kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 17
Текст из файла (страница 17)
2 41 + 5 Нв диаграмме приведены знаки производной. Функция возрастает на промежутках [-1; — — ~ и [О; ). убывает на промежутке — —; О~. «[ Г 4 4 Фуккция 1(х) н точке х —. — — имеет максимум, равный Г~ — — ~ = — ~ ~1 — — = . В точке х — О функция Дх) имеет минимум 5 5 2545 ЛО) - О. Учитывая перечисленные свойства Функшги йх), постро- им ее график.
Щпш: см. решение. 6.)7 ил«пгник« и«задний киссждиканию нк ий 2« 301г) Функция ~(х)-, определена нри «нс!. т.е. ()())- !в = (- 1 -1) П ( — 1; 1) Н (1; ). Функция проходит через нвчазо координат. Функция является нечетной. Найдем производную функции ( )'(1-» ) — к (1-«~)' 0 — «')' =2 „, =2 1- '-«(-2 ) 14 (1 «к)1 О «)к Видно. что пронзводнан Г'(х) положительна в области определения ()()). Поэтому функция )(х) возрастает. Полезно также рассмотреть промежутки энакопостоянства функции )(х). Учитывая перечисленные свойства функции )(х), и!ютроим ее график, Явд(1 см.
решение. 302а) Функция )(х) = шпзх+в!их определена на Н. График функции проходит через начало координат. Найдем точки пересечения с осью абсцисс. Положим )(х)-0 и получим уравнение: в!пк к + мп х - 0 или юп .т (з!и т + 1) — О. Произведение множителей равно нулю, если адин из них равен нулю. Имеем уравнения: эш х = 0 (корни х = кл, где и Е 2) и з1п к + 1 = 0 (или в1п х = — 1, откуда х — — + 2кй, где й Е 2).
к 2 -(мп«) Найдем производную функции )'(х) = - 2шп х соэ х + соз х - соа х (2гйп х+ 1). Пркравняем П(х) нулю. Получаем уравнение соа х (2мп х + 1) 0 длн нахождения критических точек. «ак как функции ((х) — 2 и ~'(х) периодичны с периодом 2к, го ре- — к + шим это уравнение па промежутке (О: 2х) (пип) (пип) 3!4( с поиошью тригонометрического круге. — ( к) На круге указаны знаки производной и се минимумы и максимумы. Найдем значения Функции в критичсс- )к) . к . к (7«! 7« 7« ких точках: /~ — ~ = э)пк-+ ми — = 1+ 1 =-2, /) — ~ = ми — + а!и=- 2 (6166 (зк! .
2« . зк ()!к ) )Ш вЂ” — — ) — — юпз — + зш — - 1 — 1 = О, ) — ) = э!пк — + 4 2 4 (2! 2 2 з ) э Глава й П ияюднз» и ее и и»енени» 1(н та(п — - — — = --. Учитывая перечисленные свойства функ- 5 4 2 4 ции, построим се график. Ядру: см. реп!ение. 303а) Для функции Нх) = (бх — х найдем производную 1'(х) = 1 1 — свв и = — -1=, . На промежутке 1=10! — )1 величина саян еэн ии' л ~' ) удоюмтворяет неравенству 0 < ом х < 1. Тогда 0 < санг х < 1 и выражение 1 — саагх > О. Следовательно, производвая 1'(х) ка промежутке 1 положительна и Функция /(х) возрастает.
Найдем значение НО) = 16 0 — О = О. Тогда значения 1(х) > 1(0) или Дх] > 0 на этом промежутке. Ядах: доказано. 304а) Для анализа уравнения 4»э- Зхг — Збх — 10 = 0 рассмотрии функцию Дх)-4»з — Зхг — Збх — 10. Найдем производную 1'(х)-4 Зхг — 3 2х-Зб-б (2»э — х — б). Приравняем производную 1 ге( — 4 2 (-З( нулю и найдем критические точки функции х = 4 з —, т.е. х -- н х = 2.
Отметим эти точки на координатной 1 2 2 оси и построим диаграмму знаков производной. Найдем рн „= —./~--1= 4 ° ( — -( -3 ° (--( — 36 ° (--( — 10=- — — — т 64 — 10- 2/ (, 2) (, 2! '(2) 2 4 95 = — ну =Н(2)=4.24 3.22 36,2 10 32 12 72 10 62 4 р и= — 62 2!( ( 3( 25 на промежутке ~; — — ( функция возрастает и (~ — — 1=. — >О 2~ 4 Поэтому на этом промежутке Функция имеет единственный ко- д. П иненвная и илводнвй и исследованию наний рень. На промежутке ~ — —; 2~ функция убываег н значения функ- 2 ции на концах промежутка имеют разные знаки.
Поатому и на этом промежутке функция иммет один корень. На промежутке [2; ) функция возрастает и /(2) — 62 < О. Следовательно, н на этом промежутке функция имеет корень. Таким образом данное уравнение имеет три корня. Яхдйх! три корня. 305а) Найдем производную функции /(т) = хе в Зхт — 9 и получим Р(х) = 4 те — 16х = 4х (хз — 4). Прнравнясм производную нулю и найдем критические точки функции х, -О, хз = -2 и х -2.
На промежутке [-1; 1] есь крнтичсскаи точка х-О. Поэтому найдем значения функции в втой точке н на концах промежутка: НО)=Ог-8 02-9--9. /(-1)=(-1)л-8 (-1)2-9=-16 н /(1)=!»- -8 12 — 9 = — 16. Теперь из этих трех значений выберем ивиболь- шее н наименьшее значение: шах /(х) =/(О) = -9 и ш!о Дх) = ]-ь 1] [-ь 1] = /(-1) = ЯИ = -16. На промежутке ]О; 3] есть две критические точки х= О и х= 2, Уже было найдено значение /(0) = — 9.
