kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 26
Текст из файла (страница 26)
логарифм определен только для положительных величин). Решим это неравенства: 1 > 3' или 3 > 3". Так как осн«панне степеней 3 больше единицы (показательная функция возрастающая), то показатели степеней связаны неравенством того же знака: 0> х или х Е ( —; 0). Щвдх: (; О). ?О. Покегетелгнел и лага вичгсхза нкеии 506в) Преобразуем денисе вырежевие, используя свойстве ло- гарифмов и формулу для разности кубов двух чисел. Имеем .„(л-л),,(ы?,а ъ)=,~(и-ы)((и)*,ы.
Уд (ГЯ="~(Г)'-(Ы(~= *(-)=- = 506в) Преобразуем дзияое выражение, используя свойстве логвРифмав: 13134-)-1бс534 !3(!34 с!34)=131 =0. О?лед: О. 507в) График фуякции д = 1ойз (х — 2) получеется из графика функции д= =!ОбВХ ЕГО СМЕЩЕЫИСМ Иа ДВЕ ЕДИИИЦЫ вправо вдоль аси абсцисс. Отм)22 см. график.
5076) Запишем функцию д = !од, х в !58 г виде д= — — '' = — — ь-= )одтх. Таким об)ж,1 -1 -' 2 разом, нада построить хорошо известный греФик д = )одех. Пуаед: см. грзфик. 5036) Преобразуем правую часть уравнения, используя свойстве логарифмовг )об, х = )ойел 35 — 2 )адкг 25 Г7 = )од 235— гг' 25 25 5 ? -1сб, г)25ч?! =!од„л —, --!адзл —, --!ой, г (25~(?) 25 ' (5 ) " ? =!абел —, — — )об,!- ! = 3.
Получили )од, х= 3, тогда по определе3 ! кию логариФмы х = ! — = — ° Охвехг (2? В 8 509з) Для решения уревиения 13х — 1 — х построим графики функций дг — -)йх и д,= — —. 1 — х. Видно, что граФики пересекаются в единственной точке (1; О). Поэтому корень дзикого урзвиеиия .г = 1. Отвсд; 1.
14Е 4 509в) Для решения уравнения !аб, х = х — 6 построим графики 1рункпий у, =!оу, х и у = х — 6. Видно, чта графики этих Функций пересекаются в единственной точке, абсцисса которой х - 5. Следовательно, корень данного уравнения х = 5. Я26471 5. 511а) Функция Д.т) = !оу, х убываюшая, т.к. основание логарифма меньше единицы. Поатому на промежутке 1=- = (1; 4) Функция принимает наибольшее значение на левой границе промежутка у„„„Д1) = !оу, 1-О. Наименьшее значение Функция принимает на правой границе пра.
мсжутка у„„„„= /(4) = !об, 4 - — 1 Ягдпу 0; — 1. 512в) При решении уравнения 2"= 10 учтем определение логарифма н получим х !абт10. ЯЗППГ: !оу 10. 5136) Для ре1пения уравнения !об„„х — 1 воспользуемся анрс- 1 делением логарифма х =- 0,4 ' = — =- 2,5. Яуеат1 2,5. а,4 514а» При решении уравнения !о64(2х — 4] - -2 используем пт определение логарифма. Имеем: 2х — 4 = —, или 2х -4 =4, откуда х-4.
Щщц: 4. 5146) Так как равны логарифмы величин )об„(хз 1 2х т 3) .= !об 6 па одному основанию, та равны и сами величины: ха+ 2х4 3 = 6 или хз+ 2х — 3 =0. Корни этого квадратного уравнения х,= 1 и х, — -3. Ягвцг: 11 — 3. 5156) Для решения уравнения 5' = 7 используем определение логарифма н получим хз = !оуь 7, тогда х = — 44г)оуь 7. Ьцдрт1 е /!о6,7. 5!6а) При решении неравенства 1оу т > 2 запишем ОДЗ: х ' 0 (т.к. логарифм определен только для положительных нечичин). Правую часть неравенства также представим в виде лагариб>ма по основанию 3: 2 !об Зт=!об 9.
Имеем неравенство !ой хь!обз9. Так вак основание логари41мов 3 больше единицы (логприфмичсская 117 ,( Пв Поко.гамшьмал к лога о .омчггкмл мякин функции возрастающая). то логарнфмируемыс величины связаны неравенством того же знака х > 9. С учетом ОДЗ получаеи решение неравенства х Е (9; ).
