kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 29
Текст из файла (страница 29)
По условию ээдаг чи т(1) л, та = т. Поэтому имеем соотношение л = те "'. Прологарнфмируем обе части этого равенства по основанию е. Получаем! 1пл=!п(те «') или !пи !пеп+!пе «' или !пи=!пт — й! или !«2 емэ й! -!и т — !и л или — ! - !и э! — !п я. откуда Т- т !ит-и «Ы2 !ит — !ии Глава Ч. ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 5 1. Действительные числа 2) Трн последовательных натуральных числа можно записать в виде и, л+1, л+2. Тогда сумма этих чисел л+(л+ 1)+(л+ 2) = - Зл ч- 3 - 3(л + 1).
Видно, что это число делится на 3. т.е, сумма трех последовательных натуральных чисел делится на 3. Среди трех последовательных натуральных чисел (например, 26, 27, 28) всегда одно число кратно трем и одно (нли даа) кратно двум. Поэтому произведение этих чисел делится на 6 (т.к. 6-3 ° 2). ()2222: доказано. За) Если к числу 523 дописать цифры Х и У, то получится пятизначное число 523ХУ. Для делимости этого числа иа 3 и 5 используем признаки делимости на 3 и 5. Число делится на 5, если !вмледняя цифра числа У равна 0 или 5. Число делится на 3, если сумма цифр числа 5+ 2+ 3+ Х т У = 10+ Х + У делится на 3. Рассмотрим два случая.
а) Пусть У О, тогда сумма цифр числа 10+ Х+ У= 10+ -! Х + 0 - 10 - Х. Этв сумма делится ца 3, если Х - 2. 5, 8. Получаем три числа 52320, 52350, 52380. 6) Пусть У = 5, тогда сумма цифр чнш«а 10 + Х+ У = 10+ Х+ + 5- 15 + Х. Эта сумма делится на 3, если Х вЂ” О, 3, 6, 9. Получаем четыре числа! 52305. 52335. 52365. 52395. ЩаЕ! 52320. 52350, 52380. 52305, 52335, 52365. 52395. 5) Пусть первая циФра двузначного числа х, тогда вторая (по условию) — х+ 2. Запишем это число в десятичной системе: 10х-1- + (хо 2) = 11х+ 2. По условию это число 30 < 112+ 2 < 40. Вычтем из всех частей неравенства число 2 и получим: 28 < 11х < 38.
Разделим все части неравенства на положительное число 11. При 22 эа а э этом знак неравенспм сохраняется: — < х < — илн 2 — < х < 3 — . 11 11 11 1! Глава 5. Задаче ка эоемо ниг В этом промежутке есть только одно целое число .г = 3. Тогда искомое число 35. ЩвЮ1 35. 7) Докажем, что ~ а(=) — а(. Рассмотрим двв случая. а) Если а э О. то ~ о ( = о. Тогда число — а с 0 и ) -а ( = — (-0) = а. Получим (о(= ~ -о( 0. б) Если а < О, то (а ( = — а.
Тогда число — а > 0 и (-а ( = — а. Полу. чнм (а(=~-а(=-а. Итак, в обоих случаях выполнено равенство(а)-(-0(. )хтва21 доказано. ба) Найдем значение выражения 27511+33 25+3~ ~4$ ~ 35 12 2,5-0,4 ( 3)) 2,543 ° )5) 5 49 2~45 23 23 12 Я2302: 1 —. тэ 9а) В числителе дроби вынесем за скобки общий множитель 0,5.
В знаменателе используем формулу для квадрата суммы чи- 0,5~ - 0,5 0,5(0,5 -!) 0.5. (-0.5) 0,4 0,1 42 0,4.0,1 (0440Л) 0,5~ Ппьсхг — 1. 136) Чтобы записать число 0,(бб) в виде обыкновенной дроби, можно использовать два способа. а) Пусть х 0.(66) 0,66...
