kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Получаем неравенство того же знака: ми!сох+ соэ2ш ха в!пах+ совах илн аш'ее«+ сов™хя 1. При этом неравенство совпадает с ураваением э!и'сох+ ссэ!'их = 1 только ирна!пх О, соэхэ и1 или э!их= з1, соэ«=О. Решая эти уравнения, найдем х — л, где л Е з. 2 з Яэзщг: — л, где л Е з.
' г 17А) Проверим, что « = О не является решением уравнения «1 хз+ 2«а!п(ту)+ 1 =0. Выразим величину а)п(хд) = — †. Оце- 2« иим правую часть этого уравнения ] ~„~. Пусть х>0, запишем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим чисел: «! Э!~« 1 или — "'' зх (равенство имеет 2 2 '!! место, если числа х и 1 равкы, т.е. х-1), откуда — З1 и 2« «1 з! — — С вЂ” 1. Учтем, что функция — — нечетная. Область значе- 2« 2« ний этой функции (-; — 1] П (1; ).
Поэтому уравнение вш (хд)- з ь! = — — аквивалентио двум системам. 2« («=1 а) ~ы, ( ! ),сткУДах 1,Р= — — +2кл(гДелЕ«). 2 ]«= — 1 б) ~з!и!«р! 1, сткгда х - — 1. У - — — + йкл. 022ВП: ~1! — — +2кл~, (!-1! — — +2пл~, где л Е з.
л з 2 177в) Для решения неравенства < 2 — эб« введем новую 22«<-! 2 нензвжтиую ! -)бх и получим рациональное неравенство — < ! е! 2 < 2 — !. Решим его методом кнтервалов: — т ! — 2 < О или 2т! 22! 2, У ененин. не венстеа и системы 2>! е! — 2! — 2 ! (! — !) с-) < 0 или «О. Диаграмма знаков дроби ее! !е! се! приведена иа рисунке. Из диаграммы получаем: 4 « — 1 и 0 < ! < 1. нер ко дич е и Л 26 — — +пл; — — +кп ш пп; — +пл, гделЕз. 2 4 4 Огв!!2; ) — + кл; — — 4 пп~ ш~пл; — + лп1, где л е х. 2 4 ) ~ 4 181) При решении неравенства,/5 — 2в(пх > 69!их — 1 введем новую неизвестную ! = в)п х и получим иррациональное неравенство Г5 — 2! Зб! — 1.
Сначала решим это неравенство. Для разнообразия используем метод интервалов. Иайдем корни ураввсния Л вЂ” 2! - 6! — 1. Всавсдсм обе части в квадрат: 5 — 2! = 3642 в 12! + 1 или 0 = 3642 - 10! - 4 или 0 = 18!2 - 5! — 2. Корни этого уравнения 2 ! ! =-- (не подходит, т.к. 6! — 1 > 0) и ! = —. Учтем ОДЗ иеравен- 9 2 з ства 5 — 2! > 0 (т.е. ! < — ) и запишем неравенство в виде л(5 — 2!— 2 — 64+ 1 > О. Определи» знак выражения, например, при ! = О. Полу- чаем,/5 и 1 > 0 и построим диаграмму знаков выражения. Видно, ! что решение неравенства ! < †. Вернемся к неизвестной х. Имеем г' ! тл, е неравенство в!и х < †.
Его решение х Е ~ — — + 2кя; — 4 2ли~, где 2 6 б зе л лЕз. Я2222: ~ — — 4-2ля; — 42лп~, где нЕз. б 6 зтз Гласе б. Задачи лоеыюсеяоа иссмо 187а) 1(ля решения уравнения (~5+ /244) т(~~5- /244) =10 вайлем свваь между основаниями. Получаем: «Гб+ т24.«/5-~24 = «/у'ЕРж[-~ --=.- — ~=К= «'з - /га «х = [ «/5+ «~24 ~ .
Тогда уравнеыие имеет вид ~«/5+ «/24 ! + +[«/бт«/244/ =10. Введем новую неиавестную С ~т~5+«/244~ . Получаем уравнение: (+ 1 '-10 нли Фз-10с+1-0. Корни атого ураавеыия (,л 5 а «/24 . Вернемся к старой неизвестной х. Имеем г г — — «" уравнеыиа: [«/5+«/24~ =6+«/24 (откуда х 2) и ~«/5+ /24~ -1 5-«/24 - [5+ «/244) (тогда х- -2). Яздат: в2. 3*'-«ох+э 188а) При решении уравнения ) х — 3 ~ = 1 надо рассмотреть два случая. а)[х-З[-1, тогда.т — 3-я1 их =4, х 2. Очевидно.
