kolmogorov-gdz-10-11-2008 (546283), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Решение атой системы а Е (-; — 3) О(1; ). Сбтюдиняя полученные решения, получим а Е ( —; -3) О [1! ). Я2822: ( —: -3) О [1; ). к « 222а) Уравнение соз х = — ' — к запишем з виде сов х+ х= — и 2 2 рассмотрим функцию ((х) = осах+ к. Ее производная П(х) =. = -мп х+ 1. Величина 7"(х) > 0 при всех х. Повтому функция Дх) возрастает на 1? и каждое свое значение принимает только один к раз.
Следовательно, уравнение соах+х= — имеет единственное 2 Щ вет: доказано. 230) Пусть страница имеет размеры х и у (см). Тогда текст занимает размеры х -4 и р — 6 (см). Так как пложадь текста 384 смз, то получаем ра- ЗЗ4 з т-е венство (х — 4) (р — 6) 384, откуда у — б = — и ЗЗЛ Зк ° ЗЕВ к «4 ?Ю р = + 6 = =6 —. Площадь стрૠ— 4 -4 « — 4 к + ес «'к сок ницы 8 - ху - бх — = 6 должна быть к — 4 « — 4 наименьшей. Найдем производную (2« 4 ЕО)(к — 4) †(к к Еок).1 « — Зк — 240 8' = 6 — 6, .
Приравпяем про- (« - 4) (к — 4) нзводную нулю, тогда кз — Зх — 240 = 0. Корни втого уравнения х, = -12 и х. = 20. Легко проверить, что х = 20 — точка минимума. ««со «О+ Ве Найдем у-б — =6 =-6 ° 5=30. к — Л 2Š— 4 Ятдцг; ширина страницы 20 см, длина - - 30 см. 233а) Для сравнения чисел 3 и 2'з спачала сравним их логарифмы ио основанию 3, т.е. «[2 и 1о842'з — "«ГЗ [об 2. Оценим !ой«2: очевидно, что 18 < «79, тогла ?ойз 8* <!обз 3' или 1ой«2 < 2 < †.
Умножим обе части этого неравенства на т?З и получим 3 ,[3 1обз 2 < -<3 = —. = ( — < 72. Таким сбрьюм. проведя ряд оценок, з „12 )(з мы показали, что «Г2 >73 31о822. Тогда имеем: 3 > 3' 'к' клн Лт 3 > 2', т.с. первое число больше. Ятдах: первое число больше. 4. Начала анализа 235в) Неравенство с" > 1+ х ашишем в виде с*-х> 1 и рассмотрим функцию /(х) е*- х. Найдем производную /'(х) = е*- 1. При х > 0 величянв /'(х) > О. Поэтому функция /(х) возрастает. Следовательно при х > 0 имеем неравенство /(х) > /(О) или с* — х > > ес — О.
т.е. с*- х > 1. (сшвд: доказано. 237е) Исследуем урзвнеине хэ-Зт а грвфически. Построим грвфык функции у хэ — Зх. Найдем производную у' - Зхз- 3, Крвтнческяе точки функции у — точки х а1. Нейдем значения у,(а))=(ацэ-а( И- .г. У- тем, что функция у (х) нечет- ЮЩ. ГРЗфынсн фУНКШлв Уз а являегея прямая, пврвллелыюя осы абсцисс. Видно, что при ~а) > 2 эсть одне точкв пересечения графиков функцнй у и у (адью решение урвввеияя).
Ири ~а)-2 имеются две точки пересечения (Звз решения). Для )а)<2 есть три точки пересе. чеиия (три решения). Яувал: при )а)> 2 — одно Решение, прн ~а~-2 — две решения, прн ~а (< 2 — три Решения, 242) Прежде всего нейдем тачку пересечения графиков функций у 8 — х и у-4Ь+4. Получаем уравнение: 8 — х-4Б+4 нли 64 — 16т+хэ-16х+64 илн хз-32х О.
Корни этого уравнения х - 0 и .с - 32 (пе является корнем, т.к. 3 — х > 0). Угловой коэффициент Функции у 8 — х равен Д, 48 ф, = -1 н угол наклона этой првмой к осы абсцисс ф, 135'. Найдем угловой коэффициент йз касательной к графику функ- 1 цни у-4 /х+ 4 4(и+4)нл. Вычислим производную у'-4. -(х+ з а 2 +4) Ил= Г . При х-0 имеем Д-(уф у'(0)= =1. Поэтому Си+4 44 уолл взклонэ касательной ф = 45'. Разность углов наклона ф, — фл = 135' — 45' 90. Поэтому графики данных функций пересекаются под углом 90. ()Увдт: 90'. 2436) Найдем произзодыую функции /(х) .тэ-4х+ 1 и получим /'(х)-2х — 4.
