kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Получаем! Усова д. Задачи но ясени ние дбг) Для преобразованнй используем формулы сокращенного 2 г умножения. Получаем: ~ — у~ ~'у — — тс(Чс -1) -() с1) (, 1)' (4с-1-~л 1)(/ -1-чс -!) х (4' 4 !)(,/ 1) сс 490) Прн преобразованиях используем формулм сокращенного (4» чь) — (зть),/. ЧЬ ЗгЬ,!Ь (чс сь зчь)(га с чь — 2сь) ~д деь ( чсс „сь (/а+ 4Ь)(4 — 4Ь) чса+ Чь ) 22ьгь (й "~Р- Ь) -. 4 Г.Л ~ (4 Гь)(Га - 4ь )1 дь ) 22Дь (" '~ - ~ - )('" й л ( 'а с ЧЬ)" 22Ь46 22Ь4Ь ЗЬ Щабх: — . ' вь' бба) ПР» «ресбразованнях применим формулы сокращенного умножения. Получаем: ( ': ° )(.: — )((.') — ) +2х' = (с -1)(с — 1)(ссс" с1) г г г +2х*= (х* — 1) +2х*=х — 2х) 4-1+2х*= сс-с с! = х+ 1.
Ьееезх: «+ 1. ббв) Используем формулы сокращенного умножения. Разложим чнслктелн н знаменатели дробей на множнтелк. Имеем: !?т у. Тамдесмванлма л ау заванал ла 2х" ь у' 2а" ь уа 3 2а" ь у' ~ув: Вр . ( ' - а'Ь)) †( Ьь - 2Ь) а(а' — Ь") а ' о ") (" - ЬЬИ." — -"') (а — Ь')(а" ° Ь") Ь г — о" + Ь".
— Ь' а а (Ы вЂ” Ь" ) '( - Ь') — «"Ь (а" М- ') 'а' -Ь') '(а' — Ь') ) оь ар 51б) Разложим знаменатель дроби на множители и используем формулы сокращенного умноженив. Получаем: а Яуваат х' ау*. б1а) Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. В числителе используем формулу для квалрвта разности чисел, в знаменателе сгруппируем члены и вынесем общие множители за скобки.
Получаем: (а) - 2 Ь' Ь ) 1 з ° — а Ь* — Ь зь Пз Гл«ва д. Задов« на ловя« сн»с бйз) В выражении сгрупеируем члены, вынесем эв скобки оба щий множитель. Также учтем. что )ба = —. Получаеис )йза— сова — в!пл и — 122 а в!ила — -зйл а — (в!ила + !йл а в1пл а) = 182 а — зевсах «» а с в1п"а ! х (1» — ", ) )йва — в!п а, - )йла — в!пва ° —, в а) вовс а сов а =сйла — 12'а=й. ьп~: О. в1пй сов 8 бйб) Раскроем скобки, учтем, что )й((- „и сьй () = —. Имеем: ' '()( + йй)+ '()(1+ йй)а ' '~~ +, (+ '()( — "' )« =~~ .в .в!' =~п.в- в! о .
~.-в к. ббб) Используем формулы приведения и нечетность функции синус (т.е. впв ( — а) = — в!п а). Получеемс яп(-а) 18(2 ) ова -в1па све» сова 1с(л -«) с1ва в1п(л + а) вм» сч» ова 12 -1 — 1 а 1 -1. Пуййгс — 1. бйг) Учтем формулы приведения и таблицу значений тригонометрических функций. Получаем: 12(22 «)в злом гбл сов гвл 12(л (л+а)) ° 1-ял(2в — йд)сов(л — — л) ые( «)ссай~~ "п(л вл)'1 ьл 2л сьг а сов — »п с се (л — а) сов — - 'в 1п — сов 2 л вл . 11л 18 9 18(2 ) ( 9Н 18) свеа«»18 ( яп 9 ) Пгйййл — 1.
