kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 9
Текст из файла (страница 9)
При зтам знвк неравенства сохраняет- и е т е ся. Имеем: — — 2 < — 2 < — .2 или — — <х < †. Теперь из найз г е 3 3 ' денного решения выберем значения х, принадлежешие промсжут- и ку ~- —; 01. Из дивгрзммы видно, что такими знвчениями явлнютсн х Е ~ — —; О~. ЯХщт: ~--: О~. 166а) При решении уравнения 2сазгх з!пх р! — О найдем связь между величинвми соз х к зш х, используя основное триюнометрическое тождестно: созгх-1 - ып х. Получаем уравнение: 2 (1 — з)в«т) е зш х + 1 - О или О - 2яп«х — йп х -! . Введем новую неизвестную ! —.з!их. Имеем квздрзтнсю урзвисние 0=-24«- ! — 1, ! корил которою г, 1 н г,= — —.
Вернемся к старой неизвестной х. е Палучзем урявнения: ып х = 1 (его решения х = —, 2хл. где л Е г) решении х.—. (-1)езгсзш ~ — — 1 ° - к(с =- (-1)е ° ) т ! И япх- — — (его 4- хй = ( — 1)»' ' л е е ()тшы х = — „4- кд. где й Е г). 2кл! х ( — 1)е' — г кб. где л, й Е г. 167а) Для решения урвнненин З(бгх ь 2(6 х — 1 - О введем новую неизвестную Г=.(бх и получим квадратное урввнение 3!«. 2!в 1 — 1 - О, корни которого г, = - 1 н !.
= †. Вернсмая к старой неизвестной х. Имеем урввнеиин: гбх — — 1 (его решения х.= агс(6( — 1)+ е ! 1 +ля = — — + ил, где л Е г) и гдх= —, (его решения х= згс(6 — + кд. 4 3 3 ! где й Е г). Отзвг: х = — — -~- хл. х = вгс(6 — + хй, где л. Д Е г. 4 3 1646) Для решения урввисния Зяв«х-5Яп х — 2 = О введем новую неизвестную ! = яп х. Получаем квадратное уравнение ЗП— ! — б( — 2 =0, корни каторога г = - — и !. = 2. Вернемся к стярой нс- 4 З ! известной х.
Имеем уравнении: ып х = — — (его решения х- (-.1)и» з » вгш!и ~- — ! .! хл =- ( — 1)но агсып — ' кл, где л Е «) и в!п т = 2 (рсз) 4 псений не ижет, т.к. функция япх ограничена, т.е. !3!и х(< 1). ФВПГ: (-1)"' вгсвш — -р пл. где л Е г. ! з 3. Решение иг июнснанг инагних имании и на нангши 1676) Для решения уравнения 132-2сзбх ' 1 =0 учтем, что 1 2 сзбх- —. Получаем ураинениег )бх — — + 1 -О или 162х+ 12» 12 х 4- (бх — 2- О. Введем новую неизвестную 1 = (йх и получим квадратное уравнение И 1- 1 — 2 = О, корни которого 1, = 1 и 1, = — 2. Вернемся к старой неизвестной х.
Имеем уравиеини1 13 х = 1 (его ре- шенин х - агсгб 1 + хл = — + лп. где л е 2) и 16 х = -2 (его решения 4 х = агс13 (-2) -1- кй = -агс16 2 + лй, где й Е 2). и Яржт: — -ьпа, — агч!62+ай, где л, де 2. 4 166а) При решении уравнения 2 созгх+ т/3 сов х = О разложим его левую часть на множители соз х(2сов х +,~З) - О. Так как лронаведение двух множителей равно нулю, то хоти бы один из них равен нулю. Имеем уравнения: соз х = О (его решения х - — -ь лл где л Е 2) и 2сов х+ чЗ = О (т.е. сов х = . - — и его решении 42 ьн х=-аагссгм ~ 1 ) 1-2лй= — — +2лй, где 2Е2).
