kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Уравнении, не авенстла. системы ненни а не ге«иста л «+1 и л к «л л (щит: (-+ ял 4-( — 1) — + — й; — 4-ил+ ( — 1) — — — й), где (А 12 2 4 12 2 л, й Е г. 5и вк Хм — -у к= — — у 2 а) ~ 2 или к, атнула сову = О (у = — + ял г ! х=2я-ял , где л Е г. 2 н 5к Хм — — у 5» х= — — у Хн — — у 2 2 б) или или 2л, отндла 1+2сову=й (сову — 1 у=й — +2яй' 3 5» 2к — — — 2яй 2 3 гл, где й Е г.
у = +- — + 2лй 3 л ) (5к 2» 2» щвс21 (2я-ял! -+ ял), ~ — + — -2яй; 2 — + Зяй), где л, й е г. 2 ) ( 2 3 3 (9ем = 729 191а) Систему уравнений ) „„1 запишем в виде (.,— - (.,= з (х 4 у = 3 (Х+умЗ 3 -«-1 За, атвуда (х д 1 О или ) у 1. Сложим и вычтем (вш к = сояхсовд 189г) Сложим уравнении системы ~ з .. и полусов х = 31пхв!пд чии: в!и я+совгх с<мхсову«.вшхв1пу или 1-сов(х — у), отиула х — у =2лл.
Выразим к =-у+ 2яа и подставим в первое уравнение« юпг (у + 2ял) - соз (д + 2ял) сов у или и!пг д = сачку или О= совку — мигу или О = еоз 2у. Решения этого уравнения 2у = — ! яй 2 и и к и и у — — + — й. Тогда х = у 1 2яп = — + — й + 2ял. А 2 4 2 .1» к л л ~: (-+ — й 42ялс — + — й), где л, й Е г. (4 4 4 2 5» х+у=— 190б) Из первого уравнении системы ~ '" выра- (в!и х т сов 2у = — 1 5» (5» зим к — — у и подставим во второе; в!л~ — — у~ 1- сов 22 - -1 или г сову+ 14-сов 2у= О или сов у+ 2совгу-О или соку(! 4-2совд) =О. Произведение множителей равно нулю, осли один из них раасн пулю. Получаем две системы уравнений.
21 о Глава д. Задачи на лавена ение зти линейные уравнения и получим: 2х-4 (тогда «-2) и 2у-2 (откуда у = 1). Ядссоу: (2; 1). !3'+ 3» = 28 191г) Из второго уравнения системы ~ 3 выразим (х — у = 3 х=.у+3 н подставим в первое: 3» »+ 3»= 28 или 3»(3»+ 1) = 28 нлн 3". 28 = 28 илн 3" - 1, откуда у - О. Тогда х — у+ 3 = 3. ()2)621 (3; 0). !2»» З»=17 1926) Для Решения системы уРавнений ~ с» с 5 запи- ~2" + 3»= 17 шем ее в виде ~ „„. Введем новые неизвестиыс г = 2" (ге! =17 н с = 3». Тогда система имеет вил !4 3 5. Из первого уравнения выразим г-17 — С и подставим во второе: 4(17 — С) — 31 5 или 68-4С вЂ” Зс-5 илн 63 = 7с, откуда с = 9.
Тогда »= 17-9 = 8. Вернемся к старым неизвестным х и у. Получаем систему уравне- )2 =3 )2 =2 (х = 3 "" ' ~З» -9 или ~З» =3'' Уд (у=2' ()Зх-)Зу=) 194а) При решении системы уравнений ~! г ! г введем (3 хе 3 д=5 новые нсизвсстныс г = !3 х и С = !3 у. Получаем систему уравнений г-1 =1 5. Из первого уравнения выразим г = с т 1 и подставим во г+1 =5 второе: [с+1)чт с»-5 или Пч-21 '-1+ И-5 или И+ с — 2-0. Корни стого квадратного уранвеиия с, 1 (тогда г, = с, + 1 = 2) и с»= -2 (тогда г = с. + 1 = -1).
