kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Имеем уравнение 5 'э - 5, откуда хе 3 = 1 и х -2. ()22ут1 -2. 525а) ОДЗ неравенства !8 (2х — 3) > 13 (х + 1) определяется условиями 2х — 3 > 0 н х + 1 > О. Так как основание догаряфмав 10 больше единицы (логарифмическая функция возрастаюпгая), то логарифмнруеные величины связаны неравенством того жс знака 2х — 3 > х+ 1. С учетом этого неравенства понятно, что если х + 1 > О, то тем более 2х — 3 > О.
Поэтому данное логарифмическое неразсн(2х — 3> я+ 1 ство эквивалентно системе линейных неравенств: ,х+1>0 !х>4 илн ~, откуда х>4 или хб (4; ). Отднго (4; ). (х > — 1 121 !й Пска<итглыии к Лога и литгскак ккиии 5256) ОДЗ неравенства )обе!(2х — 4) > !об„з(х + 1) определяется условиями 2х — 4 > 0 н х + 1 > О. Твк как оснонание логлрифмов 0,3 меньше единицы (логврифмнчсскэ» функции убывающая), то логэрифмируемые величины свяэзны неравенством еротивоцолажного знаке 2х — 4 < х 4 1. С учетом этого иерявснствэ понятно.
что если 2т — 4 > О, то тем более т+ 1 > О. Поэтому данное логарифмическое неравенствО эквивалентно системе линейных нера- (2« — 4<«+1 («<5 всиств ! 4 0 или ~ 2, откуда 2 «<5 или х6 (2; 5). Жрат: (2; 5). 526в) Запишем ОДЗ неравенстве 1об„вх )ойк(3 — 2х), погорел 3 определяется условиями: х > 0 и 3 — 2х > О, откуда 0 < х 2 8 данном неравенстве в логариФме перейдем к основанию 2. Иие- 12, ! я,к ем: „>1об. (3-2«) млн — ' >!об. (3-2х) или О 1аз„э,в 1 -1 2 > !об х+ !об.,(З-2х) или !обк1 > !ойт(х(3 — 2«)).
Так кэк основание логарифмов 2 больше единицы (логарифмическая функция возрастающая), то логарифмируемые величины связаны неравенством того же !шяна: 1 > х (3 — 2х) или 2х! — Зх 1- 1 >О. Решение ! этого квздрвтного неравенства: х < — и х > 1. С учетам ОДЗ полу- 2 1 з наем решение данного неравенства: О < х < — и 1 < «< — или 2 2 х Е (О -'1ш~1; -']. 1~ [ 21 522а) Для решения неравенства 1обз х- 1об,х< 6 введем новую неизвестную у -1об х. Получяем кввдрвтнсм неравенство у!- -ряб или у! — р — 6< 0.
Решение этого неравенства — 2<у< 3. Вернемся к старой неизвестной х, числя ( — 2) и 3 представим в виде логарифмов с основанием 2. Получаем: -2< 1об х< 3 или !об, 2 !< ! " !об! х < !об 24 или 1об — < 1об х < !об 8. Так кэк основание лога- 24 рифмов 2 больше единицы (логарифмичееквя функция возрзстэющэн), то логарифмируемые величины связяны нерзненством того ! ) Г! же *паке: — < х < 8 или х 6 ~ —; 8].
Жми: ~ —; 8]. 4 !'! 528в) ОДЗ неравенства )об з)п-< — 1 определяется условием 2 2 вш- > 0 (логэрифмируемвя величине должна быть положитсль- 2 кой). Денное нерэвенство запишем в виде: !об. мп- < Рзб 2 ' или ! 2 ! Глээз 4. Локалюнгльяал и ле.а з лзчгслал нкчнн л 1 )об з!и — < 1об. — . Так как основание логарифмов 2 больше еднни. 2 Л 2 цы (логарифмическая функция возрастающая). то логарифмируе- 1 мыс величины связаны неравенством тога же знака! аш-< —.
2 2 Таким образом, данное неравенство свелось к тригонометрическо- 1 му неравенству О < 21л- < †. 2 2 Ддя решения этого неравенства зве- дем неизвестную 1- — и решим неравен- 2 1 ство О < а) а г < — с лОмогш ю трнгономет- г рического круга. На промежутке [О; 2л! неравенство выполняется кри О < г < — и 6 5з — <1<а.