Так как в периоде содержатся две цифры. то найдем числа 100х= 100.0,6666... = 66,66.... Теперь определим разность: 100х — х 66,66... — 0,66... илн 99х =66, тог- 66 2 да х= — = —. 99 3 56 66 б] Представим данное число в виде 0.(66)... - — — +.... 109 1О СОО Видно. что число является суммой бесконечна убывающей геоивг- 66 рической прогрессии с первым членом Ь вЂ” п знаменателем 1ОО 1 Ь, )00 66 99 66 2 0 = †. Зта сумма Я = — ' 100 1-4 1 — 755 100 100 99 3 4 7 4 16а) Для сравнения чисел — и — найдем их рвзпссть: —— )62 161 7 4-7 -3 1 — = — > О, т.к.
числитель (-3) и знаменатель 16 — дро2 » 7 би — отрицательные числа. Поэтому — > — . 122 ЯТВ221 — > 1»1 !» 7 186) СРавиим числа (,/5 + 2) и т!177, т.е. Д+ 2 ч,ЯТ . Возведем в квадрат обе положительные части сравнения: 5+ 2,/5 х х 2+ 4 и 17 или 9+ 4 /5 т 17. Это сравнение можно записать в виде; 4,/5 и 17-9 нли 4о/5 Ч 8 илн /5 ч 2. Вновь возведем в квадрат обе положительные части сравнении» 5 ч 4.
Очевидно, что справедливо неравенство 5 > 4. Так как все операции обратимы, то о/5 +2> т,/17. ()2222: т(5 т2> ч /!7. 18в) Для сравнения чисел !об»7 и !ой 3 найден их разность: 1о» 3 1 1о» 7 - 1 1об, 7 — !ой 3-!сб 7 — — ' -!об 7- — = — 2 —. Определим » 1» 1»» 7 2 1о» 7 1»» 7 знак числителя: так как 3 < 7 < 9. то !об»3 < (об»7 < !об»9 или 1 < !обэ 7 . 2. Понтону и чисэитель н знаменатель дроби положительны.
Следовательно, !обэ 7 - !об 3 . О, т.е. !обз Т > )об 3. Ьнйнб !03 Т > !06 3. 19а) Для сравнении чисел запишем их в виде степеней с одинаковым основанием 31 15чи =(Зьч / 'ш=Зь» "" и 10 "»' = (3 '»' / = 3'»* ' '"' . Видно, что данные числа рваны. т.е. 15"»'' =10"»*' Пущу» 15"»'' = 10""". 196) Сравним данные числа, т.е. ~/2 + >/3 ч т/80 0- т73 нли ъ/2 + 2 ~/3 '1»/30 0.
Возведем в ивадрат обе положительные части сРавнениЯ: 2+Зт(2т2ГЗ+ 12 ч 30 или 14+ 4 /6 ч 30 или 4,/б ч 30 — 14 или 4 Гб т 16 илн,/6 и 4. Вновь возведем в квадрат обе положительные части сравнения» б ч 16. Очевилио, что выполнено неравенство б < 16.
Так как все операции обратимы, то справедливо и неравенство 72 + ~/3 -о/30 0— ~/3. П2222: «/2+ /3 <~/30 0— Л. 19в) Для сравненив чисел яп 2.1 и еш Т,98 найдем их разность н преобразуем се в произведение. Получаем: яп 2.1 — яп 7,98- »Л — 7,92 2Л о 7.92 2вш — '' сое — '' = 2ип (-2,94) сое 5,04 = -2яп 2.94 сов 5,04. 2 2 Учтем, что и 3,14. и определим знак выражекия. Очевидно, что 1аз Глава 5. Задачи ии ливио иие к эк < 2,94 < в (вторая четверть) м в1п 2,94 > О. Аналогично, 2 2 < 5,04 < 2я (чствертая четверть) н сов 5.04 ' О.
