координат. 2 О 2 2 С осью ординат: наложим х = 0 н найдем ПО) = — — + 0 т — = — . 3 3 3 С осью абсцисс: положим Дх)-0 и получим квадратное урввие- 2 2 1 нне: — — х + — = 0 или 2»г- Зх — 2 = О. корни которого х =.-- 3 3 2 Глаза 3. П нэвсдяал н ге л ингченил и х = 2. Найдем производную функ- 4х ции ! (х) — — — + 1. Эта произнодная 3 з обращается в нуль при х- — (крнтическая точка).
На диаэрамме изображены знаки производной. На про- з1( межутке ~; — функция возраста- ~з ег. иа промежутке ~ —; ~ Функция 3 убывает. Точка х= — — точка мак- 4. 3 (4) 3 (4) 4 3 3 3 3 33 = -- . — + — = †. Теперь построим 3 4 3 34 график этой Функции (парабола). ()тй(2: см. решение. 297а) Функция Нх) = -хэ+ Зх — 2 определена на В, т.с.
О()) — й. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. С осью ординат: положим т= О н найдем У=ДО)--2. С осью абсцисс: положим Дх) =О и получим кубическое уравнение: -хз+ + Зх — 2 = 0 илн хз — Зх + 2 = 0 или (хз — х) — (2х — 2) = 0 или х(х— — Ц(х + 1) — 2(х — 1) - 0 нли (х — 1) (т'+ х — 2) = О. П)юизведенис двух множителей равно пулю, если однц пз них равен нулю. Имеем уравнения: х — 1 = 0 (корень х, = 1) и хз+ х — 2- О (корни хз- 1 и хт- -2). пйп гсах Найдем производную Функции ('(х)- = -Зх + 3. Производная равна нулю в точках х=-1 (критические точки).
На диаграмме приведены знаки производной ('(х). Функция Пх) возрастает на промежутке [ — 1: 1) и убывает нз промежутках ( —; — 1) и (1; ). Точка х = -1 — точка мнннмуиа и Л-1) = -( — 1)4+ 3. ( — 1) — 2 = — 4, точка х = 1— точка максимума и ((1) = — 13+3.1 — 2 =0. Учитывая перечисленные свойства Функции ((х), построим ее график. Ятжм: см.
решение. д. П шееяеяил а взводной е иееледсаанию яаана .е' 2966) Найдем производную функпии 1(х) = — — — — бх+ 1. 5 З 5' З»* Получаем ~(х) = — — — — 6 х' — хе-6. Для нахождения крнтн- 5 З ческих точек функции црирзвнясм производную нулю и получим бнквадратнсе уравнение .те — хе — 6 = 0. Введем новую неизвестную 1 = хе 3 О. Имеем квадратное уравнение 12 — 1 — 6 = О, корни которого 1 = — 2 (не подходит, т.к. 1 > О) и 1 - 3. Теперь найдем х = х (3. Отметим эти точки на координатной осн и и<строим диаграмму знаков п)юкзводной /"(х).
Из диаграммы видно, что функция возрастает на промежутках ( — ю; — ~[3[ и [,(3; ), убывает на промежутке [-.(31,(3). й2222: (-ю; — Л[, [ [31 ) — промежутки возрастания, [ — Г31 еГЗ) — промежуток убывания. 209а) Функция ~(х) = 2х — ссэ х определена на П. Найдем производную Г(х)= 2+ юсх. Определим знак этого выражения. В силу ограниченности функции синус выполняется неравенспю — ! я вш х < 1.
Прибавим ко веем частям неравенства число 2 и получим 1 < 2+ +з!ах<3 или 1</'(х)аЗ. Видно, что при всех значениях х произведена [(х) положительна. Следовательно, функция [(х] возрастает на В. Я22~1 доказано. 1 е 1 300а) Функция [(х) = -хе — -хэ определена на Н. Найдем точки 2 5 пересечения графика фуикшен с осями координат.
С осью ординат: положим я= 0 н найдем у-1(0)-О. С осью абсцисс: положим 2 1 5 1[1 1 3) Дх)=0 н получим уравнение: -хэ- —.ть О или хз~- — — т' =О. 2 5 (2 5 Произведение множителей равно нулю, если один из них равен з нулю. Имеем уравнения: хе = О (корень х = О) и — — -хз = О (ко- 2 5 з 5 рень х = 1 1 Найдем производную 1"(х) — 2х — — . бхе х — хе «(1 — хз). 2 5 Приравнаем производную нулю и получим критические точки х = 0 и х = 1. На диаграмме приведены знаки производной ['(х). В точке х - 0 функция имеет минимум н он равен ПО) = О. В точке Гчееа 2.
П изесдяал к ег я иягппшй гп!п шах х = 1 достигается максимум и ои равен ((1) — †.12 — —.1 —. 4пункция ((х) 1 2 5 1Е возрастает иа промежутке [О: Ц и убывает иа проможутках (; 0[ и [1; ). Учитывая перечисленные свойства Функции, построим ее график. Огвцг: см. решение. 30)а) Область определения функции )(х) хзА ел задается условием 1 + я>0, откуда х> — 1. ГраФик проходит через начало координат и имеет общую точку х - — 1 с осью абсцисс. найдем цроизводяую Г(х) .— (хз)' () + х 4-.тз. (01 + х )' = 2х Я е х 4- 4х(1 «) х 5 ' 4> — — — . Нриравияем производную нулю 2тц> 242чх 2Ш 5 4' 1 = 0 и получим критические точки функции х — — и х О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