Пусть квсвтельызя проведена в точке с абсциссой х. Запишем ее УРавнение: У /'(хз)(х — хс)+/(хс) нли У-(Зхо 4) (х х ) + хоэ ахо+ 1 нли У -(2хс 4)х — хе+ 1. Извеспю, что касательная проходит через точку М ( — 1; — 3). Поэтому каор- 272 Глава д. Задачи иовитенной т дноети динаты этой точки удовлетворяют уравнению касательиойч -3 — (2х -4) — хи+1 или хе+ 2х — 8 О. Корни этого уравнения: о о о о хо- — 4 и х -2. Подставим такие значения в уравнение касательной. При хо--4 получаем: у-(2 ° (-4) — 4)х — ( — 4)2+ 1 или у= -12х — 15.
Для хо = 2 имеем: у = (2 ° 2 — 4)х — 22+ 1 илн у - -3. 02322: у = -12х — 15 и у = -3. и 245) Пусть к гиперболе у = — в точке с абсциссой хо проведена квсзтсльнан. Тогда и в уравнение касательной: у - —, (х — хо)+ а 2в или у= —, х+ Найдем точки пересече- к к ния этой прямой с осями координат. При 2в 2и 1 к=0 пцчучаем у = —, поатому координаты точки А (О; — ~. Для кч ' и 2и у= 0 имеем линейное уравнение: — —,х+ — = О, откуда х = 2х .
к о" Поэтому координаты точки В (2х, 0). Найдем координаты середи- О е 2к ~~~О и ны отрезка АВ: х= — ' -х и у- — = —. Видно, что эти о и координаты совпадают с координатами точки касания С (хо; — ~ . к ) Следовательно, отрезок касательной к данной гиперболе, заключенный между осями координат, делится точкой касания пополам. ылаут. "доказано, 248) Так как парабола у — ахи + Ьх + 1 проходит через тачку .А (1; 5).
то координаты втой точки удовлетворяют уравнению параболы: 5 = а + Ь-1, откуда Ь = 4 — а. Тогда уравнение параболы имеет вид: у = ахи+ (4 — а)х+ 1 Проиаводная этой функции у' = 2ах + 4 — а. Уравнение касательной в то кс А (1; 5): у = (2а ~ 4— - а) (т — 1) + а + (4 — а) + 1 или у - (а + 47 (х - 1) ~ 5 или у = (а 7 — 4)х+ 1 — а. По условию уравнение касательной у - 7х — 2.
Слелоаательно, угловые коэффициенты и свободные члены двух прямых должны быть одинаковыми, т.е. а Ь 4 - 7 и 1 — а - — 2. Решение этих уравнений а = 3. Теперь найдем Ь = 4 — а = 4 — 3 = 1. 1)2ИЭХ: а = 3, Ь = 1. 252а) Подберем первообразную для функции Дх) = хъ1+ хз. Предположим, что Р(х) = а(1е х ) + с, где а и с — постоянные ве- 4.
Навала анализа личины. Найдем Р (х) = а — (1+ хг)*.11+ х ) = а ° -ч 1 1т х ° 2 г = — Зах в(г + х . Так как Р'(х) - Р(х), то получаем За - 1, откуда а = 1 11 г1* = †. Тогда первообразнвя имеет вид Р(х) =-(1+ х ! + с. э 3 в Ятвгг: Р(х) =-(1+ х ) +с. 3 свв в 262в) Запишем функцию 1(х) = сгб х в виде ((х) — . Теперь вгп в подберем первообразиую для функции ((«).
Получим Р(х) = 1 . Овв' =!пв1пх+с. Найдем Р'(х)- — (в!пх) = =сгйх. Видно, в!п в ввп в что Р'(х) - 1(Х). Яуддгг Р(с) = 1п в!и х + с. 266) Пусть х,(1) и хг(1) — два регпекия уравнения х"(1) = — мгх(г). это означает. что справедливы равенства х,"- — юг«1 и хг — авгх . Рассмотрим функцию х(1)-«1(1) — хг(1).
