kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Найдем ароизеодиую К(«) - 24 — 2х. Функции имеет единственную критическую точку «12 (и). Тогла у-24 — х = = 24 — 12 = 12 (и). Таким образом, из всех прямоугольников с периметром 48 м наибольшую елощадь имеет квадрат со стороной 12 и. адах: 12 м; 12 и. 314) Так как в чкслнгелс 54 два слагаемых пропорциональны числам 1 и 2, то их можно записать в виде х н 2х. Тогда третье слагаемое равяо 54 — Зх. Произведение всех трех слагаемых /(х) = - х 2« (54 — Зх) = бтэ(18 — «) - 6(18«э — хэ). Найдем производную функции /(х).
Получаем / (х) = 6 ° (Збх — 3«э) = 6. 3 . «(12 — х) = = 18«(12- х). Функцив имеет две критические тачки х = 0 и х= 12. На диаграмме приведены знаки производной /'(х). Видно, ппп что точка х = 12 — точка максимума. Тогда число 54 нада представить з виде слагаемых х - 12, 2х= 24 и 54 — Зх .— 18, т.с. 54 —. 12+ ° -24 18. ()гщц: 12Е24 Ь 18. 318) В равнобедренный треугольник ЛВС (где ЛС-60 см и ВС = 50 см) вписан прямоугольник КЬМД/. Пусть сторона /лИ— = х (см] н сторона ЕК = у (см).
Найдем связь между величинами х н у. Глнмз Д В и»нненан и ег и ннгнгннн Проведем высоту ВВ треугольника АВС. Рассмотрим подобные тругольннкн ВЕМ н ЬЫ ВЕ АВС. Тогда — = —, где (.М х, АС= 60, АС ВП ВВ 4(»ВС -1Х~ =4(60 -ЗО =40 и ВЯ = » 40 — н = В — ЯВ = 40 — у. Получаем: 50 4О А С » 40 — г к ао л нли — = — нли 22=120 — Зу, откуда у= 3 2 120 — 2»' 3 Площадь прямоугольника КБМДГ равна Я-ЬМ.ЬК =ху =хх (1ш - г ) шо.
- г ' и = . По условию площадь Я наибольшая. Най- 3 ~ 3 1 дсм производную Я'(х) = — (120 — 4х). Пркравннек пронзводную 3 нулю к получим критическую точку х = ЗО (точка максимума). 'Ге- 120 — 2» 120 — 2 30 перь найдем у - = - 20. Следовательно. прямо- з з угольник наибольшей плошддн имеет стороны ЗО см н 20 см.
Отвгт! ЗО см к ЗО см. А ЗЗ)) Расположение объектов приведено на рисунке: А — буровая вышка,  — ближай- 0 шаа к ней точка на шоссе, С вЂ” пункт назначения. Пусть курьер движстсв по маршруту А()С, так что расстояние ВВ=х (км). Часть маршрута АВ зроходнт по полю (где скорость курьера 8 км(ч), часть маршрута ВС вЂ” по шоссе (где скорость курьера 10 км(ч).
Запишем время движения ! курьера. Учтем, что АВ = 4~Ы4 ВВ2 = -4Г81~.х" (по теореме Пифагора) и ВС= ВС-ВВ= 10 — х. Тогда Й1+ * !5-» время ! =- 3 !О 1 2» найдем пронзволкую !Зункпнн !(») и получке! !' =— 3 г,з!.»н 1 1 — — — — Прнранннсм зту производную нулю.
Имеем 1з 3431»н 10 1 .г 4 уравнение: — ! — — — — = 0 илн -у — =- = †. Вгяведем обе части 3,(Ш»' !0 в! ' 5 уравнения в квадрат: = †. Используя свойство прозерпин, ш 31 » 25 получаем 26х» - 16 81 + 16»2 илн 9хн = 16 -81 нли »2 = 16 ° 9. отку- б. П ихеиеиил л и«лад«ой и иге«вдела им лилий ла х= 4 3=12 (км). Нетрудно показать, что х= 12 — точка минимума. ()Гв1П; ВВ - 12 км. 322) Пусть х — искомое число.
