kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Яхдех: агссьх к <агсегб 1.2 < агсссб ( — 5). 40 Гзеке 1. Т игенеием ечеекие ккиик 1366) Используя известную формулу. запишем решения урав- 1 2» пения совх =- —. Имеем: х-вагссш )--)+ 2лл = — — + 2лл, где 2 2~ 3 2« лег. ьлвп: — — +2лл, где лей. 3 1376) Из уравнения чг2 сов х-1 =0 выразим сов х- †. Ис- 43 ' пользуя известную 4юрмулу, запишем решения этого уравнения: 1 к х = еагссов-г- + 2лл - -- + 2лл, где л Е 3. 42 4 Опвп(: е- -1- 2лл, где л Е й. 4 133а) Используя известную формулу, запишем репюния урав- 1 1, т пения е)их = —. Получаем: х= (-1)" агсв!в —, — ля = (-1)к — + лл, 2' 2 Е к где л Е г.
02322: ( — 1)" — — лл, где лЕ3. е 1396) Из уравнения 23!и хе,(3 = 0 выризим юля = — †. Ис- 43 2 пользуя иавестную формулу, запишем решения этого уравнения: Х-(-1)"аГШШ ~- — -1-ее =( — 1)ч !--)+ ЛЛ=.( — 1)еы ° —, 4-ЛЛ, Где 2 ~ З~ 3 к л Е г. Яйвйгг (-1)" ' ' . — + лл, где и Е г. 3 140а) Используя известную формулу. запишем решения урвв- 1 пения 16 х =- — †. Имеем: «= его(6~- ~+ дл = — -+ лл. где л е 3.
Вгвы1 — — + хл, где л е г. е 1416) Из уравнения сьбх+1-О выразим с16 х= — 1. Используя известную формулу, запишем решения этого уравнения: х —. 3 3 = атос!6( — 1) 4-дл- — л-1-пл, где л 6 2. ОО)ау: — лч-лл, где л Ей. 4 4 1 1426) Для решения уравнения сов — = — — введем новую нсиз- 3 2 1 вестную 1 = †. Получаем уравнение сов 1 = — —. Выпишем его реч 2 1! йк шепни 1- — агссоэ ~ — — ! + 2лл - е — + 2лл, где л Е 3. Вернемся й! 3 4 3.
Решгмиг ш ийомолгш икгсвик змемиб и кй егмгм44 41 к старой неизвестной х. Получаем линейное урвапение— 3 3 4-2кл. Умножим обе части втого уравнения на 3 Яг нвйдсвЯ х— -=2л4-бкл. ьч'за24 х-е2ктбкл, где лез. (» -! г 14ба) Для решения уравнении Зсов!1- — — ~ = тЗ введем ноауй1 (2 б) к к неизвестную с =. — — —.
Получаем уравнение 2ссе ! = м(3, отмуд: 2 б 43 яз соз ! = — . Выпишем сто решения ! еагссов — + 2кл = — — т 2кл, 2 г б где л Е 3. Вернемся к старой неизвестной х. Получаем линейное к к й к к к к уравнение4 — — — =2-42кл, тогда — = — 4 — 42км и х= 2 б б 2 З б ' З З к к т 4кл. ОтЯшт: х= — — — к4кл, где лайз. 3 3 (й- «) г 1466) Для решения уравнения 2юп ~ — — -~ = чЗ заедем новую (3 4! к й вснзвестную ! = — — †. Получаем уравнение 23!и ! =,(3, откуда 3 4 Я'3 Я'3 юп ! — †.
Выпишем его решения ! =(-1)" агсз!и — т ил — ( — 1)" к 2 х — -!-кл, где л Е 3. Ворнемси и старой неизвестной х. Получаем 3 й к линейное уравнение: -, '— — = (-1) ° — т ил. Вычтем из обеих час- 3 4 3 тей зтого уравнения число †. Получаем: — — = — — я ( — 1) ° — т кл . 3 4 3 ' 3 4к Умножим обе части уравнении на число (-4) и найдем х — —, 3 4к 4к » 3 Як — ( — 1) ° — я 4кл = — 4 ( — Ц вЂ” 4- 4лл.
3 3 з 44 й+1 4й (У(щт: — 4- (-1) — т 4кл, где л е 3. 3 3 147а) Для решения уравнения шп Зх сов к — соз Зх зш х — — ' бз преобразуем его левую часть, используя формулу для синуса рззГз . (3 ности двух углов. Потучаем4 в!п(Зх — х).— — или 3!п 2х —. 2 „гз Выпишем решении этого уравнения: 2т — (- 1)" агсюп.
