kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Точки -1; О; 4 удовлетворяют условию х > — 1. Поэтому дзя нахождении значений функции в этих точках пользуемся нерпой строчкой определения. Тогда получаем: !(-1)- = ( — П вЂ” 1 = О, ДО) = Π— 1 = — 1 Дл) = 4 — 1 = 15. Жмй: Д вЂ” 2) = 2, Л вЂ” 1) =О, ДО) = — 1. Д4) 15. ег нк 52а) Так как ЕР1АС, то АЕВР ААВС. Поэтому: Ас ЕО В ег» Ь илн — ' = —, откуда ЕР = х-. Выразим пло ь л' Ь' ! щадь Я, треугольника ЕВР: В,- — ЕР ВК- 2 1 Ь Ь» ° х — х- —.
Тогда площадь Я тра- 2 Л аа г ьл пеции АЕРС равна: В - — В 2 в~во г 2 А С Ьг ЬЬ Ь» Ьгь — » ) 2Л га 2Л ь(л' — ') !э 2. Оеновнне свойства нннии Е:е1 — 2 53а) Область определения функции у = „задавши усэо- ‫ — 2 винни: Зх — 2 >0 (подкоренисе выражение должно быть иеотряцэ. тельным) и х'"' — х — 2 в 0 (делить на нуль нельзя).
Решевие линейно- 2 го неравенства х > †. Решение неравенспю хз — х — 2 и 0 все х, кроме 3' х, — — 1 и х — 2. Изобразим полученные решения нв диаграмме. 2 э ]2 Видно, что оба неравенства выпслнянпся при х Е ] ' 2] О (2; ), что и явлвстся областью определения данной функции. ]2, 02522: З(у) -: 2~ О (2: ) Га Чх — Зх — 4 536) Область определения функции у= 2 задается 1а — хэ условиями: хэ — 2т — 4 >0 (подкорепное выражение должно быть неотрицательным) и 16 — х" в0 (делить на нуль нельзя).
Решение первого неравенства х Е (-: — 1] О [4; ). Решение псравшктвв 16 — хзв 0 все л, кроме х, =. -4 и х. - 4. Изобразим полученные решения на диаграмме. Видно, что оба неравенства выволняются при х Е ( —; -4) О ( — 4; — 1] О (4: ), что и является областью определения данной функции. Щйш,": О(у) (; -4! О (-4; -1] О (4; ).
54в) Область определения функции у — эгх + 4 задается неравенством хте 4>0, которое выполняется при всех значениях х. Поэтому О(у) = й. Найдем теперь область значений функции. Очевилно, что «2>0. Прибавим ко всем частям этого неравенства число 4 и получим: хе+ 4 > 4. Извлечем квадратный корень нз обеих положительных частей неравенства. При этом знак неравенства сохраняется.
Получаем ух + 4 >и4 или ух т 4 >2 или у> 2. Поэтому область значений данной функци» Е(у) - [2; ). Еваг: З(у)-и, Е(у) =[2! ). 1Е Г аеа !. Т и»ояолгт и егк г !я»чаи у ~ бба) Для построения графика функпии у= ~» — 1! учтем определение модуля. Тогда получим; ! х — 1, если х — 1>О -(х — 1), если х — 1 < 0 1 х ) х — 1, если х > 1 чх У=) Построим грз- ) ! - х, если х < 1 ' фик линейной функции у =х †! (дря.
мая !) и выберем ту его част~, для ко. торой х > 1. Также построим график линейной функции у-1 — х (прямая 2) и выберем ту его часть, для которой х < 1. Объединение двух атнх частей и дает график данией функции (сплошная линия). ьцвуд: см. график. 55б) Ддя построения графика функ- )» — 4, если»>2 ции У=~ стропи гра- ~2 — х, если х< 2 фик у =хз-4 (парабола !) и выбираем из него ту часть. для которой х > 2 (сплошная линия). Также построим график линейной функции у - 2 — х (прнмая 2) и выберем нз него гу часть, ллн которой х < 2 (сплоп!ная линия).
Таким образом, график данной функции у(х) состоит нз части прямой и части параболы. (х!вет! см. график. 57а) Область определения функции 1(х) = Зхз 1- «! вся *шсловая прнмая, т.е. симметричное множество. Найдем значение 7( — х) =- = 3 ( — х)з -( —.»)1= Згт+ хз= Дх). Видно. что вне!ения функции в симметричных точках х и — х одинаковы, т.е. Д- х) = Дх). Позтому данная функция четная (по определению). Ответ: доказано.
586) Область !юределенни Функции 1(х) = — ', задпется успе- в 1 вием х» — 1 я О (т.к. делить на нуль нельзя), т.е. х с =1. Постону область определения ЕКП = (-; — 1) О (-1; 1) О (11 ) — симметричное зч! (- ) (- яч ) ыч!» 1 множество. Нейдем значение 1( — х) = —, ( ')-1;! -! -' ! = Дх). Было учтено. что функция я1пх является нечетной, т.е.