Тогда сумма чксла н его квпцрвта равна 2+ хе. Рассмотрим функцшо ((х)-х+ тз. найдем производную Г(х)-1+ 2х. Прирввняем эту производную нулю 1+ 2х 0 ! и получим критическую точку х = — — = — 0,5. Легко показать, что 2 эта точка минимума. Итак, сумма числа и его кведрета наименьшая, если число равна ( — 0,5). Щщх: — 0,5. 324) Пусть е окружность ридиуса Я вписан прямоушльник АВСП со сторонами АВ = х и ВС = р. Диагональ АС равна див- и истру окружности. т.к. «АВС = 90' и опирвется нв диаметр. Для прямоугольного 2Л треугольника АВС *впишем теорему Пифагора: АВ2+ВС2=АС» или х»4-у»= (2Я)2, о откуда д = (4Н вЂ” х . Площадь яряиоу»оль- Г 2 2 ника В - АВ ВС = ху - х у 4 Я вЂ” х Г 2 1 Найдем производную функпин 3(х).
Получаем: 8'=(«~4В -х ~ =(х)»(4Я вЂ” х ех~ /4Н вЂ” х ) = 1(4Я вЂ” х + (-2«) ел' ' «' 2(2л — «») теел" - «' 74л' — «' 74п' — «' Прярееняем производную нулю н получим уравнение для нахождения критической точки 2Я» — х»-О, откуда х = Н»Г2. Легко про. верить, что эте точка — точка максимума. Теперь найдем у = = ь(4Я вЂ” х = »»Г4Я -2Н = Ят2.
Видно, что «=у=Я,Г2. Ъаким образом, из всех прямоугольников. вписанных в окружность. наибольшую площадь имеет квядрег. Отгпт: квадрат. 325) В окружность радиуса Н вписан равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС). Пусть еА - «С - а. По теореме о сумме углов треугольника хВ - 180' — хА — 'С - 180' — 24».
л \в Звоишем также теорему синусо⻠— -2Н. » с откуда.4В 2Яв(пС-2Нв!пп. Теперь легко 1 1 найти паошддь ААВС» В = -АВ ВС.в(п В = — х 2 2 х 2Н.вша.2Я.е)п и юп (180' — 2а) = 2Язжпз ах х мн йа л с 4 гуртили Глаза 3. )уг сае ааааа и интгг Найдем производную функции 8(а) н получим: Е'(а) 2Езх х (ми' а мит 2а)' - 2йз Па!пт а)' э)пз 2а - вшт а (аш 2п) ) — 2йт (2зш а х ксозамп2а+ыптпсов2а ° 2) 2Ет(э!вайа+ 2юп асов 2а). Приравняем эту производную нулю и получим тригонометрическое уравнение мпз 2а т 2а(п" а сов 2а = О.
Для его решения используем формулу понижения степени 2в1пзп = 1 — соз 2ц. Тогда уравнение имеет вид: з!пэ 2ц + (1 — соз 2а) спг 2п = О или 1 — соаз 2а + ссэ 2п— -соэз2а= О нли О = 2соаз2а — саэ2а — 1. Введем новую переменную г = соэ 2а и получим квадратное уравнение О = 2П вЂ” ! — 1, кор- 1 ни которого ! = 1 и à — —. Вернемся к старой неизвестной х. г Имеем уравнения. а) пм 2п - 1, тогда 2а 2хп и и - кп.
