kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Видно. что Р'(х) = г(х). Следователыю. функпия Р(т) валяется первообразной для функции 7(х>. ж г Р(х>= + 1,3, 100 Г»иеи 2. Пе мин .гиии и ии иег л 333в) Такими пермюбразными для функции 1(х) хз являются, г* например, функции Р,(х)- — — 2 и Рт(х) = — + 5. Функции Лх), Гг(х) и Р (х) определены на Л. Найдем производные Р;(.) = ( — — 2 ( = (Н ( — (2) = -'(. '~ — О = -' 3»' = х' и з Г;(х) = ~-"' + з~ = ~-*'~ .(5) = -'(хз) + О = -' Зтт = »2.
2 Видно, что рг(х) = Рг(х) = ((х) . Следовательно, функции р,(х) и Р (х) являются первосбразными для Функции 1(х). Жизт: Р (х) = — — 2, Р (х) — †, + 5. з ' ' з 3346) Рассмотрим функции Дх)= — — сов«, 6(х) = 1+сои.т, 2 И(х) = х+ мп т. Все зти функции определены на В. Найдем производ- ную г"(х) =! — — сов») = ( — ) — (сов«] = — (х ) — (-в!нх) = — ° 2х+ » 1 21 1. (2 ) (2) 2 2 Ь з!и х = х + ып х. Видно, что 1'(х) = й(х).
Следонательно, функция )(х) является первообразной для Функции Д(х). Теперь найдем производную б'(х) = (х + мп х)' = (х)'+ (вш «)' = 1 + соа х. Видно, что Й(х) = 2(х). ПОэтОму функция 2(х) яв»яется прОизвОднОй для фувкции Ь(х). Таким образом. для Функции Л(х) функция Д(х) является псрмюбразной. в функция 6(х) является производной. Нтввтг д(х). 3356) Использун таблицу, найдем общий внд первообразяых для функции Дх) = х-1-совх. Получаем Р(х)- — -1-в1п х+с. Про- 2 гг 1, *-') верим зто. Пайдем производную Р'(х) = ( — + з)пт+ с) =г — ) е ( 2 ) (2) 1 +(зшх)'~-с'= — 2х+ сов хе О =х+созх. Видно, что Р[х) =1(х). 2 йгвдт: Р(х) — + з!и х + е.
2 1 3366) Звпкшем Функцию г(х) = —, — 2 в виде 1(х) .= х з — 2. Учитывав таблицу, найдем общий вид первообразных для Функции 1(х). » ! Получаем Р(х) = — — 2х+ с = — —,— 2«+ с. Проверим зто. Нвй- -2 2»' щ! д Пе сез «зл с) =~ — — х ! — (2х)'+с' 2 дем производную Г'(х) = ~ — -х — 2х+ 1 2 1 1 .(х-2) 2(т)'+Π— .( 2х-з) 2. 2 з что Г'(х) = ((х). 1 1 =х з — 2 —,-2.
Видно. (!Ти~: Г(х) - — —,- 2х+ с. 1 2»' 337б) Используя таблицу, найдем общий вид первообрезных 1 дла функции /(х)- —, Получаем Г(х) = Збх 4. с. По условию задачи извество Г! 8(=0. Подставим значение х= — в общий вид 4 » первообразиых: 13- +с-О или 1+ с -О. Откуда с- — 1. Тогда ис- 4 комая первообразквя Г(х) - 13 х — 1. Щщ21 Г(х) 13 х — 1. 338а) Найдем производную Функции Г(х) = ип.т — х сов х. Поу: Г'( )-( — )'-(юп»Т-( хр- — П У х+ + х (соз «)') - соз х — (1 . саз х + х (-юп «В = соз х -(соз х — х ив х) т Б1Я х. Видно, !тО Г (т) дх). следовзтьльпО, Функция Г(х) является первообразной для Функции !(х).
Тогда общий вид первообрвзных Г(х) = в!в х — х соз х + с. ()Тзп21 Г(т) мп х — х соз .т + с. 172 338б) Найдем производную Функции Г(х),(хзе 1 = (хз+ 1) Получаем: Г(х)- -(х +1) (хз +1) = -(хз+1) 2х = ~ 2 2 б ' ° 1 Видно. что Г'(х) П(х). Следовательно, Функция Г(х) является первообразной для функции !(х). Тогда общий вид первообразиык Г(х)=~х +1+с. ()13пз! Г(х)=~Р41+с.
