kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Имеем: П(х) = — ° (1+ х~) ' (1+ »~)— 4 -3 ° (2х — 1) .(2х — 1) = -(1+ »~) 2» — 3(2» — 1) 2 = — г ==— 3(([1+ ) б х б (2» — 1) 33(([! » х)' (3» — !) 219в) Используем правило нахождения производной от произведения функций. Получаем: )(х) -((х»т 5) (хз-2х+ 2))'-(х»т 5)'» х (хз — 2.т 1- 2) -!- (»г + 5) (х — 2» .1- 2)' - 2х (хз — 2х + 2) + (хг + 5) (Зхз— — 2) = 2»1 — 4тг+ 4х + 3»г — 2»3+ 15х» — 10 = 5»1 + 9х»+ 4» — 10.
()3330: 5хг+ 9х»+ 4х — 10. Гзьеа 5. Задачи иь яоьто ииг 2236) Сначвж найдем производную функции /(х) - 1,5в1п 2х— — 5юп х — х. Получаем: /'(х) = 1,5сов 2х ° 2 — бсов х — 1 Зсов 2х— — 5сов х — 1. Приравняем производную нулю. Имеем тригонометрическое уравнение Зссь 2х — 5соьх — 1-О.
Для решения уравнения используем формулу понижения степени 2соьзх= 1 ч сов 2х, откуда сов 22 = 2сгнзх — 1. Тогда уравнение имеет вид: З(2совзх— — П вЂ” 5совх-1 =0 или бсоьзх-5совх-4 = О. Введем новую неизвестную 1 = сов х и подучим квапратнос уравнение 612 — 51 — 4 = О, 1 1 корни которого 1 = — — н 1 = — (не подходит, т.к. соя х< 1).
Вер- 1 2 1 3 1 немея к старой неизвестной х. Инеем уравнение соь х = — —, откуда 2 2г. х= еьгссоь~ !1 2кн == — ' 12хл, гдо л Е г. 2, ' з 2ь Отвйтг — — ч 2хь, где я Е г. 3 1 23ба) Найдем производную функции /(х) -Тхзчдхз-72+18. 2 ! Получаем: /'(х) = — -- ° Зхзт 4 2х — 7 = -хз+ Зх — 7. Приравнясм з производную нулю и вайлем критические точки х,-1 я х = 7. Нв координатной оси отметим зги точки и построим диаграмму знаков производной /'(х). Видно, что функция /(х) убывает на промежутках ( —; 1) и [71 ) и возрастает на промежутке [1; 7). 'Гочка х= 1 — точка минимума, точка х 7 — точка максимума функция /(х).
ьпжт1 промежутки убывания ( —; Ц и [7; ); промежуток возрастания [1; 7), х = 1 — точка минимума. х = 7 — точка максимума. 231в) Найдем производную функции /(х] =. 2вгп х е соь 2х. Получаем: /'(х) = = 2сов х — в(п 22 ° 2 = 2сов х — 4вш х соя х —— - 2сов х (1 — 2ь(их).
Прнравняем производную нулю и найдем критические точ- ки свеча.та на промежутке [О; 2к): х = —, а ' ь Ьь зз х —, х= — и х= —. Определим. на- 2 Ь 2 пример. знак произнодной /'(х) при х = О: 5. Л игооднан, нг оооо гнан, инмгг ал и ик н ингнгнин 223 /'(0) - 2сов 0 (1 — 2юп 0) = 2 > О. Тогда легко изобразить знаки производной и точки максимума и минимума. Учтем, что функции /(х) и /'(х) периодические с периодом 2к. Из риаунка видно, что х х 1 (и бн --+2хн; — +2кл~ и ~ — +2кл; — +2кл~, 2 6 ~ (2 6 1 /бн эн — + 2кл; — + 2кл и — + 2кл: — + 2ал~, 6 2 ~ ( б 2 промежутки возрастания промежутки убывания н 33 х х- — + 2кл и х .