Яхв(01 (9: ). 516б) Дл» неравенства !обо х' -2 запишем ОДЗ: х>0 (т.к. логарифм определен только для положительных величин). Правую часть неравенства также представим в виде логарифма по основа- 1; з- 2 иию 0,51 -2 =. !обоо0,5 2=- !одоь~ — ! = !о3„14. Имеем неравенство !обо х > !обо 4. Так как основание логарифмов 0,5 меньше единицы (логарифмическая функция убывающая), то логарифмируемые величины связаны неравенством противополсвкного знака х < 4. С учетом ОДЗ получаем решение данного неравеистна х Е (О; 4). Щвп(: (О; 4). 5175) Запишем ОДЗ неравенства (об, (3 — 2х)>-1. ОДЗ залается з неравенством 3 — 2х > О, откуда х к —. Представим чисто — 1 в 2 виде -1 - !об, 3.
Получасы нераяенство !обг(3 — 2х) > !а313. Так 1 как основание логарифмов — меньше единицы (логарифмическая 3 функция убывающая), то аргументы логарифмов свнзаны неравенством противоположного анака: 3 — 2х 3, откуда О < 2х и х О. 3! С учетом ОДЗ получаем решение данного неравенства х Е, 0; -~. О 302; ~07-,'). 518в) Для уравнения 1об,х-2!о3„3 о (о3,5 выпишем ОДЗ1 а > О, а-г 1, х. О. Используя свойства логарифмон, преобразуем правую часть уравнения: )об„х = !об, 32 т !об, 5 =!о3„9 + !о3„5- !об,(9 5) .—. !о3„45. Так как равны логарифмы величин (по одинаковому основанию а), то равны и сами величины т = 45.
Учитывая ОДЗ запишем стает (принято записывать в порндке возрастания параметра а). ()ПВ)71 при аб ( —; 0]О(1! хбо. при еб (О; 1)()(1: ) х — 45. 5185) Дзн уравнения !3(т — 9) + (3(2х — 1) = 2 запишем ОДЗ, которая задается условиями х — 9 > 0 и 2х — 1 > О, откуда х' 9. Используя свойства логарифмов, получаем уравнение )3 ((х — 9) (2х— — 1Ц = 2- !3 100. Так как равны логарифмы величин, то равны и свми величины (х — 9)(2х — 1) - 100. Решим это уравнение: 2хз— — х — !Зх+9 100 или 2хг — 19» — 91 — -О. Корни уравнения х,з=- ыв Глава 4. Показательная и лога и ливввквл нкиии г227721 42 — —, т.е.
х = 13 и х = — —. 4 4 4 ' ' 2 2' В ОДЗ входит только решение х - 13. Яу)их: 13. 519а) Найдем ОДЗ уравнения — !об (х-4)+ — 1об (2х — П= 1 ! 2 2 2 - 1об,3, которая задаетса неравенствами х — 4 > 0 и 2х — 1 > О. откуда х > 4. Умиажнм обе части уравнения на 2 и используем свойства логарифмов. Получаем: 1об (х — 4)- 1об (2х — 1) 2!ой,б нли 1ой [(х — 4)(2х — 1)) = !ойг32, откуда [х — 4)(2х — 1) = 9. Решим пго уравнение: 2хз — х — бх + 4 = 9 или 2хт — 9х — 5 = О. Корни квадрат- 1 ного уравнения х = 5 и х.
= — —. В ОДЗ входит только решение 2 х= 5. Отмьт: 5. 520а) Уравнение !ойз4х+ !ойз Чгх — 1,5 = 0 запигпем в виде !обзях 4-0,5!обвх — 1,5 = О. Введем новую неизвестную 1= !об„х и получим квадратное уравнение: И+0.51 — 1,5 =0 или 2П+1 — 3 = з = О. Корни этою уравнения 1 = 1 и 1 = — †. Вернемся к старой не- 2 известной х.
Имеем уравнения: !о54х- 1 (откуда х-4 -4) и 3 1 !об х - - - (тогда х - 4 * = (2 ) ' = 2 = -~. Жж.'.: 4; —. 4 'к+у=у 521а) Преобразуем второе уравнение системы 1бхт1бд =1 Получаеиг !б (х ° д) = !б 10, откуда хд = 10. Тогда система имеет вид к+2=7 .
Из первого уравнения выразим у = 7 — х и подставим хд=)О . во второе уравнение: «(7 — х) =10 или 0-хг — 7хт 10. Корни этого квадратного уравнения х,= 2 (тогда д, = 7 — х = 5) и хо=5 (тогда д = 7 — х = 2). Итак, система нмсег два решения (21 5) и (5; 2). Щша:(21 5), (5; 2).
