kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Таким образом, данное уравнение имеет три целых решения. Явиу: (О; 0), (1; 1), (1: -1]. Оа) Уравнение 13х — 7у = б аапишем в виде 13х = 7у + 6, откуда тд+б х = †. Легко угадать одно целое числа у = 1, для которого чис- 13 ло х также целое. Так как чнгла 7, 6 и 13 вааимно простые, то все остальные цеаые числа у можно записать в виде у-13й+ 1 (где тйоб т(гййо\)+6 ддй й Е г). Теперь найдем х- — = — ' -7й+1— 12 1З 1З целое число. Таким образом, целые решения данною уравнения я= 7й+1, у=13й+1(где й Ег). Отвог: (72+1; 13й+ 1), йЕг.
б! о б 10) Пусть числитель и знаменатель дроби — (где ! — целое и -1 число! имеют общий целый делитель й, т.е. выполняются раеси- 5( + 6 = йл ства ', (где целые числа и и т не имеют общих делителей). Исключим из этой системы переменную !. Для этого умножим первое уравнение нз 3, второе — на 5 и вычтем из первого (15! + 18 = Зйп уравнения второе. Имеем: (15! 5 бй, откуда 13- й(Зп - 5т).
Видна, что число й должно быть делителем числа 13. Но число 13 простое, поэтому й = 13. Таким обрааом, дробь можно сократить на число 13. ьцзбу: 13. и (и + 1) (2п о 1) 12а) докажем равенство 126 22+ 32+... +яг- ' ме- 6 гадом математической индукции. а)При и 1 левая часть равенства состоит из одного слагаемо- 1(1 1)(2 1+ 1) го 12. Проверим равенство: 12 — верно. б б) пусть при л = й данное равенство выполняется, т.е. 12+ 21+ 6 в) Прн л - й+ 1 в левой части равенства добавляется еще одно слагаемое (й + 1)г.
учтем результат предыдущего пункта и пресбрай(й 1)(зй о 1) зуем левую часть: (1зт22ЬЗЗЬ...Ьйг) — (й+1)' + 6 1. Числя и л есв ,мвлнил вм лений 235 + (й + 1)з = й (й е 1) (йй + 1) + 6 (й е 1) (й + 1) (2йл+ й 6й 6) 6 6 6 6 л (л ° 1) (тл ° 1) совпадает с вырзжеиием при л = й+ 1. 6 Отнжг доказано. 13в) Докажем методом мзтематической индукции равенство 1 1 1 1 л — + — в — !.... + 4 5 5 6 6 7 ( +3)( +4) 4(л+4) 1 з) При л -1 лсззя честь равенства содержит один член 4.5 1 1 Проверим рзвсисгао: —, = 5 4 ° (1 4) — верно. б) Пусть при л - й данисс равенство выполняется, т.е. 1 ! 1 1 й — + — + — + ..4 4 ь 5 6 6 1 (»ей)(»е4) 4(»+4) в) При л = »+ 1 в левой части равенства добавляется еще одно 1 1 слагаемое (»,1, з)(» ег 4) (» «)(» ей), Учтем РезУльтат пРс- 1 1 1 выдул!его пункта и преобразуем левую часть: ( й 1 +...+ + (й З)(й+ 4)/ (й 4)(й + 5) 4(й + 4) (й 4)(й 5) й(йеь)44» езй 4 (й+1)(й 4) й+1 4(й+ 4)(й+6) 4(й+ 4)(й л 5) 4(й+ 4)(й+ 5) 4(й+ 5) л Видно, что зто выражение совпздлет с выражением 4(л ее) при л = й + 1.