— + 2пл — точки максимума, х= — + кл — точа 6 2 ки минимУма. ьцббу:см. Решение. 232в) Область определения функции /(х) †' — Зхг — 9х О(/) — Я. Область значений этой функции Е(/) - В. График Функции /(х) проходит через начало координат. Найдем также точки пересечения графика Функции с осью абсцисс. Положим /(х) = 0 и получим кубическое уравнение: 0- х(хо — 3» — 9). Случай х = 0 уже был рассмотрен.
Решим квадратное уравнение 0 =хи — Зх — 9, его корни 3116 36 313/З 3166 х — — , т.е. х = 4,8 и х — 1,8. 2 2 2 Найдем производную /'(х) = 3»1 — бх — 9 = З(»2 — 2» — 3). При. равняем производную нулю и найдем критические точки функции /(х): х =-1 и хз= 3. Отложим зги точки на координатной оси н построим диаграмму знаков производной /'(х). Видна, что Глава 5. Задачи на ооато ние 232г) Область определения Функции Пх) - —, П(П = ( 4- -2)(г(-21 2)О(2; ), область значений функции Е(П=( —; 4- ). График функции проходит через начало координат.
Функция имеет вертикальные асимптогы х = — 2 и х = 2 и горизонтальную асимптоту у-О. (»)(4 — <) — »(4 — »') Найдем произволную Функции /(х)- (4 — » ) (4 — »)4» 2» 4<» Видно, что в области определения (4 — ' ) (4 - л) /'(х) >О. Поэтому функция возрастает в области О(/). Функция не имеет крити <вских точке (поэтому не имеет максимума и минимума). Учтем, что функция /(х) — нечетная, т.к.
/(-х) = (-») — — = -/(х). Учитывая 4 — » особенности Функции, построим се график. Яуддт: см. решение. 233г) Область определения функции /(х) — а!плх — а1п х (2(/) =!!. График функции проходит чсраз начала координат. Найдем точки пересечения графика с осью абсцисс. Получаем уравнение: О = ашгх— — я!пх или О мпх(з!их — 1).
Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из ннх равен нулю. Имеем уравнения: в!их= О (рсшсннп х-лп, где л Е г) и я!их — 1 =0 (рсшапип х = в = — — 2хл). Учтем, что функция /(х) периодическая с пера <,в»< гя. 2 Найдем производную /(х) 2зш х сов х — сов х = соа х (2аш х 1). Приравняем производную нулю и ниндсм критические точки Функции. Имеем уравнения.
сов х = О (его решения х = » - — + пп) и 2в!п х — 1 = О [решения х- 2 1 „» - ( — 1)" агса!п — + лл = ( — 1)" ° — + <ш). От- г а метим этн точки на тригонометрическом круге для промежутка (О; 2х). Определим апек производной, например, для 5. П «зеадная ве аод л«а». и«тел л и их в иле«с«ил 222 х = О. Имеем: /'(0) - совО.
(2яп 0 — 1) - 1 ° (-1) - — 1 < О. Тогда легка определить промежутки возрастания и убывания Функции, а также точки максимума и минимума. 2 Найдем /м„(~-~=) — )=в!и — — яп-=д — — =-- и (е) (, а ) а а (г! 2 4 (л) г л . л 2 !м „( — = в!и — — вгп — =1 — 1 = 0 и (м „! — =а!и л) г — а(Ш - — ! = ( — 1) — (-1) = 2. Отметим характерные точки и постро- г) им график данной Функции ь'ед22! см. решение.
236) Пусть первое неотрицательное слагаемое х (где 0 < 2 < 10), тогда второе — (10 — х). Найдем сумму кубов этих слагаемых: е(х) = хз ! (10 — х)з-хэт 10з- 3 10! хе 3 10 хл- хз- ЗОхг— — 300х ! 1000. Найдем наибольшее и наименьшее значении этой Функции нв промежутке [О; 10). Вычислим Е(х) =-60х — 300. Критическая точка х = б — тачк» минимума. Так как график функции Дх) парабола симметричен относительно прямой х = б, то наибольшее значение Функция принимает на концах промежутка, т.е.