Вернемся к старым неизвестны» х и у. Получаем две системы уравнений, (!3«= 2 ( =10»=100 а) ~! 1, откуда по определению логарифма ~ '(д=)О =10 х= 10 г =— ()З« = -2 100 ~д=)О- = — „' Пунш» Поо; 10), ~ —:— ' ~ЫО' са~' 4. У вменив. не авенства, системы авнгнии и не венств 217 1946) Используя свойства логарифмов, преобразуем уравнении 2» '-' 2' (!ойт(х + у ) = 5 системы ) .
ПалУчаю»: 3' + !ау у — 4 1»зи (2 !ой, х + !ойз у = 4 ' х»+у =32 )х +у =32 )хзтуг =32 второе ураннение системы на 2 н вычтем нз первого. Имеем: хз+у" =32 )х +ус-2ту= О ((х-у) =0 )х — у=О 2 х у 3 2 и ) 1 6 и л и 1 б и л и ) ну Из первого уравнения выразим у = х н подставим во второе: х 2= 16 или х»= 16. Учтем, что хи О, и найдем х= 4 (тогда у-4), ~: (4; 4).
1956) Преобразуем уравнения системы ! .31.3 )=15 )хт 32) ! ) у) О. ПолУчаем (! ) 1 уз) ) 2 2 Х»У=» илн ) 2 2 . Так как х — у а О, то разделим абе части егора(х — у ах — у го уравнения на выражение (х-у). Имеем систему уравнений х+у а5 . Из второго уравнения выразим у = 1 — х и подставим х+у=1 первое: х»+ (1 — х)1- 5 или х» — х — 2 = О. Корни этого кв»щрвт«ого уравнения х, = -1 (тогда у, 1 — х, - 2) и х - 2 (тогда у» = -1).
Очевидно, что решение (-1; 2) нс подходит, т.к. х — у < О. Таким образом, система имеет единственное решение (2; — 1). Яувед» (2: -1). 197) Пусть х (км/ч) — скорость автобуса по старому расписа- 123 вию. Тогда расстояние 325 км он проходит за время — '' часов. г По новому расиисанию скорость автобуса на 10 км/ч больше, т.е. 2+10 (км/ч). Тогда зта же расстояние он проходит за время 12е — часов. Па условию время движения по новому расписанию 1Е стала на 40 минут ( — часа) меньше. Поэтому получаем уравнение: 3 323 323 2 — = — — —. Умножим все члены иа выражение Зх(х+ 10). »1а 3 Имеем: 325 Эх=325 3(хе 10)-2х(х»-10! или 9752-975х+ 9750— — 222- 20х или хз+ 10х — 4375 = О. Корни этого квадратного уран. ыв Гласи д.
Зидэти яа лсетэ и г пения х, = 65 и х — — — 75 (не подходит). Тогда скорость автобуса по новому расписанию 65 4 10 = 75 (км/ч). ьчвдт: 75 км!ч. 200) Теплоходы движутся по псрпендику- А с лярпым направлениям. Пусть скорость одного х (км!ч), другого — х Ь 6 (км(ч) н А — место встречи теплоходов. 'Гогда эа 2 часа после встречи один теплоход прошел расстояние АВ = 2х, другой - — расв стояние АС = 2(х+ 6).
По условию расстояние между теплоходами ВС-60 (км). Для ЛАВС запишем теорему Пифагора; ВСУ.—. АВ2+ АС1 или 601- 4хэ+ 4(х + 6)2 или 900 = хз Р + хэ+ 12х+ 36 или 0 =. хэ+ бх — 432. Корни этого квадратного уравнения х, = 18 и х. - — 24 (не подходит). Тогда скорость другого теплохода 18+ б - 24 (км/ч). 02йех1 18 и 24 км7ч.