Функция 51п( псриаднчна с 6 периодом 22. Учитывая периодичность. получаем решение нера- л 5х вснства: 2лп < г< — + 2хл и — + 2хл <1 < к+ 2лп, где и ел. Вер- 6 6 немея к старой неизвестной .т и получим двойные линейные иеранеиства 2кл « — — +2кл и — + 2лз « — к+ 2кп.
Все части 2 6 6 2 каждого неравенства умножим нз положительное число 2. При этом знаки неравенств сохраняются: 4кл < «< — + 4лп н —, + 3 2 + 4ля < х < 2л + 4лп. ЬМ~1 (4НЛ1 + — 4КЛ)! Ш ( — + 4ЛП; 22 + 4КЛ ~, ГДС Л Е 2. 2 ) (З 5286) Неравенство ) 3 — (об, т ) < 2 эквивалентно двойному неравенству — 2 < 3 — 1об х < 2.
Из всех частей неравенства вычтем число 3: -5 < — 1об х < — 1. Умножим все части на отрицательное число ( — 1). Прн этом знаки неравенства меняются на противоположныс 5 > !обгх > 1. Запишем неравенство в виде: !об 2 < !об,х < < 1О522 или !об 2<1об х<!об. 32. Так как основание логарифмов 2 больше единицы (логарифмическая функция нозрзстающая), то логарифмируемыс величины связаны неравенством того же знака: 2 <х<32 или.тЕ (2; 32).
!лхппг: (2; 32). 52йа) Используя определение логарифма, систему уравнений ° 2 ! 1об, (т + у) = 2 1об, (х+ у) = )об, - ! .,2 запишем в виде , откуда 1Оаз(х — Ч) = 2 1055(х - р) =!Обз 3' 10. Повелительнее и лого иеееиел ни ии шз ! 1 и+у=в . Для решения этой системы линейных уравнений снах-ун9 ! эг 41 чала сложим уравнения: 2х = — + 9 нли 2х= — (откуда х 9 9 9 ! ао = 4 — ), потом вычтем уравнения: у — [ — у) = — — 9 или 2у= —— 9 9 9 40 4 5 4) (откуда д=- — =-4-). Щаа21 )4 —; — 4-).
9 9 ( 9' 629г) Используя свойства логарифмов, преобразуем уравнения ~18(хг+ уг) = 1+ !313 системы ~ ( ) ( ) . Получаем ! 1д(х +у ) = !3104 !813 )!8(хг+ рг) = 18(10 ° 13) !3(и+у) н !8((х — у) 8, ()у(лед) = !6(йт — 8у) ' х" + у =130 . Из второго уравнения выразим д: у+ 8у = 8х — ж и+ у =8х- у' 7 откуда у= — х. Подставим эту величину э первое уравнение: 9 )2 (т 49 1за хг-~-! -х! - 130 илн хг-1- — тг = 130 илн — хг= 130, откуда (9 91 91 хг = 81 н х = — 9. Теперь найдем у = — х .— — 7.
Очевидно. что решение 9 х — -9 у = -7 не подходит, т.к. х+ у > О. Яхдет! (9; 7). 630а) Используя свойства степеней и логарифмов, преобразуем (Зе .9" = 81 уравнения системы г . Получаем: ~!8(х+ у) — !ух = 2!83 ! 3" Зг" = 3' (Зе'1 = 34 (у+ 2х= 4 (л+э) или (хее), откуда ~ (*+г) 9. Из !д = !63' 18 = !39 первого уравнения выразим у = 4 — 2х и подставим во второе урва(л е 4 - гл) кение: 9 или (4 — х)2= 9» или 16 — 8х + хг- 9х нли «!†17х + 16 = О.