ббп) Используем йвормулу длв тангенса суммы аргументов (8[а+(() = се«+ Мр и преобразуем левую часть равенства! 1- М«188 М«+1 ф («+б)-ве«-мй — ьуб ( " свб) 1еам(а+б) 12«+188 18» ° .— 1- Малей (18»+188)(1-(1-мосей)) 1 1 Р = (й(). се»(18» влй) \8« Глава 3. Задами иа ивето ииг Видно, что левая часть равна правой. Следовательно, равенство доказано. Огвсг: доказана. 56в) В левой части ~рнаедем выражение к обшему знаменателю, преобразуем прон*ведение сняусов в сумму и используем фор- 1 . 1 " 4яв!О ви ТО" мулы приведения. Получаем: — 4 юп 70'= в!в 10' яв!0 1 — 4 2(«и«(10'-70')) ™(!О'«10') 1 — 2оиаа' 2т«20' в!в!О' яо10' 1 — 2 ° 2+2«т(90'-10') 2яи!0 = 2. Видно, что леван часть ран~а я«10' 1О правой. Следовательно, равенство доказано. Огзйг! показано. 575) Преобразуем левую часть нераиенстна.
Для этого используем формулы прнвадення и в знаменателе дроби преобразуем произведение сннусов в су««яу функций. Получаем« -(3 и) . ° (З.и) + 2з!и-и (ш 4) (и «) г~ (!2 4 !г 4) (!г ! !г 4)! о в!"("-(з'-о)) . о гя!('1'-и) . и +221п — = +2а!и — = ' +2з!и=- г !( (ц Е) нов) г, (у и) г г ° 2«!и(га - 2)оя(З 2) . о . и и . о + 2юп — = 4з!и( — — -) + 22!п— в о в. и) . и !«!З и 1.
о = 4(з!и — сов — — соз-з!и — + 2в!и — = 4 — соз — — -э!и — (+ 3 2 3 2) 2 (2 2 2 2. и г г и +24!и — =2чЗ сов — < 203 (т к. функцнн соз — ограннчена, те. 2 2 2 и соз — 4 1). Пудзг: доказано. 2 57в) Преобразуем левую часть неравенства. Для этого используем формулу для разности квадратов чисел и йюрмулу для синуса двойного аргумента.
Получаем! (1 + вш !р + соз «р) (1 — з! п !р + соз ф) х «(1+в!пф — сазф)(зп«ф+омф — 1).— -((1+тяф)+ оп ф)((1 ! Ооаф)— — з!о ф) ((1 — соаф)+ з!н ф) ((1 — сов ф) — з«п ф)= -((1+ саз ф)' — а!» ф) х х((1 — о% 0)2 — 41пгф) = -(1 — 2созф+ сов ф — 3!и ф)(1 — 2с«мф «соз ф— — в!и ф) = — (а!и ф+ сов ф«2созф+ сов ф — в)п ф)(з!и ф+ сов ф— — 2соз ф + соз ф — ю!г' ф) — -(2омл ф + 2 сов !р) (2сов«ф — 2о.:м !0) = — 2сов ф х х(с«м!2«П2сов«рйвмф — \)=-зсовгф(амгф Ц. 4ом2ф(! 0«нгф), = 4соэ!«рюпз!з-(2а!п!гсов«з)-'=в!а!2041.
Видна, что неравенство выполнено, т.к, зш 2«рп 1. Огнем! доказано. 2. Тождественные «ое авония 1З1 58а) К данному выражению прибавим и вычтем 2совтав!пса. получаем: сова« -1- яп4 и- (соева + 2совтп виРа -1- яп4п) — 2совэа х )2 1 . 1 (2! 2 7 х виРа = (савв а + япв и)' - -(в!и 2а)э = 12 — — ° — = 1 — — = —. 2 2 )3) В 9 т Щвпт: в 58б) Данное выражение запишем через функции половинного « аргумента и разделим числитель и знаменатель дробя на сов —,. 2 Получаем: саа в! — — 2 ып' саве « - в!п": 2 1 — 2в!п' « 1 ип« ся и 2 е 4!а 2 53п сав вп! 2 2 2 о о )в!и — + ои— 2 2! ! 1- 1 и 1-Чт — 1 е 2 ! « 58в) Учтем, что 13 и = — и основное тригонометрическое яп«1 в!с' «1 1 — «и' 1 тождссгво. Получаем: яп и — = — или — = — или 2 а 2 е«4 нли 2 — 2созеа = сов а или О = 2созэи+ оси а — 2. Введем новую неизвестную ! = сов а н получим квадратное уравнение 0 = 2!24- ! — 2.