что если , х — 3 [ 1, то число 1 в любой степени равно 1. 1 б) Зхз — 10х+ 3 = О, тогда х - — и х = 3. Проверим ати репю[с ( )а ыня подстаыовкой. Прн х= — получаем: — — З~ = ~2 — )« = 1 з [з ) [,з/ верное равенство. При х - 3 имеем: [3 — 3 [«Ос — это выражение не нмсег смысла. Пузву: 4; 2; —. 1 ' з' 191а) В неравенстве 2" е 25«а 2«/2 раскроем знак модуля, рассмотрев два случая.
а) Если хзО, то [х~ х и получаем неравенства 2 + 2*а 2,/2 1 нли 2*а,/2, откуда х а —. з 6) Если я<0, то ~х[ — х н имеем ыеравенство 2*-~-2™> 2,/2 Введем новую неизвестную г 2* и получим неравенство г + — а 2 «/2 нли (~ — 2 «/2 г+ 1 в 0 (учтено, что ( > 0). решение етого г неравенства Г Е (-«о; «(2 -1) О [/2+1; ). Вернемся к старой неиз- 272 3. 3' агния. ае яснев а сжвымы вестной х. Имеем неравенства 2 К (2 1 (откуда ха 1ойз(ч(2 — 1)) и 2"з,/2+1 (тогда хъ!ойз(4/2+1)).
Ио так как!ой (4(2+ 1) >О. то решение ха )ойз(,(2 + 1) в рассматриваемый промеисуток х с О не входит. 1 Объединяя полученные решения в этих случаях ха — и ха 2 4 1ой (~Г2 1), найдем екончателыюе решение данного неравенства хЕ(-1 (ой (Я-1))() ~~-1-). 2 !з' Пгш21 (; 1ой ( Г2- 1)) П 1.
2 2' 2 *+2 "=5 194в) Дли решения системм уравнений ~ ев 1 снача- (2 "=4 1 ла решим второе уравнение. Получаем сов х+ — -2. откуда ссез 1 -2 — созх. Подставим зто равенство в первое уравнение: Ссе Г 4 2ыы+ 22 '"*= 5 или 2'~+ —, = 5. Введем новую неизвестную 4 2-2' и получим уравнение: 1+ — -5 или Р— 54+4=0.
корни которого 1, 1 и 1 4. Вернемся к старой неизвестной х. Имеем: в 1 1 2 1 (тогда соех 0 и х +ил, совр к 2 2-.ОЯ» 2 1 4 р = вагсеов — + ззй = я — + 2ха, где и, З Е 2) и 2" '" = 4 (тогда соа х = 2 2 З и это уравнение решений не имеет). Ж2221 — + Кп; 2 — + 2иа), где л, З Е з.
'12 3 19уа) ОДЗ уравнениа !й (агс(й х) + 1й(агсссй х) а задается условиями1 ага(2 2 > 0 и агсс(й х > О. Первое неравенство выполнено ори х > О, второе — при всех х. Поэюму ОДЗ. "х> О. Используем з свойства логарифмов н учтем, что агссй2+ агсс(ах= —. Имеем г' уравнение: 15 (атеей х агссгй х) = а, тогда атеей х агсс(2 т - 10' или агсьйх — -агсгах)-1О'.
Введем новую неизвестную 1-агсзй2 '1 2 (л в и получим уравнение: 1~- — 1)=10' или О 42 — — 1+10". Дис- (2 2 с криминант этого квадратного уравнения В- — — 4 10ь>0, ст- 4 Глоео б. Зодени повышенной и дносми к к куда — > 10', тогда !й — за или а < 2!3-. Корни уравнения 16 1Е 4 й,ур — 4 ° 10 к К,~к' — 16 ° 1О' . — ъ - к — ° " '1О . легко проверить, что зти кор- 2 4 ни положительные. Вернемся к старой неизвестной х. Имеем урав! к~ кение: агс(3 х- 4 , откуда х -49 !л 211 к 2 чк — 16 10" Ятдат: при а Е ( ! 2!бл х, 43, при а Е 1,2 4 Е (2 !3 —; ) х Е И. 201в) НеРавенство !об (1+ !ой!к — !обэх) < 1 запип!ем в виде )ой (1 — 2!обэх) < 1об22. ОДЗ неравенства задается условием 0 < < 1 — 2!об х.