— т кл— к й к = ( — 1)" — я- кл, где л Е 3. Разделив на 2, найдем х — ( — 1)м — ' —, л. 3 б к к Щ~: х=(-1)" — т — л. где л Е 2. б 2 Глава Д Т исоиалил ические акции зл 22 1476) Для решения уравнения в!и — — сов — =1 используем 4 4 2 х формулу для коеииуеа двойного аргумента. Получаем: -) сов 4 2л — ял — ! = 1 или -еоз — = 1. откупа сов — = -1. Запишем решения г 2 148а) Так как абсцисса искомой точки известна т = 4,5л, то найдем ордииату этой точки,подставив зто значение в уравненне Для д - 2еок ~22 — — получаем: ,1 2еов~2 ° 4,5к — -~ = 2еоз~йк — -~ = 2оов) 8к+ ~к — — )) = к к ! л — -) = — 2 еоэ — = -2 — = — 1. Для д = яп ~ — + — ! имеем: 3) 3 2 (2 4! 445к к) . ! 1 к! к яп! — '+ - ! = вш!(2 — к + -) = яп(2 5к) = 3!л!(2к+ - ! = функции д(4,5к) = = 2е4м)к д(4.5к) = л = з!и — = 2 1.
Итак, искомые точки имеют координаты (4,5к! -1) и Ягвву: (4,5к; -1). (4,5к; 1). (4,5к! 1). 1486) Так как ордииата николой точки известна д- -1, то найдем абсцисеу этой точки, подставив зто значение в уравнение функ- к! л) ции. Длх у = 2сов ')22 — -) поаучаем уравнение! -1 = 2огм ) 22 — — ! 3) з) 21 л гк или ми ') 2х — — ! — —, откуда 22 — — = кагсеав -- + 2кл = е — е 3! 2 3 2) 3 к 2к к к х л + 2кл.
Тогда 2к - — к — + 2кл и х- — — — + кл. Дхя д- з!и!(-+ -~ 3 3 з з ),2 4) л к к имеем уравнение: -1 - яп ! — - — ), откуда — + — = --+ 2кл. Тогда )2 4) 2 4 2 гк зл — = — + 2кл и х- — — т 4ял. Таким образом. координаты иеког 4 2 (к к ) ( Зк мых точек ! — 2 — + ял; — ! ~ и ! - — + 4кл; — 1), где л Е 2. (б 3 ) ! 2 !л к ! ( Зк Ядах: ~-+ — + лл; — 1). ~- — + 4кл; — 1) . где л Б 2.
этого уравнения: — = к + 2кл. где л Е з. Умножим обе цвейги этого 2 равенства на 2 и найдем х - 2к+ 4кл. Яцж4 х 2к+ 4кл, где л Е 2. Глиии !. Т и иисяеи~ ические кии 1Г2 Множество точек окружности, для которых сов ! > †. отмечено 2 О2 буквой!. Из рисунка видно, что неравенству сов ! > — на проме- 2 жутке ! Е ~ — —, — удовлетворают значения ! Е ! — —; — ) . к и1 к и 2 2~ [, 4 4) а,:~ ";М. 4 4) гбйа) Для решения неравенства !Ох > > — иГЗ на тригонометрическом круге по осн тангенсав (вспомогательная вертикальная ось) отложим значение( — ГЗ). Построим Угол г, дла которого гб ! = — и(3. Это к угол ! — — . Мнохссство тачек окружности, 3 для которых гб ! > — ГЗ отмечена буквой !.
Из рисунка вндяо, чта неравенству (б ! > к к! > — иГЗ на промежутке ! Е ~ —; — ) удовлетеоряигг значония ! Е и к1 к и1 Е 2'2)' з' г) 1бда) Сначала решим неравенство Ып к > Л > — на промежутке х Е[О; 2и[. На тряго- 2 намстрическом круге по аси синусов (верти- кальная ась) отложим завчсннс †. Постро- 2 Гг им углы, для которых и!их- †. Зги углы 2 и и Зк х = — и х = я — — —. Множество точек, 4 2 4 4 Гг для кагарых мп х > — . отмечено буквой !. Из рисунка «ндпа, что ! ' А неравенству ягп х з — нв промежутке .т е [О: 2г) уловлетваряют 2 [к Зк1 значении к Е [ ' ~. Учтем периодичность функции в(п х и по- [4 4 3. Ретеиие т игелелет ичееиих еиеииз и ие аееиете — +2кп: — + 2лл~, где и Е г. л Зл 4 4 л Зл — + 2кл; — — Зкл~, где л Е 3.
4 4 лучим х Е -еГЗСО е виде 157а) Запишем данное неравенство 2соз х 2созх< ГЗ. Разлелим обе части неравенства на положительнее 43 возил —. Сна- 2 число 2. При этом знак неравенства сохраняется: чала решим это неравенство на промежутке х Е 101 2к). На тригонометрическом круге отложим по оси косинусов (горизонтальнан 41 ось) значение —, . Построим углы х, для ко- 43 л торых сов х = †. Это углы х = — и х.- 2 1;1 2 л зл -2к — — =. —. Множество точек акружнос- 3 3 /л зл пугин хŠ— >2кл1 — + 2кл, где л Е ..
