kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 43
Текст из файла (страница 43)
бйа) Длн функции 1(х) = 3 — х найден Ьг(х) = ДДх)) = 1(3 — х) = = 3 — (3 — «) - «; ( («) Д(1(х))) = 1(х) = 3 — х и т д. Таким образом 3 †, если л нечетное 7.(х) = х, если л четное. Область определения Функции В((„) = Н. (3 — х, если л нечетное агрйг: 1 (х) = (х. если л четное, 1 70в) Нзйлсм функцию, обратную функции у.= . Выразим »,Ь' 1- ад из этого рввенства х. Получвем: аху+ Ьу —. 1, откуда х =- ли Введем привычные обозначения для вргумента н самой Функции 1. Ь» и получим обратную функцию у= .
По условию функция и» 1 1-Ь у = совпвлзст с обратной у = — . Получаем уравнение; *+ь и» 1-Ь вЂ” — — или ах-(ах! Ь)(1 — Ьх) или их -их — пухл+ Ь вЂ” Ьэх и» Ь и» нли айхг 4 Ьгх - Ь = О. Это равенства должно выполннться при любом знзченнн х. поэтому все коэффициенты такого квадратною уравнения должны рзвняться нулю: аЬ = О, Ьл= О, Ь:- О. Решенно этой системы: а и О, Ь = О. Поэтому искомая Функции имеет вид 1 1 у=- —. Огвпт: — (и »0). 72а) Для Функции у —,/х» 1 (х > — 1) найдем обратную.
Выразим пз этого равенства х. Получаем1 уг — -х+ 1, откуда х =уг — 1. Введем привычныо обозначения для аргумента и самой функции и получим обратную функцию у - хь — 1. Построим грнфики бьунк- й Элеменеы ные винни и зх свонгмва пий у = Д + 1 (сплошная линия) и рт= = х — 1 (ту 0) (штрих-пунктирная линия). Видно, что графики функций у, в у., симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. ЯХИХ: см. решение. 74а) Пусть Функция Ях) четная. Рассмотрим значения функции в двух симметричных точках ( — х„) и х„: г( — хе) г(хо) = ус. Таким образом, точки с координатами ( — хе; у„) и (»„; уе) принадлежат графику Функции. Зги точки имеют одну и ту же ординату и противоположные по знаку абсциссы.
Следовательно, эги точки симметричны относитсльао оси орлинат. То жс кожно сказать и про остальные точки графика. Поэтому график четной функции симметричен относительно оси ординат. свдп доказано. 7бв) Учтем, что график четной функции снмыетрнчсн стноснтельао сои ординат. Получим график четной периодической функции с периодом Т. Учтем, что грэг)гик нечетной Функции симметричен относительно начал» координат. Получим график нечетной периодической функции с пернолом Т Щщц: см. решение.
Г«иеи д. Задачи ииаишенной т днсгти Раб) Для настроения графика функции у - г(~ «)) по заданному графику функции у = Дх) недо сохранить часть этого граФика при х > О и зеркально отразить се влево относительно аси ординвт. рвнс: см. решение. 81а) Запишем данную функцию Дх) = 2сов Зх-~в!пгх в виде /(х) = 2(соэг х — ыпгх) 4- в!пгх = 2ссвгх — э!пгх = 2(1 — мп«х) — ыпгх = = 2-Зэ!пгх. Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения этой функции. Учитывая ограниченность функции синус, имеем: О < эшг х я 1. Умножим все части этого неравенстве на отрицвтельное число ( — 3).
Знак неравенства меняется на противоположный: О > — Зв!пгх > -3. Ко всем честям неравенства прибавим числа 2. Имеем: 2 >2-Зюпгх >-1, те. -14 Ях)с 2. Поэтому наибольшее значение функции равна 2, наименьшее значение рввно ( — 1). ЩвЮ;: пнп )(х) = — 1, шах 4(х) = 2. 83з) Асимптотой называется прямая линия, к которой грвфик функции приближается сколь угодно близко.
Функция у=— « — 2 имыт вертиквльиую асимнтагу х = 2, т.к. при х — 4 2 числитель дро- би — стремится к числу 2, з знаменатель стремится к числу О. « — 2 Тек кзк знаменатель становится очень мвлым, та функция у — 4 и « Функция у - имеет горизонтальную исимптоту у = 1, т.к. -г при х-4 функция у= — = 1 (т.е. можно при больших х пренсб- , речь числом 2 в знаменателе дроби — ). « — 2 Ятппй: х = 2 — вертиквльнвя ясимптотз, у - 1 — горизонтальная асимптота. 846) Преобразуем данную функцию. Разложим числитель и знаменатель дроби нв множители и сократим сс. Получаем: 42+« — «г -(« — 4)(««З) чг у= — — Таким образам, построим «* — Н (« — 4)(« 4) « + 4 ч 2 график функции у = — .
Зтот график пересекает ось асбцисс а ««4 2 точке х= -3 и ось ординат — в точке у = — —. График Функции 4 имеет вертикальную асимптоту х = — 4 и горизонтальную всимпто- гет 2. Элглгата ние «х ии и их свззсмеа ту у = -1. Кроме тош. данная функция в точке х - 4 не определена !зта точка на графике отмечена стрелочками). Ягднк см. решение.
