kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 30
Текст из файла (страница 30)
2 2 аист: 610. И)) По условию задачи первый член арифметической прогрессия а, -4 и шестой член а -40. Используя формулу ячо члена прогрессии а„= о, + й (л — 1), получасы 40 - 4 + 5!2, откуда !( = 7,2. Теперь найдем искомые четыре числа: ог-а,+Ы 4+ 7,2-11.2; аз ат ь Е = 11,2 + 7,2 = 184; а! = 63 6 г(- 184 + 72- 256 и зев = а!+ !( = 25 6+ 7 2 =-328. Отлет! 11,2; 184; 256; 32,8. 30) Используем свойство арифметической прогрессии 26„ = = о„+ 6„„(т.е.
любой удвоенный член прогрессии равен сумме с ним соседних). Проверим зто, найдя сумму первого н третьего чле- ! 1 пов! + = 1об!3+ (ой!12 =!обт(3 12)- (ой!36=- (об,бт= шо Глава 5. Задами на поэма иие г - 2!ой б - . Видим, что зта сумма равна удвоенному второму 2 1ш,г' члену. Псегону указанные числа являются тремя последовательными члснамн арифметической прогрессии.
()гйнг! доказано. 31) Запишем все нулевые члены прогрессии, используя формулу л-го члена а„= а, 4- 4( (л — 1). Так как сумма первого и пятого членов равна 26. то получаем уравнение: а, 4- (а, е Ы) = 26 или 2а, + 44( = 26 или а, + 25 13. Произведение нюрого и четвертого членов ршна 160. Поэтому имеем уравнение: (а, + 40 (о, .1- Ы) = 160.
Получаем систе(а, е 2И = 13 му уравнений ((с +д)(, 435) 160. Из первого уравнения выразим а,-13 — 24( н подставим во второе: (13 — 24(+ 4() (13 — 24(+ Зд) - 160 или (13 — 40(13 т 4()- 160 или 169 — 4(г= 160, откуда Иг-9 и 4(- ьЗ. Теперь найдем а, и сум- 2, 4 Эа му первых шести членов 84 = ' 6 = 3(2а, 4- 5И).
Рассмотрим два случая. а) !г 3, тогда о!=13 — 25=13 — 2.3=7 и 3 =3.(2 7+ 5 3)= - 3. 29 37. б) д = — 3, тогда а, 13 — 2И 13 — 2 ° ( — 3) = 19 и 34= 3 ° (2-19+ + 5 ( — 3))= 3 23=69. Охвгх: 87 или 69. 32) В данном выражении раскроем скобки и приведем подобные члены: (а — с)4+ (Ь вЂ” с)24- (Ь вЂ” И)г — (а — д)э= аз-2ас+ сг+ Ьг— — 25стсгьгг-2Ы+4(г — а!+ 2сд — Иг 2Ьг+2сг-2сс — 2Ьс — 255 Ь + гзг(. Так как числа а, Ь, с, Ы образуют геометрическую прогрессию, то Ь - ад, с - адг и д - адэ.
Подставим зти числа в полученное выражение! 2(ад)г + 2(одг)г — 2аадг — 2ш)ад! — 2ададэ + 2аадз = 2агдг + + 2агд4 — 2агдэ — 2а'дэ — 2агд4+ 2п'дз - О. яхвсх! О. ЗЗ) Используем свойство геометрической прогрессии Ь„г= Ььн ° Ь„„(т.к. кшщрат любого члена равен произведению членов соседних с ним). Найдем произведение первого и третьего числа: 4Г2+1 1 (~ )(~г ) (~ ) 2 2~Г24! э 2Г2 (2 — 1 2 (4(2 — 1)((2 1) - г (2 — !) 2 2 г преобразуем второе число. избавившись от иррациональности в ! 2 42 2 42 г 42 знаменателе! 2 г (2,)2)(2,„Г2) 4-2 г .
найдем квадрат (24,(2'! (24 (2) 4444Г2,2 4,442 2(з-г(2) этого числа: (— г ) г' 4 4 4 2-2'(2 = †. Видно, что дзя данных чисел выполнено свойство гео- 4 метрической прогрессии. Следовательно, зги числа образуют геометрическую прогрессию. (22!их: доказано. 24) Запишем денные чтены геометрической прогрессии, используя формулу л-го члена Ь„= Ь,д' '. Известно, что четвертый член больше второго на 24.
