kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Так как значения функции повторяются черса Т. то чтобы построить ее график на промеясутке ( — ),ЗТ; 2,5Т). один раз сдвинем приведенный график на Т влево вдоль оси абсцисс и два раза сдвинем приведенный график на Т вправо вдоль той же оси. В итоге полу ~им требуемый граФик Жвж2 см. график. 2з 2л 67а) Период Функции у=в(п Зх равен = = —,=и. Используя ф методы преобразования графиков, легко построить график функции у = 3!и Зх. Он получается из графина функции у = юп х сжатием в два раза вдоль оси абсцисс Жв(62 см. график. 68а) Ученик, конечно.
не прав. Он проверил, что выполняется з равенство Дх + Т)- ((х) только для одного значения х = †. хотя а оио должно выполняться при любом значении т. Для функции г(х) = а!и х найдем значение /(0) =в»пО = 0 и ((О + Т) = жп (О ь 2а 1! . 23 ъ»3 г — ~=а(п — = —.
Видно, что при х-0 равенство ДхтТ» »(х) 3 ~ 3 2 уже не выполняется. Вто возможно в двух случаях: или Функция 20 Глаее (. Т игаиалгт ицггииг м акции Ц(х) не периодическая изи функция Цх) периодическая, но неправичьио найден период Т. Функция Дх)- а1п х периодическан и ее аериод Т = 2к. Таким образом, ученик неверно иашед период Т. 07ППГ: не прав. бйг) Ученик не цраа. Он проверил выполнение рапенстеа Г(х е т Т) = Г(х) только для одного значения х = — 4, хотя ано должно выполняться при любом значении х. Цля функции )(х) = х т . х ', найдем, например, значение Г(5)- 5 т ! 5 ~ -5 т 5 —. 1О и значение /(5 т Т) = 65 + 3) — Т(8) — 8 т(8~-8 — 8= 16.
Видно, что при х —. 5 равенство Дх т Т) - )(т) уже не выполнаетсн. Это возможна в двух случаях: или функцнл )(х) не периодическая, или функция [(х) периодическая, на неправилыю найден период Т. В нашем случае функции Цх) = х е) х! не периодическаа. В зто» легко убедиться, построив граФик данной функции. Яудуд: не прав. 69а) Область опредсдения функции у(х) а!и х т с(й х — х зала- ю . ется условием з1п х м О (т.к, с(ух = = и делить на нуль нельзн), П т.е. хягл (где а Е г). Слсловательно, область апрелсления функции ()([) — симметричное иножсстео. Найдем значение функции у(-х) =.юп ( — х) с(6 ( — х) — ( †«) - -зш х — с(6 х ч х = -[юп х с(йх — х) = =-у(х).
Была учтена нечетнасть функций синус и котангенс. Так как н симметричных точках х и -х значения функции противоположны по знаку (т.е. у( — «) = — у(х)), та данная функции по определению нечетная. Охдсх; нечстнан функция. 69и) Область опрелеленин Функции у(х) = х" ьутх хзш х зна м лается услоаием соз х м 0 (т.к. !8х = и делить на нуль нельзя), т.е. х» — + лп (где л Е з). Следоаатсльно, область определения т функции ))(Д вЂ” симметричнао множество. Вайлем зпачание функции у( з)=( х) ! [ба[ —.т) ! ( — х) зш( — з)=.зл [ [йх)м !-[-з)( — язмх) — ' = «мт туз хм х з1п т = у(х).
Была учтена нечетность функций тангенс и синус. Так как в симметричных точках х и — х значения функции одинаковы (т.е. у( — х) = у[я)), та даинан функция по определению четная. ЯХППГ: четаан функния. мш.т 70а) Область определения функции у(х) = —, задастсн усло'-! вием хз — 1 м 0 [т.к. делить па нуль нельзя). т.е. х м 1. Следовательно, область опрелеления функции ()[() =( —: 1) О (1! ) не является симметричным множеством, т.е. точка х - -1 принадлежит области О(/), а симметричная точка х = 1 не принадлежит О(/). Слсдонательно, данная функция не имеет определенной четности. Щддс: не имеет опрелеленной четности.
2 Осясезис сеоаслыа нкчии З1 72а) Так как функции /(х) и д(х) — нечетные, то выполняютсн равенства: /(-х) = -/(х) и д( — х) = -д(х). Для Функции !Дх) = /(х) - ° +д(х) найдем значение Ь( — х) /(-х) — д(-э) — Дх) — д(х)- — (/(х)+ + д(х)) = — 6(х). Видно, что выполняется равенство Л( —.т) = - Ь(х). Следовательно, Функция Ь(х) по определению нечстнан.
0тдш: нечетная Функция. 72г) Тзк как Функции /(х)и д(х) — нечетные Функции, то выполняются равенства: /( —.т)=-Дх) и д(-х) -д(х). Для функции Ь(х) =/(х].д(х) найдем значение Ь(-х] =/( — х) ° д(-х) — ( —,г(х)) х к ! — д(х)) .= /(х) д(х) - Ь(х). Внпна. что выполняется равенство Ь(-х) = — Ь(х). Следовательно, функция Ь(х) по определению четная. ьцвцт: <стяни функция.
73в) Используя формулу для разности квадратов, запишем функцию д = зш' х — сов' х в виде д = (юиз х )з — (совах)з = (з!пт х -!- соИх) (з!п«х — совах) = з!из х — со*«х = -(совах — з!гдх) = — соз 2х. 2« Функции д = -соя 2т периодичная с периодом Т= — = к. 2 Отаву: Л. 73г) Использун Формулу длн квадрата суммы чисел, осноннос тригонометрическое тождество и формулу двойного аргумента, запн]з «] т .
