atnasyan-gdz-9-2001 (546188), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

СА и СВ — касательные, то MC=CN=rАС2+ВС2=АВ2,2АС2=c2,AM=BN=АС=c 22c 2–r,2АВ=АЕ+ЕВс=2(c 2–r)=c 2 –2r2C=2πr=2πr=c ( 2 − 1),2c ( 2 − 1)=πc ( 2 − 1) .2в) Дано: ∆АВС– описанный около Oкр(O; r), ∠C=90°, АВ=с, ∠A=αНайти: CРешение:BC=c⋅sinα,AC=c⋅cosαТак как СВ и СА — касательные, то CK=CN=r,BN=BC–r, AK=c⋅cosα– r, AB=c, иc⋅sinα –r+c+c⋅cosα –r=cc(sinα + cosα –1)=2r,12r=c (sin α + cos α − 1)2C=2πr=πc(sinα + cosα –1).г) Дано: ∆АВС – описан около Окр(O; r), АВ=ВС, ∠A=α, ВН⊥AC,BH=hНайти: CРешение:AH=BHh=.

Пусть HО=r, тогдаtg∠A tgααα h ⋅ tg 2r=AH⋅tg =2tgαC=2πr=2ππhtα2tgα1106.C=2πr500⋅2πr=9892r=d=989≈0,63 м.500π1107.1 м=1, экватор=40000 км40000000С=2πR =400002R =40000≈12739π1108.R=6370+320=6690 кмС=2πR =2π⋅6690≈42013,2 км1109.Дано: Окр(O; 6 см); а) ∠AOB=30°, б) ∠AOB=45°, в)∠AOB=60°, г) ∠AOB=90°.Найти: CРешение:πR⋅α,l=18013π ⋅ 6 ⋅ 30= π см;180π ⋅ 6 ⋅ 60= 2π смв) l=180π ⋅ 6 ⋅ 45 3= π см;1802π ⋅ 6 ⋅ 90г) l== 3π см.180а) l=б) l=1110.Дано: АВ=47,1 мм; d=450 ммНайти: число зубьевРешение:С=2πr С≈3,14⋅450=14131413:47,1=301111.Дано: Oкp(O; R), d=58 см, ∠AOB=117°Найти: число зубьевРешение:1d=29 см,2πRπ ⋅ 29 ⋅ 117°l=⋅α=≈59,189 см180°180°R=1112.Дано: ∠AOB=38°, АВ=24 смНайти: AOРешение:πR⋅α18024 ⋅ 180R=≈36,21π ⋅ 38l=l=24 см,1113.Дано: AB=400 м, АO=5 кмНайти: ∠AOBРешение:πRπ ⋅ 5000 ⋅ α⋅α400=180180400 ⋅180α=≈4°35'π ⋅ 5000l=141114.S=πR2,SπR=S12,5678,590,2649π9258,26R251,6927754,31115.а) S – увеличится в k2 раз.9,4236,251,41б) S – уменьшится в k2 раз.1116.a) Дано: ABCD – прямоугольник вписан в круг(O; R), АВ=а, ВС=b.Найти: SкругаРешение:R=a2 + b21AC, AC = a 2 + b 2 , т.е.

R =22S = πR2 = πa 2 + b24б) Дано: ∆АВС – вписан в круг (O; R), ∠C=90°,АС=а, ∠B=αНайти: SкругаРешение:R=a1AB, AB =, т.е.sin α2R=a2 sin αS = πR2 =πa 24 sin 2 αв) Дано: ∆АВС – вписан в круг, АВ=ВС, АС=а,BH⊥AC, BH=hНайти: SкругаРешение:АО=R, то ОН = h–R. По теореме Пифагора:АО2=ОН2+АН2R2=(h–R)2+a2a2=h2–2hR+R2+442hR=h2+a2,415R=S=πR2=4h 2 + a 28hπ( 4h 2 + a 2 ) 264h 21117.а) Дано: ∆АВС – описан около круга (O; r),АВ=ВС=АС=аНайти: SкругаРешение:АВ = r⋅2 3 ,=a 36S = πr2 =πa 2.12r=a2 3б) Дано: ∆АВС – описан около круга (O; r), ∠C=90°,АС=а, ∠A=αНайти: SкругаРешение:AB =a;cos αBC = atgαТак как СВ и СА – касательные, то NC=KC=r, т.е.BN=BM=atgα–rАК=АМ=а–r,получим АМ+МВ=АВa,cos αa (sin α + cos α − 1)a (sin α + cos α − 1)a2r=a(tgα+l)–=, r=cos αcos α2 cos αatgα–r+a–r=S=πR2=πa 2 (sin α + cos α − 1) 24 cos 2 α.в) Дано: ∆АВС – описан около круга (О; r), АВ=ВС=а, ∠B=aНайти: SкругаРешение:α; ∠H=90°; АВ=а;2ααAH=asin ,BH=acos .22В ∆АВС: ∠B=16∆АВН~∆ОВЕ (по 2 углам), т.е.AB BH AH==OB BE OEaa cosα−r2=a sinα2r,αα 1α–r)⋅asin = a2sinα–arsin22 22a sin αα1 2ar(1+sin )= a sinα,r=α222(1 + sin )ar=(acos2S=πr2=22πa sin αα24(1 + sin ) 2г) Дано: ABCD–трапеция, описана около круга (О;r); AB=CD, AD=a, ∠A=αНайти: SкругаРешение:Так как AD и AB – касательные, то AM=AF и АО – биссектриса,значит ∠OAF=α.2∆АОF: ∠F=90°, ∠A=αaa α, AF= , R=OF=AF⋅tg∠A; OF= tg2222S=πR2=πa2 2 αtg.241118.Дано: Круг (О; R), d=6,6 ммНайти: SРешение:S=πR2, R=1d, R=3,3 мм,2S=π3,32 =π⋅10,89≈3,14⋅10,89=34,2 мм21119.Дано: Круг (О; R), С=41 мНайти: d и SРешение:C=2πr, т.к.