203) Пусть надо посадить А деревьев, первая бригада ежедневно сажала х деревьев, вторая — у деревьев. Так как лве бригады за 4 дня посадили все деревья, то имеем первое уравнение: 4х + А + 4у =А. Первая бригаде может посадить все деревьв за — дней, А пторая бригада — за — дней. Известно,что перван бригада затрау тит на нссадку деревьев на 6 дней меньше. Получаем второе урав- А А нение1 — = — 6. (4хе 4У= А Имеем систему уравнений ~~ — А 6 . Подставим первое х Р 4444д 4244у Р уравнение во второе: "— 6 или 4+ 4 — =4 — +4-6 х у Р д или О = 2 2 3.
Введем новую неизвестную с = и получим у Х У 1 уравнению 0= 21 — 2 — — 3 или 0 = 212-Зг — 2. Корни этого квад1 Х ратного уравнения 1 = 2 и 1 - — — (не подходит). Итак, = 2. отку- 1 2 2 ' д да х-2У. Подставим эту величину в верное уравнение: 4 ° 2у+ + 4у =А, откуда А - 12У. Тогда вторзя бригада может посадить всс А 122 деревья за — = — = 12 дней, а первая — на 6 дней быстрее, т.е. У У 12 — б = 6 дней. Яйдрх: 6 дней и 12 дней.
205) Пусть первый кусок латуни весит х (кг) и содержит 5 кг чистой меди. Тогда процентное содержание меди в этом куске 5 — ° 100. Второй кусок латуни весит 30 — х (кг) и содержит 4 кг чистой меди. Процентное содержание меди в этом куске . 100. зо-» Процентное содержание меди во втором куске на 15% больше, 400 500 50 чем в первом. Получаем уравнение:, = — + 15 или ЗΠ— »» зо-» 4ОЕ = — +3.
Умиожим все члены уравнения на выражение т(30 — х). » Имеем: 80х - 100(30 — х) + Зх(30 — х) нли 80х = 3000 — 100» + 90т— — Зхз или хз+ ЗОх — 1000 = О. Корни этого квадратного уравнениа .т, = 20 н х = — 50 (не подходит]. Теперь найдем щюцентное содер- 5 жанне меди в первом куске: — . 100 - 25'У . ьтвб24 25 "/ . ' 5О 208) Пусть э (м/с) — скорость поезда, 5 (м) — его длина. Так как поезд проходит мимо наблюдателя аа 7 с, то получаем первое уравнение: 5 = 7 ° о. Мимо платформы длиной 378 м поезд проезжает за 25 с. Имеем второе уравнение: 5+ 378 = 25 ° о. Получаем ]5=70 систему линейных УРавнений (/ +378 250.
Из втоРого Уравнения вычтем первое: 378= 180, откуда 0 = 21 (м/с). Из первого уравнения найдем длину поезда С = 7 21 = 147 (м). ()хдсх: 21 и/с, 147 м. 210) Пусть изготовлено х двигателей типа Л и у двигателей типа В. Тогда на двигатели А затрачено 2х (кг)меди, а на двигатели  — Зу (кг) меди. Так квк всего было израсходовано 130 кг меди, то получаем первое уравнение: 2х 4 Зу = 130.На двигатели А затрачено х (кг] свинца, а иа двигатели  — 2у (кг) свинца. Так как было израсходовано 80 кг свинца, то имеем второе уравнение: х+ 2у = 80. Получили систему двух линейных уравнений 2»+ Зу = 130 .
Из второго уравнения выразим х-80 — 2у и подставим в первое: 2(80 — 2у) + Зу.= 130 или 160 — 4у+ Зд =!30, отиуда у = 30. Тогда найдем х = 80 — 2д = 20. Охдсх4 20; ЗО. 211) Пусть сбтлм всего задании А (деталей). Для определенности будем считать, что изготавливаютсв детали.