Получаем уравнение: Ь,дз — Ь,д = 24 или Ь,д (дз — 1) 24. Так кзк сумме второго м третьего члена резне 6, то имеем уравнение: Ь,д+Ь!дз-6 или Ьд((+д) =6. Получили (Ь,д(уз — 1) = 24 систему уравнений 1 35) Сначала найдем знаменатель геометрической прогрессии 5 12 д- = =4. Воспользуемся формулой л-го члена прогрессии 5, 3 Ь = Ь,д" !. Получаем уравнение: 3072 3 4 ' или 1024 - 4' ' нли 4 - 4 ', агкудв л — 1 - 5 и л - 6. Таким образом, протри:сия содержит 6 членов.
Пудах: б. Зб) Найдем первый член геометрической прогрессии, используя (!)' формулу л-го члена Ь„= Ь!д" !. Получаем уравнение: — = Ь!! — ) 1 1 1 нли — = Ь, —, откуда Ь = †. Для квхождения количестве членов 54 2! 2' прогрессии используем формулу для суммы л первык членов 8„= 5, (4' — !) гзг ! . (з) . Получаем уравнение: д-! 162 2 2 3 !21 (3) илн 31 2 3 Я=я — — и л - 5.
Следовательно, прогрессия содержит 5 членов. 2) (3) 454(4 - 1) 24 Разделим первое уравнение на второе! 5, ) з или д— 5,4!4+ ! — ! = 4, откуда д = 5. Подставим зто значение ва второе уравнение 1 ! системы: Ь ° 5(5+ 1)-6, откуда Ь - —. Таким обрезом, Ь - — н 1 5 ! 1 д-5. Пузат! Ь - —, д-5. 5 172 Глава 5.
Задаче ла вовто вве 37) Ланы мтыре числа а, Ь, с, 17. Твк кяк первые три составляют геометрическую прогрессию, то 6-ад и с адл. Последние три числа образуют арифметическую прогрессию, и выполняется свойство втой прогрессии: 2с = Ь + д. откуда д = 2с — Ь = 2адз — ад.
По условию сумма крайних чисел равна 14. а сумме средних 12. Налуча- (а т !2 = 14 )а 4 2ад~ — ад = 14 ем систему уравнений: ( . или 2 12 нли (Ь+ с = 12 (ад+ 7 =12 а(1+ 272- й) = 14 ,а(7+7~) 12 . Разделим первое уравнение нв второе: в(1 4 27 — д) 14 1 т 2д-"- д 7 в(д ° д) 12 д+! 6 = — или, = или б+ 127! — 07= 77+ 762 или з 572 — 137+ б О.
Корни этого квадратного уравнения д = 2 и 7 = —. Теперь найдем данные числа. Рассмотрим два отучая. 12 12 а) д = 2, тогда из второго уравнения а . =, = 2. Тед д 242 перь найдем остельные числа: Ь-ад= 2 ° 2-4, с=адз= 2 ° 22-8 и 5=2с — Ь-2 8 — 4=12. 3 12 !2 б) д = —. Из второго уравнения найдем а = —, = 5 ! !' 3 (зе) 12 26 = 12,5. Также найдем остальные числ»: Ь= ад = 12,5 х 12 2 х — = 7,5, с=аде=12,5 -) =4,5 и 4=йс-6= 2.4,5 — 7.5-1,5.
Щжг: 21 1; 8; 12 илн 12.5; 7,5; 4,5; 1.5. О., 2 38) Знаменатель геометрической прогрессии 7 =. —- 2(з "!2) 2(з '(з) з —,(з,Гз — — 1 =1— з - Гз (2.,Гз)(з-,(з) з- 3 3 з 7з ' Найдем сумму бесконечно убыввюп4ей геометрической прогрессии 8= — л-= ' =,Гз:-~= (3 "/З=8.
1-4 1 (1 У„) з 1 Ятреу: 7-1 — -1, Я 3. зд 39) Так кяк сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 10,5, то получаем уравнение: Ь,+Ь,7+6!72= 10,5 2. Толсдггтегнние л зоеэниа шз иви Ь, (1+ 7+ дэ) = 10,5. Сумма бесконечно убывающей геометриэ, ческой прогрессии равна 12. Имеем уравнение: ' =-12. Раздс- 1- т д(г+е ° е*)(1 — е) ~оь — или ь, 12 лим первое уравнение на второе 7 з 1 -уэ= —, откуда 7~- — и 7 = †. Из второго уравнении найдем э' В 2' Ь = 12 (1 — д) =- 1 2 ( 1 — -~ =.б. ! Пгуаг: ь -6,7= —.
1 1 40) Известно, что числа а, а", аг образукгг геометрическую прогрессию. Поэтому вышзлняется свойство такой прогрессии: квадрат любого члена равен произведению с ним соседних членов, т.е. (а")2 = а ° аг или аы ал'г, откуда 2л гл + р. Записанное сосо ношение — свойство арифметической прогрессии: удвоенный член прогрессии раасн сумме с ним соседних.