Очевидно, что треугольник таких углов иметь пс может. 1 ( зз б) сов 2а= — —, тогда 2а = аагссоа~ — - ! + 2яй = — — + 2ид и т' 3 а и — — е вй. Очевидно, что из всех решений в треугояьиике может 3 быть только угол а = — . 3 ' Таким образом, наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник. Яущт! докааано. Глава НБ ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ $7. Первообразная 3И)а) Функция Р(х)-хь определена при хб(-; ). Найдем производную этой функции Р'(т) = (хз)' = 5х4. Функция Р'(х) также определена при х б (-; ). Видно. что Р'(х) - Пх) -.
бхг. Следовательно, Функция Р(х) = хз являстсл первообразвой для функции /(х) = 5х" иа промежутке х И (; ) по определению. 0твпх: доказано. 327а) Функция Р(х) 3- мп т определена при х б (-; ). Найдем производную этой функции Р'(х) =(3 — в1п х)' (3)' — (э!их)'= -Π— сов х = — сов х. Видно, что функциа Р'(х) = — сов х ие равна функции г(х) - мм х. Следовательно. функция Р(х) - 3 — мп х не является первообразнай длв функции ((х) - соз х на промежутке х б ( —; ) (а также на любом другом промежутке).
Жпат: не нвляется. 3236) Одной из псрвосбразных дая ф)опщии Л(х) имх является функция Р(х) = ми х — 7,3. Функции /(х) и Р(х) определены на Е. 7. П асб зал Найдем производную Г'(х) =- (мп х — 7,3)' (в!и х)' — (7.3)'- соз х— — О = сов х. Вилно. что Р'(х) = /(х). По определению функция Р(х ) = =- з!г«х — 7.3 пермюбразнвя для функции г(х> .= соз х. 02)пт: Р(х) - юп2 -7.3. 3386) Одной нз первообрвтпых для функции ((х) = -т являетсп г' функция Р(х>= — — + 4,8.
Функции г(х) н Р(х) определены на Л. 2 Найдем производную Г(х) = (- — «.4,8~ = ~- — ~ + (4,8) =--!х ) т ! +О = - — ° 22 = — х. Видно. что Р'(х> =. Ях). По определению функ- 2 г' ция Р(х] — — + 4,8 первообразная для функции йх). 2 Яувм: Г(х! — — — + 4.8. г 33йа) Функции Р(х) = в>п~х н 1(х) =юп 2х определены на В. Найдем производную функции Р(х) и получим Р'(х) = (з!пгх)'= — -йз!ох.(з>их)'= 2юпх ° созх = з!пйх.
Видно. что Р'(х) =Дх>. По определению функция Г(х) пермюбрвзная для функции Дх>. 91322: доказано. 331в) Функции Р(х) = — „и г(х) = 14 — —, з промежутке х Е (О; ) 1 ! г" г 2 определены. Найдем производную Г'(х) = (х 2)'= — 22 "= — —, . Х' Видно, что Р"[х) зг(х). Следовательно, функция Р(х) не является первюбразной для функции г(х).
Щ~: не являстсв. 331 г) Функции Г(т) = 4х,/х н г(х) = б Д в промежутке х Е (О; ) ! определены. Найдем производную Р(х) = (4х «(х )' = 4(т ° х')' = г 2 г = 4(Х')'-4. — х* = 6,/х. Видно, что Р'(х) = Пх>. По определению 2 функции Р(х) = 4х ггх пераосбразнан длп функции г(х) 6,>х.
Сйв)2« пвлнегся. г 3326) Сначада преобразуем функцию Пх) = ~з!и- — соа — ~ 2 2~ г г гх = з>п — — йз(п-соз-+ сов — = ( в!«г — + сов - ! — ! 2з!и-сов- ~ = 2 2 2 2 (, 2 2) ( 2 2) -1 — з!их. Одной из первообразных для функции Пх] запнется функция Г(х) - х з с«н з -«. 1,3. Функции П(т> и Р(х) определены на Я. Найдем произмэдную Г (х) = (х + соз х «1,3)' = (х)'+ (сов х)' з (1,3)' = = 1 — юв .т + О = 1 — з!и х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