5216) Используя свойства логарифмов, преобразуем уравнения )!обг(х+ д) = 2 системы )! ! т 2 1, . ПолУчаем: ! 1об (х+д)=[об 4 )хну=16 1ойз(хд) = !обз 9+ !ойз 7 '" (!обз(хд) = !ойз(9 7) т+2 = 16 . Из первого уравнения выразим у=16 — х и подставим хд=бз во второе уравнение: х(16 — х]-63 нлн 0-хз — 1бх+ 63. Корни !О. Локоготелькол к лага и ликеекол кк ии зюго квадратного уравнения х = 7 (тогда у = 16 — х, = 9) и х = 9 (тогда у = 16 — х = 7).
Система имеет два решения (Т; 9) и (9; 7). Вувдт: (7; 9), (9; 7). 1 Ь 522а) Для решения уравнения !Нк4 1 !ак Ь = 1 введем но- 1 вую неизвестную р-1йх+1. Тогда уравнение имеет вид! + е Ь + =1 или у+4+бр=у(у-1-4) или О-уз — Зу — 4. Корни атого Е44 квадратного уравнения р, - -1 и у -4. Вернемся к старой неизвестной х. Получаем два уравнения. а) 16х+ 1 = — 1, откуда !Зх - -2 и по определению логарифма 1 «-10 2- —.
100 5) 16х+1 = 4, тогда 1Зх-3 и х-102-1000. Ягват: —; 1000. 1 100 ' 5226) Учтем, что логарифм частного равен разности логарифмов числителя и знаменателя. Преобразуем уравнение !062 — =- 10 13 !оз, а -1' к . Получаем: !од х — !ой 4= нли !ой„х— 2 2 =!Ох к-!Озв 1 !Ь !Ь - 2 = илн !062 х — 2 = . Введем новую нсизаестМз„к -3 — 1 !оа, к — 4 13 иу!о д= !ой х.
Имеем уравнение: у — 2 = — 4 или уг — 69+ 8= 15 или уз — бу — 7 =0. Корни зтогок вадратного уравнения у, = -1 и у - 7. Вернемся к старой неизвестной х. Получаем уравнения. 1 а) !ой х = — 1, откуда х = 2 ' = — (по определению логарифма). 2 2 б) 1062 х = 7, тогда х = 21.= 128. Яхйдг! —; 123. ! 2' 523а) Для уравнении 108 х.= !ой г-2-1- !ой, 3 запишем ОДЗ: о > О, а к 1 и х > О. В логарифмах перейдем к новому основанию о.
МЬ 2 !оз 3 !оа 2 !оа 3 Получаем! !ой„х = " т ' или 106„х =- —" + —" или ма. ' 2 )ой,» = 2!ой,2 — !05,3 или !ой„т=!ой 24 — 1о5„3 илн !ой,х=.105,—, 3 4 откуда х = —. з ()твйг! при об(- ! 0)О (1) решений нет! прн аб(0; 1) О(1; ) х= —. 3' 12О 5236) Для решения уравнения !о8„2- !об х — — 0 в лагариф1о22 1Вх 1 мах асрсйдем к основанию 2. Получаем: =" — — '+ — 0 или 1о2„!обо О С 1 1б т 1ос г 2 б — + — = О. Введем новую неизнсстную у = !об х н полуэ 1 чнм у(мюоенне1 — — — о — = 0 нли 6 — Зуз+ 7у = 0 нли 0 = Зуо — 7у .
6. г 2 б 2 Корни этого квадратного уравнения д,-3 и д, =- — —. Вернемся к старой неизвестной х. Получаем уравнении. а) !об« х = 3, откуда х = 22 — 8 (по определению логарифма). 2 1зг 6) !о х — — -, тогда х — 2 ' = —, = —, = — с2. з' ((2 2 181 й 2 524а) При решении уравнения !ойз(9 — 2') =- 3 -х используем 2" онределеиие логарифма: 9 - 2 = 22 или 9 — 2'= —,. Введем но- 2* з зую неизвестную у-2'>0 и получим уравнение: 9 — у- или з уз-9у 4 8 = 0. Корни этого квадратного уравнения у, =1 и у -8. Вернемся к старой неизвестной х.
Получаем уравнении. а) 2" = 1 нлн 2 - 2о, откуда х — О. 6) 2" = 8 нлн 2" — 22, тогда х - 3. ()22621 0; 3. 5246) для решения уравнениа !об. (25 'з — 1) = 2+ 1об (5 'з 1) ВвсдСМ НОВУЮ НЕИЗВЕСтНуЮ у — 5*'1 > 0 И ПОЛуЧНМ уразисиис !Обо (д.— — 1) = !оу 2 + 1о82(у+ 1) или !оу. (у — 1) — 1об.[4 (у+ 1Ц, откуда уз-1-4(уз 1) нли (у — П(у+ 1)-4(у+ 1). Так как д >О, то вели' чина у + 1 «О. разделим абе части уравнения на (у т 1) н получим у — 1 - 4, откуда д - 5. Вернемся к старой неизвестной х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