Решение неравенства приводит к неравенству 1— — 2!обе х < 2. Итак, данное неравенство эквивалентно двойному неравенству 0 < 1 — 21обэх < 2. Из всех частей вычтем число 11 -1 < <-21обэт< 1. Разделим все части неравенства на отрицательное число (-2). Знак неравенства иеняетса нв противоположный: ! 1 -> 1ойэх> — —. Запишем неравенство в ниле: 1ойэ9' > !обо х > 1 1 > !Жэ 9 * или !Ойэ 3 > !Ойэ х > !Обэ-. о уда 3 > х >— 3 з' Пгдйт1 ( — '; 3). 203а) ОДЗ неравенства 1ой (х — 4) < 2 задается условиями: х — 4 > О, х — 3' О, х — 3 к 1, решение которых дает х > 4.
Денное неравенство запишем в виде !ой„„(х — 4) < !об„з(х — 3)2. Так квк ари х > 4 основание логарифмов х — 3 > 1 (логарифмическая функция возрастеющаи), то логарифмируемыс величины связаны неравенством того же знака. Получаем: х - 4 < (х — 3)2 изи х — 4 < хз— бх + 9 или 0 < х! — ух е 13. Это неравенство выполнено при всех х. Поэтому ОДЗ неравенства является и его решением х Е (4; ), Ятщ21 (4; 20ба) Используя определение логарифма запишем систему !ой„у = 2 у=к 2 в зиле „23 ~ цз . Подставим первое уравнение во второе: хЛ+ 23 = хз+ Зхл+ Зх + 1 нли 0 = хз+ 2хк 4 + Зх — 22.
Разложим правую часть этого кубического уравнения на множители (х — 2) (хз- 4х т 11) = О. Произведение множителей гтз 4 Начала амализа равно нулю, если одни из ннх равен нулю. Имеем уравнения: х — 2=0 (тогда х= 2) н хгт4х+ 11 = 0 (корней нет, т.к. дискрнмннаат отрицательный).
Найдем у = х = 2 - 4. Сиетема имеет един. огненное решение (2; 4). Пгаахг (21 4). $4. Начала анализа 214а) Функции синус и арксинус являются вааимнообратными, поэтому выпояняется равенство згп(агсзгпх) х. Найдем производную от обеих частей равенства соз (агсюп х) (агсз!и х)' = 1, тогда 1 (агсз!их)'= ( м„) . Теперь надо найти сов (агсз!их).
Пусть угол ф - агсюп т, тогда по определению функции зкрсннус выполз л1! пены два услозняг з!пф- т и фб ~ ' ). Найдем сов(агсе1пх)- =сааб= Ч1 — зш 9 = Ч1 — х (Учтено, что9Е ( г' 2) и ммб>0). 1 Тогда (агсмп т)' - 1,'" . Пгниг доказано. 7':** 21ба) Функцию у = х* запишем в виде у= (еи") =ем"". Найдем производную атон показательной фукнции у' = (е""*)' = с*м" х х(х)пх)' «"(1.!их эх ° -! =х'()ах+1). Дгвпгг х"(!пхе1).
а* — 1 221а) Функция 1(х) = — хг -!- (а — 1)хз -!- 2х + б определена иа Л. з Найдем производную П(х) = (аг — 1)хг+ 2(а — 1)х + 2. Функция Пх) возрастает на Н по условию. Поэтому при всех т должно выпалнятьса неравенство (аг — 1)хг+ 2(а — 1)х+ 2 > О. Так как старший коэффициент многочлена эавнсит от а, то надо рассмотреть два слу юл.
а) з -1-0, т.е. а-я1. Прн а-1 имеем неравенство О.хг+ + 0 х+ 2 > О. которое выполнено при всех х. Для а = -1 получаем 1 неравенство О. хг — 4х+ 2 > О, которое выполнено только при х с —. г' Поэтому такое значение а -1 не подходит. б) аг — 1 з О, т е. а з а1. Квадратное неравенство (аг- 1)хг+ 2(а— — 1)х + 2 > 0 выполняется при всех х, если: ! а — 1> О )(ат 1)(о — 1) > О В = 4(а — 1) — 8 (а — 1) с 0 или ((а — 1) (-з — 3) с 0 Глаза д. Задаче лсеыв7«ялов и дно«ми 27Е ((и - 1) (о — 1) > 0 или (( )( ) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