з н зн ьйш21 — +юг. — — 4.2лй, где л, й Е 2. 2 З 169а) Для решения однородного уравнения Зыпз т т в!и х х нож х = 2соззх учтем, что сов хи О. Проверим зто. Если сшх = О, то подставим зту величину з лаиное уравнение: Зюптх 1 а!и х ° О— = 2 ° Оз или Змпзх — О, откуда аш х - О. Очевидно, что не существует такого значении х, длл которого и соз х = О и з!в х = О. Так «ак имхнО, то разделим все члены данного уравнения иа сов-х. !!олунз г ин янн 04 , н чаем уравнение: 3 —,+ з н2 —., илн 3131х Ь(бх.=2.
сиз" ни иш Введем новую неизвестную 1 и получим квадратное уравнение 2 311 1.=2 ИЛИ 3121.1 — 2 О, КОРНИ КстсрОГО 1 — — 1 И!а= —. Вср- 1 з' немея к неизвестной х. Имеем уравнения: 162 = — 1 (его решении и х агс13(-1)-алл — — + ил. где пЕ 2) и (6х= — (его реигсння 4 3 2=агсгб= «-лй. где йЕг). з н 2 Яхв221 — — япг агс(6- 4- лй, где и, й е з. 4 3 зо Гхиии !. Т иеоиилет ииеские иииии 170а) При решении уравнения 4в(пвх-в(п 2х-3 используем формулу для синуса двойного угла н основное тригонометрическое тождества. Имеем уравнение: 4з!изх — 25(п х сов х = 3(япзх+ + совзх) илн 4вшвх — 2зш х сов х-Зв(пвх+ Зсовзх или юпзх— — 2вш «сов х — Зевав х - О.
Проверим, что значение сш х — 0 не явлвсгсв решением этого уравнения. При подстановке в данное уравнение получаем: и!пзх — 2*!их.Π— 3 ° От= 0 или япвх= О, откуда яп х - О. Очевидно, что не сущсствуег величины х. для которой одновременна и з!п х = О и сов х = О. Разделим все члены уравнения на Ив г вюгссвг ии е соетх и получим: —., — 2, -3 —,=0 или (Ззх — 2(бх— сев е юв с .с - 3 = О. Ввелем новую неизвестную ! = (3 х и получим квадратное уравнение гт — 25 — 3 = О, карин которого г, = -1 и ! 3. Вернемся к сгарай неизвестной х.
Имеем уравнения: (Зх — 1 (его решениа х= агс!3( — 1)+ ля = — — + ли, где л Е х) и (Зх-3 (решения х = А - агс(3 3 + кй, где й Е г). Ядвдх: — -" + КЛ; аге(3 3+ кй, где л, й Е з. 1700) Для решения уравнения соз 2х 2сав х — ! запишем ега в виде (1+ соз 2х) — 2соа х = 0 и используем формулу половинного аргумента: 2совзх — 2созх = О. Разделим все члены уравнения на число 2 и разложим его левую часть нн множители: сов х (сов хв — 1) — О.
Произведение множителей равна нулю. если хотя бы один из ннх равен нулю. Получаем уравнения: савв = 0 (его решения и х = — + ки, где л е х) н ьов х — 1 = 0 (т.е. сов х - 1 и его решения 2 х = Зхй, где й Е з). ш.шУ: — еко: Зхй, где л, йЕз. 2 171а) Для решения уравнения 2япзх = /3 аш 2х используем формулу для синуса лвойного аргумента: 2япт х -,(3 2вш х соа х.
Перенесем все члены в левую часть уравнения и разложим ее на мяожители: 2з)п х (ввп х — в(3 сов х) -: Произведение множителей рвано нулю. если хотя бы один из нил аанен нулю. Получаем два уравнения. а) яп х = О, егэ решения х = ял, где л Е в. б) япх-,/3 савв-О. Разделим все члены этого однородного уравнения нв сов х (легко проверить, что сов хи О): (Зх — (3 =-0 нли (3 х = в(4, его Решениа х = Яс(3 в(3 -г гй = — е хй, где й Е х. з !Оме; кя; — т лй, где л, й е г.