Найдем значения /(2) = 24— — 8. 12 — 9 — 25 н ЯЗ) = 34 — 8 32- 9 О. Теперь из этих трех значе- ний выберем наибольшее и наименьшее аначенис: шах /(х)- [е. з! -/(3) =Он !и!22/(х)-/(2)--25. Ответ: пшх /(х) =/(О) = — 9, ш!и /(г)=/(-1) =Л1) = — 16; ]-ь ц [-ь ~] шах Нх) /(З)=0, ппп/(х)=Я2)= — 25.
[о: з] [о з] Збба) Найдем производную функции /(х) = хат Зхг — 9х и получим /'(х) = Зла+ба — 9 = 3(хз+ 2х — 3). Приравнасм производную вулю н получим критические точки функции х~ = -3 и х, = 1. На промежутке Р, = [-4; 0] находится критическая точка х — — -3. Поэтому найдем значения функции /(х) в этой точке и на концах промежутка: /( — 3) ( — 3)л+3.(-3)2-9 ( — 3)=27; Н вЂ” 4)-( — 4)эе т 3 ° ( — 4)2-9 ° (-4)-20 и ДО)-Оэ-!-3 ° 02 — 9 0-0.
Тогда наиболь- шее значение функции иа промежутке Р,: шах Нх) = /(-3) = 27. [-с о] На промежутке Рз-[3; 4] критических точек функции /(х) нвг. Поэтому найдем значения функции на концах промежутка: ДЗ) = Зз — 3 ° 32 — 9 3 = 27 и /(4) = 42ь 3 ° 42 — 9 ° 4 = 76.
Выберем наименьшее нз этик значеиийг гшп йх) - /(3) - 27. ' ]з л] Глили 2. П и«седлал и ег лри.или«лил Из сравнения видно, чта шах 7(х) ш!и Пх) =- 27. «: Е[ (З« 4! Щветг шзх /(х) ппп Пх). [-а е) [з, «[ 307) Учтем, что скорость — производная пути но времени. т.с. 2 а =Я'(П. Тогда лля пути Я(О = 12Н вЂ” — Н найдем скорость о 24!— 3 — 2!«. Опредслни ваибольшее значение этой скорости на промежутке [4; 10[. Найдем производную функции о(П п получим й= 24- 4!. Еда««сезонная критическая точка этой функции ! — б. Вычислим с(б)-24 ° б — 2 ° ГИ-144-72 = 72. Пувцгг б с; 72 и/с. 310в) Найдем производную функции Дл) = 2з!«г х+ соз 2х н получим 7'(х) = 2ож х — 2з)п 2х. Определим критические точки.
Име. ем уравнение: 2соз х — 2з!и 2х = О. Используем формулу дэя екнул са д«юйного аргумента и получим: 2созхв 4з!их сов х — -0 нли 2соек(1 — 2яп х) = О. Так как вранзведенис двух множителей равно нулю, то хотя бы одни из них равен нулю. Получаем урввнеки»г сов х = 0 и 1— — 2яп х .—. О. На промежутке [О! 2п) найдем решения этик уравнений с помощью триго. наметрического кругл.
Полю«аем четыре ре- л л Зг 2 шония: —; —; — и —,к. Па круге также з 2 а 2 отмечены знаки производной 7'(х). Найдем значения функции 7(х) в этих критическик точках и на концах промежутка. Получаем: ( — ) = 2ълп — +сов~2 ° — ') = 2 — е — = —; ( — ) = 2з)п — — соз(2 — ) = = 2 ° 1 — 1=1; )[ — ') = 2з)п — +соя«2- — ~ =2яп! х — — )+ соз — = =2яп — '+со 2к — — ) =2.— + соя-=1е — = —; 7!-к!= 2яп — к+ 6 ! 3) 2 3 2 2 (2 ! 2 + сел~ 2 ° — к) = 2- [ — 1) + с«жбх = — 2 + соа [22 + к) = -2 + соз х = 3 .= — 2 — 1 = — 3: 7(0) = 4 [2х) = 2 яп 0 + сов[2 ° 0) = О л 1 = 1. Сравнивая эти значения, найдем: п«ах 7(х) = )Н = д — ) = — и [е:2*] ~з) ! 3 2 (з ш!а Дх) —" 7!-к)- — 3. [е:л [ (2 в еэ 0гвпг: шах /(х) = /(- ( = /~ — '~ = — и впп Дх) = /~ — х ~ — — 3.
(е.ээ) (Е/ (Э/ 1 (О;э) (Э 311) Пусть число 24 равно сумме двум неотрипдтельных чисел х и у, т.е. х ь у = 24 (откуда у = 24 — «). Тогда сумма квадратов чисел х и у равна «э+ уз = «э+ (24 - х)э «се 576 — 48х+ хэ —.- 2хэ— 48х + 576. Рассмотрим функцию /(х! = 2хэ — 48«Е 576 и определим се наименьшее значение. Найдем вроиэеодную этой Функции /'(х) = 4« — 48. Функция имеет единстнснную критическую точку х-12 (точка минимума).
Таким образом, условия задачи выполняются, если число 24 представить в виде суммы двух одинаковых чисел 12, т.е. 24 - 12 + 12. Ягв~: 12-~-12. 313). Пусть стороны прямоугольника х (и) н у (м). Тогла его периметр 2х+ 22 = 48 (па условию). откуда у = 24 — «. Запишем площвдь пряр оугольн ка Я = хр = «(24 -х) = 24х — «э. П условию задачи такая площадь должна быть наибольшей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