а!а( — х) .= — юпх. Видно, что значения функции в симметричных точках х и -х одинаковы, т.с. 1(-х) = !(х). Поэтому данная функции четная (по определсвию). Я!дат: доказано. 2. Оснесныг свойства «вней 596» Область определения Функции Дх) = хз(2« — хз) — вся числовая осгь т.е. симметричное множество.
Найдем значение Функции 7( — х) = ( — х)2 (2 (-х) — (-х)з) = хе (-2х т хз) = — хз (2х — х*) = — — — /(х). Видно. что значения функции в симметричных точняк х н -х отличаются знаком, т.е. Д вЂ” х)--г(х). Следовательно, данная Функция нечетнвн (по определению). Я2222: доказано. ссь « 606) Область определения функции 7(т)- «задается «(25 — «) условием х (25 — хз) в 0 (т.к. делить нв нуль нельзя), т.е, х и О.
— 5. Поэтому ВО) =( —; -5) О(-5; О) О(0! 5) О(5; ) — симметричное ~(-«) множество. Найден знвченне функции 7( — х)- (-.) (25 -(- ')) - (- *) — — — = -7(х). Выла уменя чет- (25 — ) — (25 — ) (25 — ') вость функции косинус, т.е. сов ( — хз) = соэ хз. Видно, что значения Фуннции в симметричных точках х и — х отличаются ливком, т.е. (( — х) - — /(х). Следончтельно, дянняя функция нечетная (по определению).
(«тдат: доквзвно. 61а) Нв рисунке 37в приведен график функции Дх). Если функции 7(х) чстнвя, то ее график симметричен относительно осн ординат (рнс. а). Если функции Вх) нечетная, то ее график симметричен относительно начала координат (рис. 5). Отн сссбрвжения позволнют логко построить гряфики Функпи(!. Оуддт: см. график.
62в) Область определения Функции 7(х) —. Зсоэ зх — ноя числовая ось. Поэтому точки х, х = Т принадлежат области опрелелення ВО». Если Функция У(х) периолвческвн с периодом Т. то должно « выполнятьсв равенство 7(х Т) = Дх!. Для Т= — проиерим зто рв- г Г.гиии !. Т игииимгт ические иикиии г.) вснство: Зсоз4(»+ ) =Зсгм(4»е2л) =4сов4х, т к. период функ- цни косинус 2л. Таким образом, равенства выполняетсн. Следовак тельна, число Т .- — является периодом функции /(х) - усов 4к. 2 Жжт: доказано.
63в) Докажем. что периодом функции г(х) = в!пк-1-сов х является число Т= 2к. Область определения данной Функции — вся числовая ось. Поэтому точки х. к с Т принадлежат области определения ()(!). Проверим выполнение равенства Д(х-~-Т)=!(»). Получаем! !(х т 2к) = з!п(х+ 2л)+ сов(х+ 2л) = а!и »+ свах = Дх). т к. функции синус н косинус периодичны с периодом 2л. Таким образом, равенства выполняется.
Следовательно, функция Дх) = = в)п х+ соэ х периодическая с периодом Т = 2л. ьцвдтг доказано. 63г) Запишем данную Функцию Дх) = 3 + юп х в виде: Дх)- 1 — сок 2» =3е =3,5 — О,бсов2х. Область определения этой Функ- 2 цин — вся числовая !юь. Поэтому точки х, х я Т принадлежат области определения В()). Докажем, что периодом функции Дх) является число Т= к. Найдем значение функции !(х Т) Пк 1- к) = 3,5 — 0,5сав 2(х + к) = 3,5 — 0.5саз (2х ч 2к) = 3,5 — 0,5сов 2х =.
- !(х). Было учтено. что Функция косинус периадическан с периодом 2л. Таким образом, выполняетса равенстно г(х — Т) = Д»). Следовательно, данная функциа периодическая. Ьггддс: доказано. 64а) Так как функция синус перноднчная с периодом Т = 2л, та ! т 2к функция у = — вш- также периодичная с периодом — = —, — Зл. Ф ! 6746) Так как функция тенге~с периодичная с периодом Т = к, то Г к 2 функция у = 3(6 1,5» также периодичная с периодом = —, = — к. )!Э~ З)2 Э 2 ЩДД(! Тк. э 65а) Используя формулу двойного аргумента, Функцию у —.
! = з!и к сов х запишем в вице у= — мп 2х. Так как функция синус 2 1 нерноднчная с периодом Т = 2л, то функция у - — юп 2х также не- 2 Г 2» риодичнан с периодам —, = — — л. Яуует! я. ' Я й Огяезамг сесистза яаана 65г) Используя формулу для синуса суммы двух углов, функцию у= 3!и Зх сов х ь соя йхз(их запишем н виде: у = юп (Зх т х) = = юп4х. Так как функция синус периодичиая с периодом Т = Зк, то функция у =юп 4х также нериодичная с периодом— Я 4 2' ббг) На рисунке Збг приведена часть графика периодической Г г т1 функции р(х) с периодом Т цри х Е , '° !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