3 3. Решение и игохехгт чесхнх некиа и не хсэ!е ! I !! ! и 13х -- (решениях агс)К(--) +кй — агс13- лй, где йЕх). з з х 1 Пгща1 — 4- кп! -агс(3- т кй. где л. й Е з. 4 д 1726) Для Решения уравнения вш — — соз -=- разлолсим сто лс4х хх ! 4 4 2 зую часть на множители и испозьзуем формулу для косинуса двойного аргумента и основное тригонометрическое тождество. Получа- зх эхЧ .
гх зх) ! ем: (з!и — 4 сов - н в!п — — сов -~ = — илн 4 4)(, 4 4~ 2 2х 2х 1 в!и — — сов 4 4 г — = + агссов! — — ) + 2~ соэ- = -- . Решения этого уравнения х 1 2 2 + 2кл = + — т 2лл (где л Е г). тогда х = а — + 4кл. 2» 4х з з 4х 92222! х = а — + 4кл, где л Е з. 3 173а) При решении уравнения э!п4х+ в!п!2х = О используем формулу для синуса двойного аргумента и разложим левую часть на множители: 2в1п 2х сов 2х -. в!п22х = О или в!и 2х(2сов 2х т + юп 2х)- О.
Так как произведение двух множителей равно нулю. то хотя бы один нз иих равен нулю. Получаем два уравнения. г. в) в!и 2х = О, его решекия 2х = кл (где л Е 2), откуда х =- — ' л. 2 б) 2сов2хч-з!п2х О. Разделим все члены этого однородного уравнения на сов 22 (проверьте. что соз 2хнО) и получим: 2 т + (й 2х = О или (й 2х =-2. Решения этого уравнения 2х = агс)3 (-2)+ 1 х 4- яй = — агс!3 2 + кй (где й Е 2), откуда х =. — — агс13 2 + — й. 2 2 х ! х Птяатт — л; --юс(32+ — й. гДе л. йЕ 2. 2 2 2 172а) При решении уравнения з!п 2х + 2сов 2х = 1 используем формулы для синуса и косинуса двойного аргумента и основное тригонометрическое тождество. Получаем: 2з!и х сов х 4- 2(сов! хв — юпзх) =з!пзх+ с!изх нли О = Зв1пзх — 2зш х сов х — созэх. Разде!им все члены этого однородного уравнения на созэх (проверьте, что сов хэб)1 О= 313!к — 213 х — 1.
Введем новую неизвестную ! = )б х и получим квадратное уравнение: О = 31! — 2! — 1, корни ко- 1 торого ! -1 и ! = — —. Вернемся к старой неизвестной х. Имеем ! 3 х уравнения! 13 х - 1 (его решения х - агс(3 1 + кл = — 4- !ш, где л Е г) 4 Гхака 1. Т и»онслет се»кис Е нкчии 2 173б) Для решения уравнения = 1 умножим обе его части на знаменатель дроби. Получаем: 3 = бьб х + 3 нли -б = б!б х, откуда !З.т = — 1.
Решения этого уревнсния т = агссб( — 1)-1-лл = = — -+!ш, где лЕх. Щюпт — — +кп, где л Ех. 4 4 174е) При решении уравнения соз бх — соз Зх 0 преобразуем Вк — Зк . Зк»2 сто левую часть в произведение» вЂ” 2юп е!и =0 или 2 2 юп ха)п 4т = О. Произведение множителей равна нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Получаем уравнения: *!их-О (его решения х =- яп, где н Е г) н з!и 4х = 0 (решения 4х = кй (где й Е 2).
с с откуда х=- — й). Легко видеть, что решения х- — й включают в 4 4 себя решения х — кн (прн й кратных 4, т.е. й = 4л). алвес» — й, где й Е х. 4 174б) Длн решения уравнении з!л 7х — з!и х =- сов 42 преобрззуТк-к тк к ем то левую честь в произвслсние: 2з|л — сое — = сов 4х 2 2 или 2юпЗх сов 4х= сов 4х. Перенесем ссс члены уравнения в левую часть и вновь разложим ее на множители: 2юл Зх сов 42- — сов 42-0 нли сов 42(2юп Зх-1)-О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
