kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Произведение множителей равно нулю, если хоти бы один из них равен нулю. Получаем уравнения: от4х = О (его решении 4х= -+ ян (где л Е к). откудз 2 с с 1 х —. — + — л~ н 2юп Зх — 1 =0(т.е. юп Зх= —, его решения Зх =( — 1)»х В 4 2' 1 с с к н згсз! и - + лй = ( — 1)» — + кй (где й Е 2), откуда х = ( — 1) - — 4- — й ~.
2 з 18 3 к к с с Ягдву — 4- — л; (-1)» — 4- — й, где л, й Е з. В ! 18 2 175а) Для решения системы уравнений " ' из (Х 4 У и Х (созх — сову= 1 первого уравнения выразим у =к — х и подставим во второе уран- пение. Получеемс сов х -сов(л — х) —. 1 илн сов х — ( — сов х) —. 1 или 1 1 2соз х = 1.
откуда с!и х = †. Рошснин этого урзвнення х .—. — агссоз — » 2' 2 33 3. Рсмснис и исаналсм и«сенин ! аснснис и нс ааснсма с «-2кп= е — +2кп, где л Е 2. Теперь найдем у = к — +-"+ 2кл) = 3 з и с = к х — — 2пл — — к (2л — П. 3 3 Ягма! ~2 с + 2кл! Р— — к(2п — 1)), где а Е2. 3 3 х — у=— 1756) При решении системы уравнений 2 из сов х+ 31п у = 2 первого уравнения ныразим х =-+ у и подставим во второе урав- г 2 С пение. получаем: созг~ — + у)+в!азу — -2 или ми!у+в!азу = 2 или (2 с мазу = 1, откуда ма у= -1.
Реи«епиа этих уравнений у = — + кл, где 2 с н л Е 2. Найдем х= — + — «-кп = к+ кп. «2 Отест: (к + кп; — -«- кп), гле л Е 2. 2 (3!их — сазу = О 176а) Для ргшениа системы уравнений (, 2 с, вво(!з!и х «- соя! у = 2 дем новые нензвестныс и — мп х и Ь = сову. Получаем систему ал- )и — Ь = О гебрвических уравнений ~ 2 .. Из первого уравнения выра- (а «-Ь *им Ь а и подставим во второе уравнение: износ=2 или и2-1, откуда а — =1. Тогда н Ь вЂ” — а1.
Получаем дне системы уравнений. (з!их = 1 ) х = — + 2гп 26 '(сов =1,откуда ! -, глен, йе3. (у = 2кй с (ыпх = — 1 ~х = — — - 2ки б) ~ а 1, откуда ~ (у = к+ 2кй (МЗШ! (-+2КЛ! 232 !, ~--'+ 2КГП К+2хй~, ГДЕ П, йЕ 3. с Х+У=— 1766) Для решении системы уравнений « из перво! сух гйу =— е го уравнения выразим у- — — х и полставим во второе уравнение: 4 (5 ) 1 !6«16! — — « != —. Используем формулу для тангенса разности (4 / Е 13 4" — !З» 1- М.г !6«х = нлн 46» = †. Умножим 1+!ЗД !В З 4 1!1ВХ обе части уравнения па 6(1+ !6«). Получаем: 6!ух(1 — 16«) = -1 (1+ (6«) илн 6!ух — б!62«-1+ !6« или 0-6(йзх-5!ух+ 1. Введем новую неизвестную 1-26 х.
Имеем квадратное уравнение 1 1 0-6Н-51+ 1. корни которого г = — н ! = —. Вернемся н старой 3 2 2 1 неизвестной х. Получаем уравнения: !6 х= — (сто ре!пении х- 3 1 1 1 - агсгб — + хл, где л 6 г) и (6 х = — (решения х = агс(й — + ку. где 3 2 2 2 х 1 Д 6 2).
Теперь найдем у = — — х. Тогда имеем: у = — — агс!6 — — кл 4 4 3 ! и у = — — вгс16- — ХЛ. 2 1 з 1 Ядйнг! (ага!6 — е лп; — — агс!6- — кл), 3 4 д ! х 1 агс16-+ кй; — — агс!6 — — лу~, где л, Д 6 3.