Поэтому числа т, л, р образуют арифметическую прогрессию. Зги числа являютсн логарифмами чисел о", а", аг. "ш = 1од„о", л = 1оу,а", р = Узучаг. Пулат: доказано. 5 2. Тождественные преобразования 41а) Сгруппирусм слагаемые и вынесем общие множители за скобки: азн Ьз+ 2а — 2Ь вЂ” 2аЬ =(от — 2аЬ+Ьз)+ (2а — 25) = (а — Ь) + + 2(а — Ь) = (а — Ь)(а — Ь + 2). Отщу:(а — Ь)(а — Ь + 2).
41б) Раскроем скобки, сгруппируем члены выражения и вынесем общие множители за скобки: х" +(у-1) х+у-затух- х+у= (хт — «) т (ух т у) = х(хз — 1) т у(х т 1) = х (х — 1) (х т 1) + у (х т 1) = -(хе 1)(х(х — 1)+ у) =(т ч 1)(тг — я+у). 01щт; (х + 1)(хз — х э у). 426) В данном выражении разложим квадратные трсхчлсны на множители, используя ()юрмулы сокращенного умножении: (аз+ 4л Э 3)(л)+ ба + 8) =(л + 4л Е 4-1)(лээ бл э 9-1).= ((л+ + 2)2 — 12) ((л э 3)2 — 12) — (л + 2 1- 1) (л + 2 — 1) (л 1 3 + 1) (я э 3 — 1) = =(л — З)(я + 1)(л+ 4)(я+ 2).—.
(л+ 1)(л т 2)(л Ь 3)(л+ 4). Среди четырех лсследоввтельных натураяьных чисел л + 1, л " 2, л + 3, л т 4 ооязательио олно число кратна 2, одно — кратно 3 и одно — кратно 4. Поэтому произведение таких чисел дсвится на 2 3 4 = 24. Например, среди четырех последовательных натуральных чисел 2о8, 29. 30, 31: число 28 кратно 4 (т.е. 28 = 4. 7), число 30 кратно 2 и 3 (т.е.
30-2 ° 3 ° 5). Поэтому число 28 ° 29 ° 30 ° 31 = 4 ° 7 ° 29 ° 2 х хЗ ° 5-31 = (4 ° 2.3) ° (Т ° 29 5 ° 31)-24 ° (7 ° 29.5 ° 31) кратно 24. ьэщю показано. 1!4 Глаза 5. Зада и ии иоана иис 43а) Разложим числитель и знаменатель лроби на мнолсители.
В числителе используем группировку членов, в знаменателе— а*!а' -а — 1 формулу для квадрата суммы чисел. Получаем: а ° 2 с! (а'+4*]-(а.с1) а (а+1)-(а 1) ( *!)(а — 1) (а 1)(а»1)(и-!) (441) (ос!) (а 1) (а 41) - а - 1. [)2322: а — 1. 44г) Разложим знаменатели дробен на множители и сложим их, приведя к общему знаменателю.
Получаем: )' г. ! )' (с — 3) 12с ( ссс гс с 2 с' 44 с 3 с с 54 + б ) 2 [(с» 1)(сс 2) г 2 2с 1 1 с' — бс З 12с ( с + 3 с 2 (с 4 2) с - 1) х (с+!)( 43) ( 42)(с 3)) 2 ( (с 1)(с 42)[4+3) с'46»+9 (с+3+гс'+с»асс!1 (с аз) (2с сбс с 4) (с!3) 2 ((с+1)(с+2)(с+3) ) 2 (с 1)(ссг)*[»43)*.2 4(с' гс+ 2) 2((с+ 1)(с с 2)) 2(с 1) [ 2) (с 1)(с 2) .2 (с+1)(с 2) (с-1)(с!2) Яхжтс 2. 4ба) В скобках данного выражения сначала вычтем первые дее дроби. приведя их к общему знаменателю.
Деление выражений заменим умножением на дробь, обратную делителю. Получаем: 1:,,( 3 2 1 1 41Г (3(2»су) — 2(2л — у) х 2*-у 2»+у 2»-бу) ' 4»'-у' ! [гх-у)[гх у) гх-бу) 4»с — у (б»азу — 4 2у ! ! 4» — у ! 2» с 5у 1 х )Х 4у 1 4х -ус 2» — 5у) 4ус 14» -у 2»-5У) 4Р-у: (2 +буЦ2 -бу)-(4 '-у*) 4 -у' 4 '-гбу*-4»'с ус х 4у" (2» - бу) 4у (4» — у')(2х — 5у) (2х — 5у) . 4ус 2.» — бу бу — 2» б 5у — 2 ' ' 46а) Чтобы избааиться от иррациональности а знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на (Л вЂ” )бб) — величину, сопряженную знаменателю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