~3 3 ьпвет: — + 2кл; — + Зкл~, где л Е 3. '13 'З г . /л 21 159в) Длл решение неравевствз ч2з1п~ + > 1 введем но- ~4 21 л зуго неизвестную 1 = — + — и получим нера- 4 2 еенства,/2 в)п 1 > 1. Разделим обе части на положительное число,/2 . При этом знак 1 неравенства сохраинстсв: з1п1 > — †. Сннчала реплнм это неравенство на промелсутке 1 Е)0: 2к).
На тригонометрическом круге отложим по осн синусов 1вертикальнаа ось) /з ти, для которых соз ха —, отмечено буквой 1. Из рисунка видно, 2 л)з что неравенству сов хи — на промежутке 101 2к) удовлстворнют 2 /л Эл) значения хЕ ~ . ° ~. Учтем лериодичность функнин созх и по- Гааза 1. Т игоиенем оикгкие к ки 1 Г2 42 звачение -и = —.
Построим углы 1, для которых юп 1 - †. Ото 42 2 2 к и Зк углы 1 — и 1 = к — — = —. Множество точек окружности, для 4 2 4 4 ~Г2 которых юп 1 з —, отмечено буквой 1. Из рисунка видно, что нера- 2 венстзу зш 1 3 †. ыа промежугке [О; 2х) удовлетворяют значения 42 2 [ Зк1 ге 1-1 — !. Учтем периодичность функции юп1 и получим 1 е [к Зк Е ~ — + 2лщ — + 21гл1, где л Е з. Теперь вернемся к неизвестной х. )4 4 и к зк Получаем двойное линейное ысравенство — + 2кл < — + — < — т 2хн. 4 4 2 4 Иа всех частей неравенства вычтем число —. Имеем: 2пл<— 4 2 < — + 2кл.
Умножим все члены неравенства на положительное 2 число 2. Прн этом знак неравенства сохраняется. Получаем: 4хл < х < к+ 4кл пли х И [4кл; к + 4хл). !)22!Зт: [зха; к + 4лн), где л Е и. 160г) Используя формулу длн косинуса суммы двух углов.
пре- к .. к тгэ образуем левую часть неравенства соз-созх — з!пхз!и- < — — . 8 8 2 к) )З Получаем: сов[»+ ) < . Введем нов) г к вую неизвестыую 1-х+ †. Имеем нера- а' Гз венство сонг < — †. Сначала решим это 2 неравенство на промежутке 1Е [О; 2к). На тригонометрическом круге по оси косинусов [горизонтальная ось) отложим значе- нне ~ — — . Построим углы 1, для которых саз 1 = — — . Это углы и'з ) )з 2~ 2 эк гк 1 = — н 1 - †.
Множество точек окружности, длн которых 3 з 2 з соз 1 < — —, отмечсыо буквой 1. Из рисунка вилна, что неравенству 2 2.Равнине т игоюяиет ические иеиии иле еелете ,/з совг< — — на промежутке [01 2н) удовлетворяют значения 1 Е 2 /зя гя) Е ~ —: — /1. Учтем периодичность функции сов 1 и гюлучнм 1 Е '16 Б/ /5я 7» Е ~ — 4-2кл; — + 2кл) . где л Е г.
Теперь вернемся к неизвестной х. ) 6 6 54 я 7я Получаем двойное неравеяство — '+ 2кл < «+ — < — + 2кл. Из 6 6 6 я зя я всех частей неравенства вычтем число — и получим з Б 8 74 я 17я 254 +2зл <х< — — — + 2кл или — +2пл <х < — +2кл или хЕ 6 З 24 ы Е1 — + 2лл; — т 2кл)1. ))224п: 1 — -г 2вж — + 2кл1, где л Е з. /!7я 254 /17я 25я '1 24 24 1 'г 24 24 .г г/З 1636) Для решения неравенства соз — > — на промежутке х Е 2 2 я Е ~--; О введем новую неизвестную С вЂ .
Получаем нерввен- 2 2 /з спю соз 7 = — и решим его на промежуг- 2 ке 1Е [ — к: к). Ка тригонометрическом круге но оси косинусов (горизонтальная ось) Гз отложим значение †. Построим углы 1, 2 Гз я для которых сгмг- —. Это углы 7--- 2 1 и 1 = †. Множества точек окружности, 6 Гз для которых соз 1 ь —, отмечено буквой й Из рисунка видно. что 2 /2 неравенству сов 7 > — на промежутке [ — к; к) удовлетворяют значе- 2 я «) ния 1 Е ~--1 -1. Вернемся к неизвестной х и певучим двойное ли- 6 Б) я я я нсйнсе неравенстно -- < —, †. Умножнм все члены неравенства 6 2 6 Г они!. Т игонолрт ические цн ции нз положительное числа 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