2 4 2 Глава П. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ $4. Производная 1786) Найдем приращение Лг функции Дх) 2хз — 3 в точке х . ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПРИРаЩЕНИЯ ЛГ = ЯХ + ЛХ) — 1(Х ) = (2(«с+ ЛХ)2— — 3) — (2«2 — 3) = (2х 2+ 4«с Лх 4- 2(Л«)1 — 3) — (2х 2 — 3) = 4х„дх —, 2(Л«)-'.
Теперь найдем зту величину для хе = 3 и Лх = -О 2: Лг' = 4 ° 3. (-02) + + 2 ° ( — 0,2)2= — 2,4+0,08 = — 2,32. ~~! — 2,32. 1796) Найдем приращения Лх и Лг для функции 1(х) 4х — «1. Приращение Л«= х — « = 2,6 — 2,5 =-0,1. Приращение Лг- !(х)— -У(х )=(4« — хг)-(4« — 2) (4х — 4« > — («1 — х 1)=.4(х — х )— е о е о е е — (х —.т )(х+хе) =(х —.г„)(4 — х — хе). Найдем эту величину для « = 2,6 и «4= 2,5. Получаем Лг =(2,6-2,5)(4-2,6 — 2.5) = 0,1 х х ( — 1,1) -0,11.
ьцмп: Ат = 0,1; ЛУ=- -0,11. 180а) Выразим приращение 41ункции П(х) - 1 — 3«2 в точке .т через х и Лх. Па определению приращения функции имеем: Л/ = /(«о 4- Лг) — ((хо) = 1 — 3(хе+ Ат)2 — (1 — Зх,,з) = 1 — З«,2 — 6«у)«вЂ” — З(Ат)2 — 1 + Зх 2- -бхф« — 3(Лх)2- -ЗАт (2 хо + Лх). П!362: -3 (2« *). ' 4. П и«воднол 1816) Средняя скорость автобуса — отношение приращения пройденного пути к приращению времени, за которое оио произошло. За время ог 1, = 3 ч до 12= 5 ч (приращение времени Ь! = 12 — 1, = 5 — 3= 2 ч) пройденный цуть изменился от Я,-150 км до Я- - 280 км (приращение нуги ЬЯ - Я вЂ” Я, - 280 — 150 - 130 км). Тогзя дв средняя скорость и = — - 65 км/ч. ()2вву! 65 км/ч.
М 182а) Координата х точки меняется со временем по закону х(1) = 3+ 121 — 12. В момент времени ! = 2 координата точки х(2) = = 3+ 12 ° 2 — 2«= 22, в момент времени 1 2,5 координата х(2.5)- = 3+ 12 2,5 — 2,52 = 26,75. Следовательно, аа время ! — 1, - 0.5 координата точки изменилась иа величяну «(2.5) — «(2) 26,75 — 23- - 3,75. Так как приращение координаты положительно, то точка удаляв!с«от начала координат. Средняя скорость тела за втсп про- «(2,2) — «(2) 2,12 иежуток времени о - = — ' = 7,5.
1,-1, ОЬ ЩК2: см. решение. 1 184а) Для функции 1(х)- — хз найдем приращение функции г прн изменении х от величины х, до х . получаем: ьг-1(хз)— 1 2 1 1 11 1 21 112 21 1 — Дт )- — «з — — х1 = -(хз — «1) = — (1 — 0 ) = —. Приращение ар- 2 2 2 2 2 гумеита при атом Ат - х — х, = 1 — 0 = 1. Тогда угловой козффици- сит секущей Д- — = — = —. Так как й > О, то секущая образует з( 172 О«1 2 острый упж с осью ОХ.
Птщ21 Д - —, острый угол. 1 2' 185) Куб имеет шесть граней, площадь каждой из иих равна хз. Тогда площадь полной поверхности куба Я(х) = бхз. Пусть ребро куба х получило приращение Ьх. Найдем приращение полной поверхносгн куба: ЬЯ Я (х+ Ьх) — Я(х) — 6(х е Ьх)2 — 6«1-б ((.т + Ьх)!в — хз) 6(т+ Ат '-х)(«+ А« — т) = 6(2«-!-Ьх) Ат. Ьпяау: 6(2т + Ьх) Ьх. 186а) Для функции 7(х) - -хз+ Зх найдем ее приращение! Ь1 -1(х + Ьх) — 7(х) - -(х + Ьх)з + 3(х + Ьх) — ( — хз+ Зх) - (хз — (х е + Ьх)з) + 3(х + Ьх — «) - (» — х — Ат) (хз+ х (х + Ьт) + (х + Ьх)2) + ЗА« = — Ь«(«2+ «2+ х ' Ьх + «2+ 2« ' Ьх+ (Ьх)2) + ЗЬх = -Ьх (3«2+ +3«.Ат-!-(Ат! )+ ЗАт=-Ат(Зхз-3+Зт Ат+(Ьх)2). Также легко нанти отношение приращеинв функции к приращению аргумента Глава 2.