« шсм Функнию д= (3!и — +сов-~ в виде д 3!и — +2з!и-соя- 2 2~ 2 т .гсов — = ~в!п — + сов — ! 2мп — соз- = 1 + в!и х. Оченндно. что г з/ т 2 период функции д= 1+ я!их ранен 2з. Стает: 2к, 73) Так как функция Дх)периодическая с периодом Т,то выполнястс» равенство /(х е Т) — /[х!. Рассмотрим зиа юнит Функшш д(х) = Ь/(х)+Ь в точке хе Т. Имеем: д(х+ Т) = Ь/(«+ Т) Ь= д/(х) ' + Ь ='д(х). Так как длл любого значении х выполняетгя равенство д(х т Т) - д(х), то функцн» д(х) периодическая с периодом Т.
Жасх: доказано. 76а) Если число Т яиляется периодом функции д(х), то длн любого значения х должно выаолняться равенство д(х Т) д(х). Для Функции д(х) = х« — 3 и числа Т = 2 проверим выполнение этого равенства. Получаем: д(хе 2) —.(х «2)з — 3-хз 4х 4-3— .— хзт 4х 1. Прирввняем значения Функций д(хт 2) и д!х]. Инеем: «т ь 4«+ 1 =хе — 3, откул» х —. -1. Тякии обратом равенство д(х е Т! = д(х] выполняется только при одном еднигтненном значении х = — 1 (в не при всех х].
Слслонвтельно. число 2 нс янляотсн периодом Функции д(х) = ха — 3. Заметим, что данная функция не явлнется периодической. 0тлцсг доказано. 22 Г аии Л Т игпипиет ические гики 766) Коли числа Т являетсн периодом функции у(х), то длн лю. бого значения х должно выполняться равенстна у(х е Т) = 7(х). Для Функции у(х) = соз х и числа Т - 2 проверим выполнение этого равенства.
Найдем у(х+ 2) = сов (х ь 2) и приравнясм зто значение величине у(х). Получаем: сов(хе 2) = сов х. Очевидно, что при всех х такое равенство не выполняется. Например, при х = О сов(0 ь 2) и совр илн соя 2» 1. Следовательно. число 2 не является периодом функции у(х) = сгмх. Заметим, что данная Функция периодическая, но ее период Т = 2я. ьцнсу: доказана. 77а) Обсудим рис. 48а учебника. Из графика видно, что функция р(х) возрастает на промежутках [-7; — 5[ и [1; 5[ и убывает на промежутках [ — 5," Ц и [5; 7). Точки максимума т, „„- — 5 и х„= 5, точка минимума х,„и, = 1.
Зкстрсмумы функции*у,„= р( — 5) = 5, у„= р(5) = 3 и у„и„= у(1) = — 3. Щщтс см. решение. 78а) По условию задачи график можно построить неоднозначно. Принедем одна из возможных вариантов графика функ- ции. Ответ: см. график. 706) Условия задачи опре- делают функцию пе однозначно. Поэтому приведем один из возможных вариантов графика функции. ахабу: см. график. 80а) Так как функция Дх)— четная. то се график симметричен относительно оси ординат. Уело. вия задачи определяют функцию не однозначно. Поэтому приведем один из возможных вариантов графика. Щнптс см.
график. 2. Огчсээмг гэолспэа я чии 81) Из области ап!юдсления Я функции у - йх+ й рассмотрич точки х, и хз (пусть для определенности х > х,). Найдем разность у(х,) — у(х,) = (йх. Ы вЂ” (йх ь Ы= й(х — х,). Так как«э>.г„то величина х — х > О. Следовательно. знак разности у(хс) — у(х,) определяегся величиной й. Если й > О. то р(х ) — у(х,) > О или у(х, ) > у(х,), т.е.
большему значению х соответствует Облысев значение функции у(х ). Поэтому в этом случае Функция р(х) возрастает. Егли й . О, то у(х ) — у(х,) < О или у(х,) < у(х,), т.е. бблыпему значению аргумента х соответствует меныпсс значение функции у(х.). Поэтому в этом случае функции у(х) убывает. 02вцт: доказано. 83а) Данную функцию у = — «г.ь 6« — 3 запишем в виде у.— 1— — (х — 3)з. График этой функции получается смещением графика функции у=-хе на три единицы вправо вдоль оси абсцисс и на одну единицу вверх вдоль оси орлинат. Тогда поннтно, что функция воарастает па промежутке ( —: 3) и убывает па промежутке (3; ). При этом х= 3 — точка максимума.
Максимум функции у„,„,= = у(З) 1 — (3 — З)2 = 1. Докажем, например, что функция вотрастаег на промежутке (-; Зф Пусть х,, х принадлелсат этому промсжутк) и «2>»,. Падлам Разность Р(хг)-У(х,) = (-«, + 6«г — 8) + Ох, — 3) =хэ — «г+ 6» — бх, = — (хг — хэ) т б(хэ — х,)- -(х - х,) к х(х. +х,) б(хг — «,)=.(«2 — х,)(6 — хэ — «,). Определим знак этого произведения. Величина х„— «, > О, т.к. хэ> х . Так как точки х, и и .гз принадлежат промежутку ( —; 3), то х, < 3 и х < 3. Поэтому х, е х < б и величина 6 — х,— т, > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