при х = 0 и при .т —. 10. Пгвст: а) 0 е 10 иля 10 ! О, б) б -> б. . 239) Пусть дороги пересекаются в точке А под прямым углом. Первоначально машины находятся в точках В н С, так что АВ = 2 км н АС= 3 км. Через время г (часов) машины находится в точках 0 и Е, так чта А0 - 2 — 40 ! (км) и АЕ - 3— — 50 ° ! [км). Из АОЕ по теореме Пифагора найдем расстояние 0Е = (А0 + АЕ Г г,г ' ='Бйг-'11Р 8 Гшглии 22В Глава 3.
Задачи на «оома вие Подкоренпае выражение является квадратичпой функцией и име- Ь -вэа гэ 22 ст минимум в точке ! = — — = — = — (ч) Птздп! ч. 24 2 4100 4!Е 410 242) Объем цилиндра )'- кФЬ. где  — радиус основания. й— высота цилиндра. По условию У 16п мэ, поэтому! 16п = кйэй или 1В 16 =- В!й. Выразим иэ этого сооткошеиия й = — „. Площадь полной Я" ' 1В поверхности цилиндра 3 = 2вйз+ 2хВЬ = 2пйэ+ 2пЯ вЂ”, = 2хйэ+ Я + 32хй '.
Найдем наименьшее заичеиие функции З(Я). Вычислим 22» 4«й'-В2л 4«(й -З) производную З'(В) = 4лЯ вЂ” 32пЯ ! = 4пЯ вЂ” — = Я» Я' й» Критическая точка функции З(В) Я вЂ” -2. Легко проверить, что эта !В 1В точка минимуиа. Теперь найдем й = —,= —, = 4. Видно, что й = 2В, Л' 2 т.е. высота цилиидра должна равнятьсн диаметру основания.
Оэппт: й = 2В. 244) Рассмотрим осевое сечение конуса АВС и вписапиого в него цилиндра КЬ»ЫФ. Высота конуса ВО - Н и радиус основания в г ы А() = ПС = Я. Пусть высота цилиндра йК = й и радиус основания КО =ЛЯ = г. Найдем свазь между переменными й и г. Рассмотрим подобные треугольники ВВМ ве ем и-в и ВПС: — = — или — = — . Используя вл лс н я свойство пропорции, получим: Н — аВ-гН Н (Я вЂ” г) или Н( — г) = ЯЯ, откуда й . Пло- в щвдь полной поверхности цилиндра 3 = 2кгэ+ 2пгй = 2пгэ+ 2ггх Н(й —.) зж! х . Найдем производную йг(г)-4пг+ — ( — 2г) = Я Я 2«(2 й+ Яй-2 Н) .
Критическая тачка определяется условием: Я Нй 2гй + НЯ вЂ” 2гН -9 или НЯ = 2г(Н вЂ” В), откуда г = (оче- 2(Н вЂ” й) Нй видно, при Н > В). й!вэу: г - при Н > Я. г(н - й) 249) Пусть окно имеет изображенную иа рисунке форму, состоящую из прямоугольника (с размерами 2В и й) и полукруга (рздиу- р-(2 «)Я са Я).
Периметр окна р = 2Л + 2В+ «Я, откуда й = . Пло- 2 227 5. П аи.геаднап, пе аав гнпп. инмег и и. н илененип пя Р-(2тп)Я М~ щадь окна В - ЗВИ + — = 2В 2 2 2 + — - Вр — (2+ к) В'+ 2 + — = Вр — ~2 т — В . Найдем производную функ- 2 27 2~7 ции 5(В) = р — 2 + -! 2В = р — (4 + к) В. Функция 2! В(В) имеет критическу точку В - — . Найдем й- Р 4 и (2.нп) р р — (27 )Л р- ~еп- еел — (2+п) р 2 2 2(4 7 л) 4 е и Пурвд: В= Я =в Р 4+ и 252) Пусть искомая точка параболы у хп имеет координаты В 2 Ш ( 7) (т, хап). Запишем расстояние АВ- (хе — 2) — ) хи — — ) . Найдем производную функции АВ'(ха) = ~п„-2)+2(л,', — 2) 2л„ 7 2 (г„-2) +(л,* — 2) и — л *ь-п.(;-2' (и-и' и-й' Видно, что х -1 — точка минимума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