Корни этого квадратного уравнения х = 1 н х = 16. Теперь, использун соотношение у - 4 - 2т, найдем: р =4— — 2.1 =2 ну =4 — 2.16= — 28. 2 ЖйИ1 (1: 2), (16; — 28). 151 г"лаев 4. Похагамгльлал и ого и лите кав лявон !0 =50 530б) Для решения системы г(1 1 2 ! ней (х + д) т б ггх — д) = — б пользуем свойства логарифмов. Обе части пермэго уравнения прологарифмируем по основанию 10. Получаем: )!510'М!" ")= 1250 )!5(х+ д) з !3(х — д) = 13107 — 195 1+ !5(х+ д) = 1550 19 (х+ д) + !5(х — д) = 15— ! 19(х+ д) = 1250 — 1510 !3(хе д)+ 15(х-д) = 1220 ье !б (х + д) = 15— 1О 19 (х + д) т !б (х — д) = 1б 20 (13(х з д) = 19 5 илн )! г ! г 1 20. ПОдстаа м первое уравнение О второег !б 5 з )б [х — д) 15 20, откуда !б (х - д) =!б 20 — !б 5 - 13 —- 20 5 ! !5(х+ д) = !55 1б!х+д) = !54 ' = !б 4.
Получили систему уравнений 531а) Для функции /(х) = 22 + 1 найдем производную /'(х) = - 2 > О. Повтому функция /(х) нозрастаюшая и. следовательно, иие- 7-1 ст обратную функцию. Из равенства д = 2х+ 1 найдем х.=— 7 Введем обычные обознвченияг аргумент функции обозначим буквой х и саму функцию — символом д(х). Таким обрезом, функция « — 1 д(х) — — — является обратной к функции /(х) - 22 е 1. Очевидно, 2 ()(д! = Е(д) = П- атватг д(х) =; )2(д) Е(д) = Д. 2 я+у=5 4. Сложим уравнения системы: 2х = 9, тогда х 4,5.
Вычх-9=4' 'тем уравнения системы: д — (-д) = 1 нли 2д — 1, откуда д — 0,5. Ятдатг (4.5; 0,5). 532в) Нзйдем производную функции Пх) =- —. Получаем: »»2 н 1)')*г2). ( »2)' 1 !»2)- .1 2 /'(.т) = , > О. Так кзк !» 2)" М 2)' ! +2)' производная положительная, то функция /(т) возрастает. Поэтому функция /(х) имеет обрвтную.
Найлем ее. Из равенства у =— »2 выразим х. Имеем: ух+ 2у-х или 2у= х — ху илн 22 = х(1-у). 2у откуда х = . Введем принятые обозначения: аргумент функ- ) — г ции обозначим буквой х и сэму функцию — символом у(х). Тз- 2 кии обрезом, функции у(х) = — является сбретной к функции 1 —. /(х) =, . Области определения и значений для функций /(х) и 2 у(х) меняются местзми) В(у) = Е(/) н Е(у) = ))(/). Поэтому для функции у(х): В(у)=( 11) О(1; ) и Е(у)=( —; — 2) О (-2; ).
2» ~: у(х)- —; В(у)-(: 1)О(1; ) и Е(у).— (-; -2) О(-2! 1 — » + ). 532г) Найдем производную функции /(х]= )х+1 =[хе!)'. Получаем: /'(х)= — [х+1) ' = >О. Тзк «зк производнзя 1 -', 1 2» ° 1 положительная, то Функция /(х) возрзстзег. Поэтому Функция /(х) имеет обратную. Найдем ее. Из равенстве у -Б ! 1 выразим х. Имеем: уз= »+ 1, откуда х = у» — 1. Введем принятые обозначения: вргумент функции обозначим буквой х и саму функцию — символом у(х).
таким образом, функция у(х).= .тг-1 является обратной к Функции /(х) = /х + 1 . Области определения и значений для функций /(т) н 5(х) меняются местами: /)(у) = Е(/) и Е(у) =- /)(/). Поэтому для функции у(х)) /)(у) =[О; ) и Е(а) =- [ — 1; ). Отед!: у(х) = х — 1) О(у) = [О; ), Е(у) [ — 1; ). 533п) Построим сн мла граФик Функции /(х) -2хз+ 1. Этот гра.
фик получается из графика функции у = 2х) его смещенном ия одну единицу вверх вдоль оси ординат. По свойству обратных Функций график сбрзтной функции у(х) симметричен граФику Функции /(х) Глава 4. Лакиэительиил и лог лигесиил ии ии относительно биссектрисы первого и третьего каорлинатных углов. Огщт: см. график. 533г) Построим сначала график функции г(х)=(х — 1) на промежутке хЕ[1; ). Па свойству обратных функций график обратной функции З(х) симметричен графику Функции г(х) относительно биссектрисы иервого координатного угла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