337а) Функцию Пх)- — запишем в виде !(х) х 1. Учитывая 1 Р таблицу, найдем общий вид первообразиыз для функции !(х). Полу! чаем Г(х) - — + с - — — 4- с. По условию задачи известно Г! -)!- -1 1 = — 12. Подставим значение х= — в общий вид первообрвзных: 2 1 — —, + с — -12 или -2 т с - -12, откуда с = — 10. Таким образом, ись!г ! 1 комая периюбразиая Г(х) - — — — 10.
Жщт: Г(х) — — — — 10. » 1С2 Глава 2. Пе осе авиа» и инте: я 339а) Найдем общий вид первосбразных для функции 1(х)-. = 2сов х. Пояучаеи Р(х) = 2а!в х т с. Известна, что график первосбразной проходит через точку М ~--; 1~. Подставим координаты 2 в этой точки в общий вид первообразныхс !-2а!п~ — — + с или 1=2.( — 1)+с, откуда с =3. Тогда искомая пераообразная Р(х) = =2в!и с+3. Югвгт: Р(х)-2юпх-1-3.
3395) Найдем общий вид первосбразвых для функции Т(х) = = 1 — «1. Используя таблицу, получаем Р(х) = х — — + с. Известно. з что график первосбразной проходит через точку М (-3; 9). Подставим координаты этой точки в общий вид первообразных: 9 = ( — 3)— 1-2!' — — + с или 9 — 3+ 9+ с, откуда с 3. Тогда искомая первообз х' разная Р(х) = х — — — 3. ьцщцс Р(х) = .т — — + 3. а з ви .с 340б) Функцию Н(х) =1+ (бгх запишем в виде Дх) 1+ —, с сс» «св!в 1 — †.
Используя таблицу, найдем общий вид персов * сев я вообразных для функции Г(х) и получим Р(х) 23 х + с. Расстояние между соотвегствующими точками графиков первосбразных равно а - 1. Это означает, что постоянные для функций Р(х) должны отличаться на величину а.
Тогда можно выбрать, например. функции Р,(х) = 23 х 1- 3 и Рг(х) = (3 х + 4. атщм! Р!00 = 23х+ 3, Р (х) =(бх+4. 340л) Фу«киню !(х) з!п — — сов —, используя форм)ль! пони- 2 2' 1 — сов я ! ! сын жения стененн, запишем в виде Т(х) = 2 г = — соз х. Учитьцюя таблицу. найдем общий вид первообразных для Функции !(х) и получим Р(х) -з!их+с. Расстояние между соответствующимя точками графиков первообразных равно и-0,5.
Зто означает, что постоянные для функций Р(т) должны отличаться на величину а. Тогда можно выбрать, например, функции Р,(х) = - — юп х -! 0.5 и У (х) - — вш х в- 1. 02222: Р(х) тйо х -Ь 05, Рз(х) = -в!и х + 1. 341а) Известно, что ускорение то ищ а(Н = -2!. Найдем скорость и(1), учмтывая, что скорость — первосбразная для ускорения. Полуг чаем: и(!) = — 2 — + с = — !в+с . Известно, что в момент временя ! 1' шз 7.
Иг сев кклк 1„=1 скорость точки 00= 2. Подставим зти значения з функцию е(!). Имеем: 3 = — )1+ с,, откуда с, = 3. Тогда скорость точки о(!) = = -!2+ 3. Теперь найлем координату к(!). учнтывзя. что кгюрдината— первообразная для скорости. Получаем: »(1) — — — + 3! + сз.
В мо. мент времени 1„1 координата точки к„= 4. Подставим эти зиаче- 1 1 ния в функцию х(!). Имеем: 4-- — + 3 1+ с или 4 = — -+ 3+с.„ з 2 з 4 ! 4 откуда с = —. Тогда координата точки х(1) = — — + 31+ —. 1 з 3 3 !' 4 ьцвзд! !)-- — +3 + —. в з 342б) Учитывая таблицу и правила нахождения первообразных, для функции 7(») = х — —" «-сов х -х — 2х 4+ сов.т получим хт к* 1 2 1 Р(х) = — -2 — + в)п» + с = — » + —, + з«п» 4 с.
П)юверим зто. 2 -4 2 2.« 1 2 1 -4 ° ) 1 к Найдем производную г"'(х)= ~ — х + — х ьмпх+с)=!(-х 1+ (2 2 (2 7 +1 - » ! + (0«п х)' + с' - — 2» + — ° ( — 4» ) + соз» -1- О - » — 2» " + (2 2 2 + сов.т. Видно, что Г(») = Ят). 02213: Е(х) = — х + —, «- ми»+ с. 1 2 1 2 г' 343в) Используя таблицу, дла функции !(х) = кт найдем перво- образную Р(х) = — + с.