()7363; доказано. 15а) Докажем методом математической индукции, что для любого натурального л выражение 6»" '+ 1 кратно 7. 6] При л=1 величине бт" '+1 бз' '-1-1 6'+ 1 = 7 и кратна 7. 6) Пусть при л — й выражение 61» '+ 1 кратно 7. в) Рассмотрим данное выражение при л = й 4-! „Имеем: бп»'" ' -1 + 1 = 6»» '+ 1. Запишем зто выражение таким образом, чтобы выделить выражение предыдущего пункта (кратное 7). Получаем: 61».1+ 1 бт. 61»-1 Ь 1 (36. 6»»-1+ Зб) + (1 Зб) 36(61».
1+ 1) 35 В згой сумме первое слагаемое кратно 7. т.к. вырзженяе бы '+ 1 кратно 7 (по предыдущему пункту), число 35 также кратно 7. Поэтому и вся сумма кратна 7. Ядввт! доказано. Гласа б. Задачи лсяишехаоа и бяссаш 20а) Предположим, что число,/3 рациональное, т.е. его можно записать в виде чГ3 = — (где т и и взаимно простые натуральные числа. т.е, числа, не имеющие общих делителей). Возведем зто ра- М' венство в кваарат 3 - —,, откуда т'- Злз. Так как числа ж и л п взаимно простые, то число гл кратно 3. т.е.
ш = ЗЬ (где Ь б М). Подставим зто выражение а соотношение тг — - Злэ и получим: (ЗЬ)э= = Злз или 9дэ - Злэ или Здз - лэ. Из такого выражения делаем вывод, что л крвтно 3. Таким образом, получили противоречие: числа т и л кратны 3, т.е. имеют общий множитель. что противоречит исхопной предпосылке.
Ятлет: доказано. 20г) Очевидно. что число 1об 9 > 1. Предположим, что это число и рациональное. Тогда его можно записать в виде 1обз9 =- — (где гл и л взаимно простые натуральные числа). По определению логариФма получаем: 2 =9 или 2"'= 9". Но число 2 в любой натуральной степени т четное, а числа 9 в любой натуральной степени л нечетное.
Получаем противоречие. Отизт: доказано. 216) Предположим, что число /2 + чг3 рациональное, т.е. Я + Е чгЗ = а. Возведем это равенство в квадрат: 2 е 2 °,/2 ° ь(3 -> 3 - а-, Г а — э откуда чб = . Если а раппопальнос число, то и величина 3 — также является рациональным числом. По число т(6 иррациональное. Получаем противоречие. Вудсу: доказано. 236) В подкорепном выражении радикала т()29 — 56 /5 5выделпм полный квадрат разности двух чисел. Предположим, что 129— — 56 э(5 — (а эГЬ вЂ” Ь)э, где и и Ь вЂ” натУРальные числа.
В этом Равенстве возведем пРавУю часть в квадРат: 129 — 56,Я = 5аз — 2аЬ чГ5 е Ьэ. Сравнивая левые и правые части равенства, получаем систему (бп -« Ь = 129 (би + Ь = 129 уравнении ~2 Ь 56 илп ~ Ь 23 . Из второго уравпе(2пб =56 1(пЬ = 23 ния следует, что числа а и Ь делители числа 28. Подберем такие делители о - 4 н Ь - 7. которые удовлетворпют и первому уравнению.
Итак, получили 129 — 56,/5 = (4 Л вЂ” 7)в. Тогда данное выраже- Г э «ие Ч129 — 56 (5 = ф4~Г~ — 7~ = 4Л вЂ” 7. ~Мыл: 4 Я вЂ” 7. 237 !. Числа и и сеа алсаанил еи аксний 27) Напомним еще одну Формулу для возведения суммы чисел в кубс (а Е Ы =а + Ьз+ЗаЫа +Ь). Обозначим данное число 3 ~847 3 ! 847 х= ~бз ~ — + ~6 — ~ — и иозведем его в куб." )! 27 )! )! 27 847 '847 з 3 847 3)!23 нли ха = 6+ ~ — + б —.! — ь з)6 — — или ха= 12+3~~ — х нли )! 27 7 27 1 27 27 ь хз- 12 + 3 -х нли хз- 5х — 12 - О.