-1 '17 -1 — 4!т Корни этого уравнения 1= Корень 1= < — 1 не 4 4 -1+ Л~ Лт - ! с(тт -1 подходит, Итак, сов а = = . 07222: 4 4 4 59а) Используем свойство логарифмов н фориулы приведения. ПолУчаем: 13731'+13!32'+ ... +13(389'= !3(131" 132 ° ... 1389').= = 13(43 1' 13 2'.... ° 73 45' .... (б 88' 13 39') = !3 (тб 1'.
(3 2 ... 13 45' х х„, ° 43(90'-2') 13(90' — 1'))-!3(131 132' ° ... ° 1345' ° ....с(32'х хс(31)-!3((231' с(31) (432 с(32) ... (1344'.«4344).(345)= =!3И-1 -.«=131=0 П2392:о. 80а) В выражении 1бв!п32' 13сов Т !31340'.13 с)320 определим знак каждого множителя. Изобразив углы на тригонометрическом круге, видим, что 0< в!п 32', сову', 2340'< 1 и !бв!п32', 13 сов Т, !3 тб 40' < 0; с(3 20 > 1 и 13 «(32(у >О. Так как в проиэве- савв -вызД«из -вы 2) сава.-в!пб -- ' -)( -.' ) « .
«1! а, а! «« 2 вн! сав «4- сава 0 сас «(2 в! «12 сав «/2 сев а!'2 оси «/2 вн «72 с «!2 .«И Гении д. 3 дачи ни нивки ение денис входит три отрицательных и один положительный мновкитель. то пронзведеяие отрицательно. Пу~: меньше нуда. 2 61) Сначала выразим !32 — через сои х. Для втого используем 2 вЬЬ й (!— степени: 232 — = — -'- = 2 сив д (1+ севе)!Ч2 1 в свв.с вв Ь+с Ь+е — и то 264 . диалогично иай- 2 в+. 'в — вес+и зе и+Ь-с и Ьб — = . Теперь вычислим 2 Ьвс Ь с-а и+с †и+Ь-с Ьвс «ЬЬ+» и+Ь формулы понижения а Так как соа х -— Ьв с ви иве-Ь дем Ьб'- = 2 а +Ь+ ! 2»' 4 ! 2и+! з 2 2 2 апнц! 1. ж)а) Представим числа Зи"' и 4зво в виде чисел с одинаковой степенью: Звю- (34)™ - 81'ви и 4ки = (42)"'з = 64вю.
Так как 81 > 64, то 81!ив> 64вю, т.е 34~» 42!и. 02322! Звю>4ам 63б) Найдем данные числа! -)об — - — )об 5 ' = 1 и 7'"''= вз в !м,! = 7е-1. Видно, что даняые чисяа равны: -)об — - 7 ~' вз Я2222: !об — 7 и' ! ЬЬ 63а) Используя свойства логарифма, упростим первое число: )о522+)сбз 7- )обз(2 7)- )о3214. Второе число запишем в виде: )сбз (2 + 7) - )обз 9.
Так как 14 > 9 и основание логаРифма 3 больше единицы (логарифмическая функция возрастающая), то логарифмы зтих чисел связаны нерааенспюм того вке знака (обз 14 >!обв9, т.е. )обз2+ !обз 7 > !обз(2+ 7). Я2522: )обз 3+ )обв 7 > !об,(2+ 7). 64а) Используем свойства логарифмов и свойства степеней.
Получаем: 31' " "+35' "'= 31'.31 """"+(5*)" '"=(3')! (9') * " + +(52) 3.9-ии ч (5з) 3.(9! и ) ч 5 ! и 3,4-! + ЬР з, а з 3 4(5 ' ) = — +3 = — +4=4-. Я2522:4 —. 4 4 4 4 бба) Используем свойства степеней и основное логарифмическое тождество. Получаем: 49 !'и' +5=49'.49 'и' +5=49.(7 ) +5=49.7 м' 4-5= г.