Проверим, является ли эта функция регпением данного уравнения, иснольэуя свойства производных: (х, — хг)" - «1 — хг = -егг«1 — (-еггх ) = -огг(х,— -хг). Получили: (х,-х )'- — сгг(х,-хг). т.е. х — х также решение данного уравнения. Теперь рассмотрим функцию «(1) Фх (1). Имеем: (Ьх,)" Ь«1" —— - г( — югх,) = -ьмгх, — гог(ьх,). получили. (ь«1Р - -сгг(ь«1), г.е. ьх, также решение данного уравнения. Ягг!вг: доказано. 266) Предположим, что первсобразнвя для функций е*вш х и с" сов х имеет вид Р(х) = в*(оз1п х+ Ь сов «)+с, где а, Ь, с — некоторые постоянные. Найдем производную Р' (е*)(айпх+Ьсозх)+ + е (он!их+ Ь сов х)' = е (аз!их+ Ь сов «)+ с (о сов х — Ь з1п «) е*((о — Ь) в!п х т (а т Ь) сов х). Для определения а и Ь сравним Р' с функциями е" з!и х и в*сов х.
Чтобы Р(х) была первообразной для функции е" в1п х. надо выпоянить условия: а — Ь-1 и а+Ь=О. Решение этой системы 1 1 а — н Ь = — †. Поэтому первообразная для функции е" в1п х: г г' Р(х) = — (а1п х — соз х) + с. г Чтобы Р(х) была первообразной для функции ев сов «. надо выполнить условияг а-Ь-О и о+Ь=1. Решение этой системы а 1 -Ь- —.
Поэтому первообразная для функции с" сов хг Р(х) г — (жп т + сое х) + с. г Яджгг: — (в! и т — соз х) + с; — (в1п х + соз х) + с. г г гзо Глава 6. Задави ловпшеллои т дио ти 2?2а) Используем формулу понижение степени и вычислим 22 2в 2в интеграле ) сов~ пхб» = — ((1+ соз2лх)бх = — ( х+ — ~ 2 е 2 2л о о о 11 в!лвлл ! 1( вела) = — 2к+ — ) — -!Ое — )=х.
Жпж: х. гл ) 2( гл ) 272г) Преобразуем произведение функций в нх сумму и вычислим интеграл: в ) ыпЗ»воз бхбх = -) (з)п(З» — 5х) + з1п(Зх и 5х))бх = 2 о о 1 Г 1(вов2х вовах ! 1(оов22 вов82) = -) (- ми 2» + 8!и 8») бх ш -'( — — — ) 2 2( 2 8 ) 21 2 8 о --( — — — ) л + - -)) - -((- — -~ ш О. Ответ: О. 273а) Построим график Функции у - ~) х) — 1).
Тогда Д х! — 1)бх равен площади 3 заштрихованной Фигуры. Как вял- но из рисунка. зта площадь в 4 раза больше площади ЛАВС, т.е. 8=4 ° — АВ ° АС=4 —.1 1=2. Яхвкг:2. 1 1 2,2 2735) Построим график функции р = = ч1 — х . Очевидно, что д > О. Возведем зта Г 2 равенство в квадрат: рв= 1 — хе нли хг+ е дг = 1 (уравнение окружности). тогда графиком Функции у = ч1 — х является па- в Ч 1 х луакружнасть радиуса 1 с центром в начале координат. Тогда 1 Ч ! 1 .
в Ч\ — х бх равен площади Я полукруга: Я =- — кВ2 = — к ° 14= — . 2 2 2 -! в йгжц: 2 281 й 4. Начали анализа 276а) Построим графики функций у [х — 1( и Ыз — 5+(х[. 1'рафики Функций у, и д пересекаются в точках В ( — 8: 81 и В (8; 85 Легко проверить, что исконна Фигура АВСВЕР симметрична относительно оси ординат. Позтому сначала найдем площадь фигуры С[УЕР. Эта 1 площадь В = ) (йехтхз-1)с(х е е з е) (5ех — х'+1)Ы« = ) (х~ьхе4)с(х+ 1 е 3 1 [1 е)(-х +хе6)1с(«=1 — + — +4х) е1- — + — +бх) =~ — + — +4)+ 1 о (21 В '1 (1 1 '1 6 е(- — +-+18) — 1--е-+6) = 4 — + 18- — 6 — = 12-. 3 2 ) ( 3 2 ) 6 2 6 6 Было учтено, что при х 6 [О; 8[ функция у = 5+ 3, при х 6 [О; Ц функция у, = 1 — «3, а при х 6 [1; 8[ функция у, - хз — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