Найдем корень этою кубичес- 3 кого уравнения: (хз — 27) — (5х — 15) = О или (х — 3) (хз+ Зх+ 9)— — 5(х — 3) =0 или(х — 3)(хл+ Зх4 9 — 5)-О или (х — 3)(ха+ Зх ! 4)-0. Произведение множителей равно нулю, если один из них раасн нулю. Имеем уравнения: х — 3 = 0 (откуда х= 3) и хл+ Зх+ 4 = 0 (зто уравнение корней нс имеет, т.к.
его дискриминант отрицательный). Следовательно, ланное числа х = 3 — число натуральное, т.е рациональное. Я2882: доказано. 296) В мноючлеае х" + хз+ 1 выделим квадрат суммы двух чисел: хс+ хз+ 1 = (х" + 2хз+ 1) — хл - (хл е 1)2 — «2- (хл+ 1 -! х) (хз е Г 1 — «) (32+ х+ 1)(хл-х+ Ц.
Оуэег: (хэ+ и+ 1)(хс — х.! 1). 30) для локааательства тождества (а*+ 83) (х + у ) —. (их+ + Ьу)Л.! (ау — Ьх)2 преобразуем его левую и правую части, раскрынан скобки. Левая часть: алхл+ азуз+ Ьлхс-!- Ьзуз. Правая часть: и хз+ 2аЬху + Ьсуз+ азу — 2аЬху + Ь хз = асхс+ асуз+ Ьсул+Ьзхс. Видно, что леван часть равна правой. Следовательно, тождестао показано. Юга: докнзано. и '32а) Для локазательстав тождества зич а е юп )) + ып 7= 4соэ — х 2 хсоз-соз — преобразуем его левую и праиую части. По условию 8 2 2 и+)) ч 7.— к.
откуда 7= и — (и+ 6). Тогда левая часть: а!и и л и Ь + юп )) + ып 7 — 3!п а + юп )! ! 3!п (х — (а+ 6)) = 281п, соа 2 ,8 и.б и,й( а-6 а.)!) а.р е 28!и — соа — - 28!п — соз, ьсоэ „!-2а!п — х 2 2 2 и ( ))! а З . иср а х 2со* — соз ~ — — ) = 4 сои — соз —, а!и — . Правая часть: 4соа —, х 2 ~ 2 2 2 2 2 х соз — соз — = 4соа — соз — сои ~ ., ) = 4соа — соа —, и(п — . 2 2 2 2 12 2,) 2 2 2 228 Главе д.
Задачи лоэишевной т двести Видно, что левая часть равна правой. Следовательно, тождество доказано. Щитку! доказано. 33а) Для доказательства тождества агсв!и х + атосов х = — для г люгюго х Е [-1; Ц вспомним определение обратных тригонометрических функпий. Угол а = агсмп х такой, что выполнены два условии: т «1 2 2 мпа=х и аЕ )--! — ~. Сразу найдем сов а=ч1 — в!п а = т1 — хэ 2 2~ (учтено. что а принадлежит 1 или 1Ч четвертям и сов и > 0).
Угол й = агсс4м х такой, что вьпюлнены два условии: соа [3 =. х н [3 Е [О; и). Найдем з!о[3= 21 — а1п [3 =ч)-» (учтено. что В принадлежит 1 или П четвертям и юп [3 > 0). Тогда надо доказать, что а 4. [3 = —. 2' Найдем, например, синус от суммы двух углов: зш(а+ [3) = „И~.Г ! 2 2 = з!и а саа й + соэ и э!п [3 = х х + ч 1 в х ч 1 — х = х 1 — х = 1. Е в твк квк — си< — и О с [34 к, то сложим почленно зти неравен- 2 2 в Зв став! — — С а + [3 < — На агом промежутке уравнение э!и (и -3- [3) = 1 2 г имеет только одно решение а 4 [3 = —,, что и требоввлссь доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