Тсмдеетвенные и са .нмснн» !зз =49.(7' ' ) +5= 49 2 тб= — +5=12 — +5=17-ы1725. ие,аг г г сз ! ! 4 4 4 Ж~: 17,25. бба) Воспользуемся свойствами логарифмов. Получаем: !аз Игз !а(а ° га) !аые !агг" г!агг г!аге!аэ !аг'+гав !а4+!аэ !а(Е.З) !ахг Ответ; 2. 67а) Используем свойства логарифмов. Имеем: 1ойт(255 че' ~ =!оаз(25Ь с') = !о8,25+ !оа, Ь + !оа, с' = з г =2+3!оа,Ьт — !ойзс. ~ища: 2+3!оа,Ьт — 1оа,с. 4 68а) Преобразуем правую часть уравнения, используя свойства логарифмов: 1об„х = 2!обе 10+ — !оае 81 — — !обе 125 = 1обе 10 + !обе 81' е 4 3 +!о8,125 *=!о84100т!оае(3 ) т!ой,(йз) =!об4100+!оа43+ +!об,б =!о8,100+1оа,27+!оа,— =!оае(100 27 — !=!об~108.
-г гз Получили !оа х !об 108, откуда х 108. Яуайа: х=108. 70) Во всех логариФмах перейдем к новоиу основанию 10 и используем сэойспм логарифмов. Тогда получас»: !обз 2 ° !обе 3. !об 4 х !аг !аз 1ае !аз !ав )аг Ьмзет: 16 2 = 0,3010. 71) Найдем связь между числами !3 — 1 и т!3+1; /б+2 и тб ь2. Для этого избавимся от иррациональности в числителе. !а- )(ь"! ..;:...- нл ° г.л °- з+! Тз ! !а")!г- ) — - 2 ! тб — 2) '. Поэтому искомое выражение з — г за — г имеет вил: !оаг(тб -1) т1обг( Гб+ 2) = !оаз(2(тгЗ +1) ~+ е!обз! 2(~Гб -2) )=!оба 2+!обз(тГЗ+1) + 1обг 2+!обз( Гб — 2) = 1-!обг(т(3+1)+1- 1обз(т(6-2) = 2-(1обг(Я+1)+ !обз(тГ6 — 2)) = = 2 — А.
П2332: 2 — А. Глава 3. Задави ив яавмв ение с 72а) Рассмотрим равнобедренную трапецию АВСЕч АВ = ВС = =СО= «. Рассмстрии ЬАВЕ (ВЕ и зо' СР— высоты трапеции): ВЕ = А Л Г Р -АВ81пА -«в!п 30 - — «и АЕ- г »Гз - АВ соз А = х соз 30' = — х. Найдем нижнее основание трапеции: АВ=АЕ+ ЕР+РП= — х+« — — х = «+ /3 «= «(1 ьч«3 ). Пло»(зд (2 4 2 ЗС, АР»+ «[1+ [3) «(2+,'3]..» щадь трапеции: В- во+АР.ВВ 2 2 4 «'[2+ )3) «*[2 4з) 4 76а) Обсудим график функции, приведенный на рисунке 151,о, 1) Функ4!ия возрастает на промежутках [ — о; — 3] и [ — 2; 1.5), 2) Функция убыззег иа промежутках [-3; — 2] и [1«5! 6,5], 3) Точка максимума х = — 3 и Гв -Г(-3)-2,5; точка минимума х, -2 и [„в, г( — 2)-0,5.
4) Йам отрезке [-2; 2] наибольшее значение функции [„,„в= г(1,5) = 3,5 и наименьшее значение [„,„„= г( — 2) = 0.5. 5) Функция не является непрерывной в точке х - 1,5 и 4(1,5) = 3,5. 6) Функция непрерывна на промежутках [ — 5; 1,5) и (1,5; 6,5]. Щвйс! см. решение. » — 2 77а) Область определения Функции д — „задается ус- 2» — 8 ловием хг Ь 2х — 8 и 0 (т.к. делить ка нуль нельзя). Корни квадратного уравнения хл+2« — 8 =0 х = — 4 и х, — 2. Поэтому В(д)-(- -4) О (-4; 2) О (2; ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