т! — сом г /и!п т 84в) Функцию у= запишем в виде у- * !з!зх~ —. Используя определение модуля, получим Ьдх, если в!пх>0 У ! . Построим график атон функции, учи. тывая ограничения на знак мп х. Щднс: см. решение. 858) Функцию у =ч1 — сов х + вш х запишем в виде р Г з !2в!пх, если в1пт и 0 4 ев!п х + в!и х = ! з!и х ! т а)п х - ! .. Теперь '!О. если в1пх < О !учитывая ограничения) легко построить график еюй функции.
Гласе 6. Задами леемшевней а~ дносми йХПеХ: см. решение. Вбв) Очевидно, что фУнкциЯ д = и!пт (тЯ х) т сова (т)сб х) может быть записана в виде р = 1 при условии !Хх > О. Теперь легко изобразить график этой Функции. В точках х — т кл !где л Е з) функ- з пия гб х, а следовательно, н данная функция не определена.
йувСХ: см. решение. ббв) В Функции у.—.2 " ' раскроем знак модуля. Вели х В )мг, )ы и !О! 1), то 1обэ х < 0 и ФУнкциЯ У = 2 ма "'~ = (2 ив' ") ° 2 = х ч. 2- З Рели хЕ)1; ), то !об х>0 и Функция у- 2 ' = 2'"-'" 2 =х 2 2х. Таким абразаи, данная функция имеет вид: ! 3 —, если х е (О; 1) — гипербола, р= х' 2х, если х е [1; ) — прямап. Теперь с учетом ограничений построим граФик дмшой функции. Ответе см. решение. ) ется условием: !об,„юссзэо""х > О или !оф соэвмех > !обч„1, откуда соээе"эх >1. '!'акое неравенство выполняется только при сов.т = -1, откуда х = хл !где и Е х).
В этих точках значение Функции у-О. Итак, график данной функции состоит из отдельных точек с координатами !кл; О). 249 2. Элемента мне нм ни в их езеаетеа Птах: см. решение. В9а) Область определения функции у = з!п(агсз!и х) такая же. как у функции агсмп.т, т.е. П(р) ( — 1; 1). Учтем, что функции синус н арксннус нзаимно обратные.
Поэтому данную функцию можно записать в виде у = х. Построим график этой функции. Яуййу. "ем. решение. В96) Область опредеяения функции у = агсв!п (з!ох) такая же как у функции з!пх, т.е. (2(у) — Я. Даннан функция перноднческвя е1 с периодом 2в. На промежутке х Е [ ° ! функции синус и арксинус взаимно обратные и данную функцию можно записать в виде у -.г. Поатому на атом промежутке график построить просто. Учтем, что график функции зш х (в, следовательно, н данной функ- л цин) симметричен относительно х — — . Поэтому график легко по- 2 строить и на промежутке [,2 !, 1.
далее учитываем периодичность данной функции и строим график далев. Ответ: см. решение. 92б) Сначала построим график функции у = хт- 2х (парабола). Чтобы построить график функции у = ~ха — 2х'„нпао сохранить тг части графика д = хт — 2х, для коюрых у з О, а тс части, длн которых у < О, надо зеркально отразить вверх относительно сон абсцисс.
Наконец, чтобы построить окончательный график (д(=(х" — 2х(, надо предыдущий график у = ~хт - 2з( сохранить и еще зеркально отразить вниз относительно оси абсцксс. зсо Глава д. Задачи ааеышевиоа и дивами !у)=~хз — 2х~ у =! хз — Зх ~ у = хз — 2„ ЩщШе см. решение. 92в) Произведение (х — 2) (у + 4) - О, если хотя бы один из множителей равен нулю.
Получаем ураннения: х — 2 = О (откуда х = 2) и у + 4 - О (откуда у - — 4). Таким обрезом. график состоит из двух прямых линий к = 2 и у = -4. йудит: см, решение. 93б) Запишем данные нераненстве )х — З~ < < 1, ) у — 4 ~ < 1 в виде двойных неравенств: -1<х — 341, — 1<у — 4<1 илн 2<х<4, Зсус б. Оти неравенстве определяют внутренние точки н границы квадрата со стороной 2. ЬЮВцг: см. решение. 93в) Сначала построим границу данною множества точек ' у ( = =)в+ 1(. Построим график функцни у-(х+ 1!. Чтобы получить график ~ у| — ~ х+ 1 ~, недо сохранить график у — ! х+ 1 ! и зеркально отразить ею вниз относительно оси абсцисс.
Построенные линии у=! '+1! 2Ы 2 Элгмгкти кые ккиии и ик гвайгтее разбили плоскость на четыре сектора, Определим, какие точки удовлетаоряап неравенству (у(. ~ х 1(. Для этого нз каждого сектора выберем по контрольной точке. Например, для точки х =-1, д = 1 неравенство выполнено: ~ 1 ( > ~ -1 т 1(. Следовательно, все точки этого же сектора удовлетворяют неравенству. Множество искомых точек показано штриховкой.
Стрелки показывают. что данное неравенство строгое н границы в множество точек не входят. Дувру: см. решение. 94а) Для построения множества тачек, координаты козорых удовх' — д* летэоряют неравенству,, < О, используем метод интервалов хмд -! Числитель этой дроби абрашаетсн в нуль, если хз-уз= О, откуда д =-х (биссектрисы координатных углов).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