П и»вад»а» и гг а и» нсз х -лх(З»' — З.З.' л" (ьх)') = — З»+ З вЂ” Зхб — (Лх) . л ьх 02впг! лу= — лх(зхз — З+Зх.лхе(лх)'). — = — 3»2+ 3 — ЗхЛ» — (Лх)2. ь! ! 188!3) Для функции Г(х) = —,, «вйдсн ее пйидащение х" - ! х — 1-((»» ь») — !) «» (» „ь») ЛГ = ( ь») — ! " ((» ь») — 1)(» — 1) ((» з ь») 1)(» 1) (»+»» ьх)(»- -ьх) -л»(2 лх) ((» ь ) — 1)(» -1) ((»» ь») — !)( — 1) Теперь нейдем отношение приращения фуакции к приращению ь! -Ь (2» Ьх! -2 — ьх аргумента ((» Л») — 1)( ' — 1) Ьх ((» Ь ) — 1)( » - 1) -Ь» (2 ° Ьх),!! !» Ь, ((» ьх) -!)(» -1) ' (( +л»] -!)(х -1) 187а) Дзя нахождения средней скорости точки определим для »! координаты х(1) = с 1 — — приращение координаты зв промео жуток времени (1; !е+ Л!): Лх - х(!з+ Л!) — «(!з) - гз(1з+ Л!)- à — "'1= (»!»(!з + ь!) а о — гзгз =(и (1 +л1)-о ! )+ -!1.— ОО 2 Ос(го+ Л! !е)+ 2 (!о+ 1з+ Лг)(!з — 1з — Гп) Сзб! + — (2!з+ ЛО( Л!) з г г = Л! ~ оо — — (2(о + Л!)).
Теперь легка найти среднюю скорость точки 2 з » = зз 3!з Л!. О~гзщ: о — 3! — — ЛП М 2 з О 2 188а) Схематично изобразим график функции !(х) = хз - 2х — 3. Зто парабола, направленнан ветвями вверх, пересекающая ссь абсцисс в точках х, = -1 и х = 3 и ось ординат — в точке р = -3. Вершина параболы имеет координаты х, = 1 и у,= -4. Если провести касательную к параболе в точке Л с абсциссой х„- О. то кзсатель- 4. П и»эадяал ная образует тупай угол и с осью абсцисс и угловой коэффициент 2 = (ба< О. Если 16юэытя касательную к параболе в точке В с абсциссой х„= 3, то касательная образует острый угол () с осью абсцисс и угловой коэффициент Л = (6 () > О. Яущ(2: см. решение.
139а) Рассмотрим рис. 85,а учебника. В точке х, касательная образует тупой угол с осью абсцисс и угловой коэффициент ее отрицательный. В точке х касательная образует острый угол с осью абсцисс н се угловой козффиниент положительный. В тачках х и х касательных к графику функции ис существует. В окрестностях точек .т, и х граФик Функции является "гладкои" кривой. ()уайт: см. рсшсннс. 191а) Сначала для функции )(х) = 2х' найдем приращение функции 5|=1(хал лх) дхо)=2(ха+ля)2-2х2=2их глх)2-х»)= = 2(хал Лх-ха)(ха+ Лх т «а) = 2Л«(2«а — Лх).
Вычислим величинУ л( 2л (2»о л ) — =2(2х +Лх)=4х Е2лх. Для точки х 1 папуа» л» а а а л( чим — = 4 1+ 2Лх= 4+ 2Лх. Подставляя соответственно значс- л ния 6« =0,5; 0,1; 0,01, найдем —: 4+ 2 0,5= 5: 4+ 2 0,1-4,2; л( л 4+ 2.0.01 =4,02. Яущ22 5; 4,2; 4.02. 1926) Чтобы найти отношение — =. 3«„2 Е Зхо)х+ (Лх)2 при М Лх ч О, подставим значение Лх = О в это отношение. Получим лг ш л» а а' а' — -Зхз+ Зх ° О+ О» —. Зх'-'. При х .—. 1 эта величина равне — =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