Пусть ежедневно первый рабочий делает х (деталей). второй рабочий — у (деталей). За 12 дней рабочие сделают 12х + 12д деталей. Получаем первое уравнение: 12» + 12д =Л. Если половину задания делает первын Глава 3. Заде»и ие вовтэ ение А рабочий, то он затратит — лией. На вторую половину задания 2 А второй рабочий затратит, дней, Тогда задание будет выполкегу А А но за 25 дней.
Имеем второе уравнение: +, = 25. Получили 2х гу ~12» т 123 = А систему уравнений [ А е А — 25 . Подставим первое уравне- 2» 2у ние во второе: гг» е сгу Сг» + ггу + =25 или б+б-+6 — +6=25 у х 2 гу х у или б-+6 — — 13 = О. Введем новую переиенаую с = У . Тогда у у а уравнение имеет вид: 61+ — — 13 =О или 6П вЂ” 131+ 6 =0. Карпи с 3 2 этого квадратного уравнения Г = — и С =-. рассмотрим Лвв случая.
С 2 2 3 у 3 3 а) — = — нли у = — х. Подставим это соотношение в первое уравх 2 г 3 некие: 12х + 12- — х тА или ЗОх = А. Тогда первый рабочий сделает 2 А ЗО работу за — = — = 30 дней. Так как произволительность второю х 3 зо рабочею в — раза больше. то он сделает работу за .зс = 20 дней. у 2 2 б) — = — или у = — х. Подставим это соотношение в первое 3 з 2 уравнение: 12х+12 ° Г»=А или 20х.=А. Тогда первый рабочий 3 А гсх сдедает задание за — = — = 20 дней. Так кяк произволительность 2 второго рабочего составляет —, производительности первого, то он 3 20 затратит = ЗО дней. Яггспг; 20 и 30 дней. 215) Пусть дано лвузначнсе число 10х+ у (где х — цибсра десятков, у — цифра единиц). Так как сумма квадратов цифр равна 13, то получаем первое уравнение »с+уз=.
13. Если из данного числа 10х+ у вычесть 9, то получится число, зисисаннсс теми же цифрами в обратном порядке, т.е. 10у+.т. Имеем второе уравнениес 10»т — 9 = 10 + х. у у )»2+33 =13 Получили систему уравнений ) 9 нли х+у — = у+х хэл- 32= 13 . Подставим второе уравнение в первое; хэ-1х — 1)с 13 х — 1ту 331 б. П «»мгбнох. не ооб»нан. инте» а» н их н н»гненин или «3+ х»- 2х + 1 = 13 или х»- х — 6 - О.
Корни атого квадратного уравнения х,-3 и »3=-2 (ие подкопит). Тогда у=» — 1 = 2. Итак, данное число — 23. ()тбаг: 23. й 5. Производная, первообразная, интеграл и нх применения 218а) Пусть аргумент функции !(х) = 1-4х изменился на Лт и стал ранен х - хо+ Лх - 3 + Лх. Найдем изменение функции Л(=3(х) ((хн) 1-4 (3 Лх!-(1 — 4 ° 3)=1 — 12 — 4Л» — 1+12= — 4Л» б! Отношение приращения функции к приращению аргумента — = б» -43» = — = — 4 величина постоянная н не зависит от Лх. Тогда искал» мая производная равна ( — 4). Яхды: — 4.
220в) Испольауем правило нахождения производной для частного функций. Получаем: П()н,, ~(- 3 ) (х" — 3 ) [1 — 3 )-( -3»)(1 — 3 ) (3 — 3)(1 — 3») -(»'-3»)[-3) 3»г - б»" — 3» б»» 2»' -б» (1-3 )" [1 — 3 ) -нх' г Зх — 3 (1 — 3») -4» гз — 3 .(1 — 2 ) 2226) Функцию !(х) = т1 1т х +, запишем в виде Пх) = »Г г ! (2» — 1) ,» -з = (1 х !' г-(2х -1) . Используем правило нахождении производаой сложной Функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