Поэтому произведение з!и 2,94 ° соз 5,04 > 0 и разность з!и 2,1 — гйп 7,98 < О, т.е. вш 2,1 <з!и 7,98. (~б(ц: в!и 2.1 < зш7.98. 20а) Упростим данное числовое выражение. Для этого избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, умножив чисинтель и знаменатель на ГЗ+еГ2. Получаем: 73 е 12 (~ГЗ 72)(к(3 - 72) (ЧЗ ' к/2) — 2ч(6 = — 2>(б =,, — 2~Г6 = Гз — 42 (~(3 — (2)(~(3 + Б) (к/3) (вез) 2 - йеГ6 = 5+ 2тб - об = 5. 3 — 2 В результате преобразований получили рационаиьное число 5, м вот: доказано.
206) Упростим данное числовое выражение. Для этого используем формулы сокращенного умножения. Получаем: ((2'1) -(1-,(2) -(67 -1)(77-1)ийвй(2+(э)-262в2- — (7 — 1) = 6 — б — — О. Имеем рациональное число О. ()2057: доказано. 1 22) Напомним, что 1'Х вЂ” — величины.
Пусть сначала выпуск 1ОО предприятии составлял х изделий. Потом выпуск возрос на 4% к к 26 (т.с. на — 4 = — изделий) и занод стал выпускать х Š— = — х 1ОО 25 25 25 2бк 52к изделий. Затем выпуск возрос на В (т.е.
на 8 = — из- 25.!СО 625 26 52 702 дслий) и завод стал выпускать — х + — х = — х изделий. За два 25 626 625 702 77 года выпуск продукции увеличился на — х — х = — х изделий, 625 625 (77 ) 77ОО что составляет ~ —: «1 ° 100 = — = 12,32"/ . Поэтому средний ( 625 ) 625 12,32 ежегодный прирост продукции за двухлетний период равен— 2 = 6,16'К .
Щвйте 6,16%. 24) Пусть перноначзльно овощи стоили х рублей. Патом цена к возросла на 25'/ (т.е, на — -25 = — рублей) и составила «.1. — = 1ОО Я в 5к = — рублей. Потом цену снизили на — рублей и она стала вновь 4 х равной х рублей. Теперь определим. сколько составляет — рублей 4 5 (г ьг! ст стоимости овощей — рублей. Получаем! ( —: — ~ 100 = 20%. 4 Итак, цену нада снизить на 20'У . 92362! 20%. 0.13 26 25в) Для пропорции — = — используем ее свойсию! 0,13 х з1 ! 10 13 16 13 х 3- = х 26 или 0,13 ° — = х 26 нли — — =х 26 илн 3 3 106 3 20 13 ! ! 1 = х ° 26, откуда х = = = — . ответ! — .
3626 ЗО 2 60 66 х — 2 6 26а) Для решения уравнения — = — используем свойство 2,5 пропорции: х(х — 2) =6.2.5 илн хт — 2х= 15 или хз — 2х-15-0. Корни этого квадратного уравнения х, — 3 и х, - 5. Ятвцт! — 3; 5. 27а) По условию задачи ЕР;(АС. По теореме В АЕ УС Фалеса — = —.
Так как АВ= 22,5 см. АВ ВС Е г !3 АЕ = 18 см, ВС = 15 см, то нслучаем: — = 22,5 гс — По свойству пропорции имеем: !5 !а !ь 18 ° 15 22,5 ° РС, откуда гС вЂ” =12 (см). Тогда ВР=ВС— 22,5 — РС-15-12=3(см). ()Твпт! 12сми 3 ем. оз) Используя формулу я-го члена арифметической прогрессии о„-а,+ Ы(я — 1), получаем: от= а, + Б!( няв 20 =2+6!(, откуда 1(-3. Теперь по формуле суммы и первых членов прогрессии ИЬ 6(з — 1) 2 2гв !6 Я„- ' .я находим Я = 20=610.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