Тогда по правилу 3 для фу««кции Вх)- з (4 — Вк) (4 — з ) = (4 — 5х)т первообразная г"(»)- : (-5) + с — — + с. 8 40 (4- к)" ° )= 40 7 = — ((4 — 5») ! + с'= — — 3(4 — 5х) ° (4 — бх) «-Ок — — (4 — 5х)тх 1 ! т а 40 40 40 (А — Ьк) х (-5) (4 — 5х)1. Видно. что Р'(х) - Як). О~гй»: Р(х) =— .1- С.
40 2 1 344г) функцию !(х)- — —, « ., запишем в виде !(х)— Р (Зк-1) 1 1 = -2» ь+ . Учтем, что первообразная функции *(з — 1) 104 Гласа 3. Пе а»вал и симе» 1 есть функция !3 х. а первообрвзная функции ...по правис (3» — 1! чг(2» - 1) лу 3 сеть функция . Теперь находим пераообрааную функз !2(з ' — !) ции ((х) и получаем Р[х) =-2 в + +с = —, + — 13(3»вЂ” -С 3 2»' 3 — !) + с.
Проверим это. Найдем производную Р"(х) - ! —, + (,2»' +-!3(3»-1)+с) =! —,)!+~-13(3» — 1)~ +с'=-(х ) + — х 1 1 с 1 3 ! 3 х(23(3х — 1)) + 0 = — ( — 4» с)+ — ° -(Зх-1) = 2 з '(з»-!) = -2.т -3 1 ! 2 1 ' 3 = — с- 3 ссс'(3» — 1) ссс*(3» — 1) 1 1 Видно, что Г'(х) = ((х).
Щвцг! Р(х) = —, + — (3 (Зт — 1) -1- с. 2»' 3 345г) Валящем функшпо !(к) - — „- 10х'+ 3 в виде ((х) - х !в 1 »" — 10»!+ 3. Найдем общий вид первообразных для функции Дх). »* 1 Получаем Е(х)- — — 10 — 43х+ с = —, — 2х + 3»+ с. По усло- -2 3 3»' вию график первообразной проходит через тачку М (1; 5). Подста- 1 вим координаты этой точки в общий вид пержюбраэиойс 5 = — —— 2 1" 1 — 2 "1се 3 ° 1+с или 5- — —, -2+ 3+к, откуда с=4,5. Тогда иска- 2 1 мая первообразная г(х) — —, — 2»з+ Зх э 4,5.
2»' 1 Щз)2: Е(х) = — —, — 2хаэЗх-1-4,5. 2»с 346а) Для функции !(») = 1 — сов Зх+ 23!и( — — х~, используя (3 таблицу н правила нахождении первообразных, получим Р(х) = х— ( Ц-.)) 1 . » — +2 — ег=х — -З1пЗ»ь2соз! — -х~+с. Проверим З ~ -1 ) 3 (3 ! с это. Найдем производную г"'(х) =(х — — з!пЗ» с-2сов( — — »~ е с~ = 3 (,3 = х' — — (юпЗ») -1-2~сов(- — х)) с- с' = 1 — — совЗх-(Зх) + 3 !(3 Я з 105 7,Пе ааб ааэ +2(-ып~- — х)) ° ~2 — х~ +0 =1 — -созЗх 3+2(-вш~- — х))х х( — 1) = 1 — совЗх е 2зш! — — «~. Видно, что г"'(х) = !(х).
'! 9 1 1л ЩПЭЗ! Р(х) - х — — а)пЗх+ 2сов — — х~+ с. 3 (3 346г) Функцию Дх) = — 2 сов( — — х запишем (3 — 2л) эл — 2 в виде !(х)-(3 — 2х) 3+ 3(бх — 2) ' — Зсое~ — — х). Испольэуа таблицу и правила нахождения пераообраэяых, получим г(х)- 1 (3-2л) . (5 -2) !э ! 1 ;(-2)+3 1 !(5)-231п~- — х):(-1)+ с = -2 2 4 (3 — 2л) + — ч5х — 2+ 2 ми( — — х) + с. Проверим зто. Найдем производную -51 Р'(х) =, + — ч5к — 2+ 25!о! — — «!+ с = — ~(3 — 2х) ) + (4(3 2„)' 5 4 ! 4 6/ -э б + †((бх — 2)л ! + 2 5(п! — — х ) + с' = — ° ( — 2)(3 — 2х) (3 — 2х) + — х 5 х -(5х-2) *(5х — 2) +Заев!--х! (- — х) ей=-( — 2)- „х ! ! 2 4 4 4 (3 2„)" х (-2)+ — ° 3 1 .5+2соз!(- — х) (-\) = (л ) ! з тсэ -2 (Э вЂ” 2л) 5 — 2 — 2 сов~ — — х). Видно, что Р'(х) Дх).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