2r=d, то 41=π⋅d, d=41≈13,02 мπS=πr2 ≈ 3,14⋅6,52=133,84 м2.171120.Дано: круг (О; R1), круг (О; R2); R1=l,5 см, R2=2,5 смНайти: SкольцаРешение:Sкольца=π(R22–R12)=π(6,25–2,25)=4π см21121.Дано: кpyr (О; R1), круг (О; R2); Sкpyra1=314 мм2, АВ=18,5 ммНайти: dРешение:R2=3141АВ, R2=9,25 мм; Sкp1=πR1,=R12,2πследовательно R1≈ 100 = 10 . 10–9,25=0,75 мм – слой нужно снять.1122.Дано: ОА=3 мм, d=l м, 1 м2–0,8 дм3Найти: VРешение:Sкольца=Sб–SмSб=πOB2=π42=16π м2,Sм=πOA2=π32=9π м2,22Sкольца=16π м – 9π м = 7π м2V=7π⋅0,8=5,6π дм3≈17,6 дм3.1123.Дано: Oкр(О; r); ABCD – квадратНайти: SоcтРешение:АВ=AC 2=r 22Sкруга=πr2Sквадрата=2r2Sоcт=Sкpyra–Sквадрата=r2(π–2).1124.Дано: r1<r2<r3<r4, r1=1, r2=2, r3=3, r4=4Найти: S1, Sкол1, Sкол2, Sкол3Решение:S1=π; S2=4π, S3=9π; S4=16π;Sкол1=S2–S1=3πSкол2=S3–S2=5πSкол3=S4–S3=7π181125.Дано: ∆ABC, ∠C=90°; AC — диаметр Окр(O1; r1); BC— диаметр Окр(O2; r2); AB — диаметр Окр(O3; r3)Доказать: S3=S1+S2Доказательство:111πr32; S2= πr22; Sl= πr122221111Sl+S2= πr12 + πr22= π(r12+r22)= πr32,2222S3=так как по т.

Пифагора(111АС)2+( ВС)2=( АВ)2,22211(АС2+ВС2)= АВ244утверждение доказано.1126.Дано: круг (О; 10), ∠AOB=60°Найти: SocтРешение:Socт=Sкpyra–SАВСSкруга=100π,SАВС=π ⋅100 ⋅ 60 100π,=3606Sост=500 π/6≈261,7 см21127.Дано: Sceк=S, ∠AOB=72°Найти: AOРешение:Sсек=πR 2 ⋅ α360oR = AO =S=,π ⋅ R 2 ⋅ 72,3605Sπ1128.Дано: ENKM – квадрат, EN=aНайти: SABCDРешение:SABCD=SENKM–4SANBSceк=πR 2 ⋅ α360o, следовательно192aπ  ⋅ 90πa 2SANB= 2 =36016SABCD=a2 – 4πa 2πa 2 a 2 (4 − π)= a2–=16441129.Дано: n-угольник; а) β=18°, б) β=40°, в) β=72°, г)β=60°Найти: nРешение:360360а) β=18°, n ==20;б) β=40°, n ==9;1840360360в) β=72°, n ==5;г) β=60°, n ==6.72601130.Дано: ∆АВС, АВ=ВС=АС вписан в Окр(О; 3 дм); ACDE – квадратвписан в Окр(O1; R)Найти: RРешение:Так как ∆АВС — правильный, то AB=R 3 , т.е.АВ=3 3 дм, значит сторона квадрата равна 3 3 дм.EO1=O1C, следовательно R=1EC.2EC2=ED2+DC2=27+27=54EC=3 6 , т.е.

R=3 621131.Дано: А1А2А3А4А5Аб — правильный; A1A4=2,24смНайти: PРешение:Так как 6-угольник правильный, то A1A2=RR=1A1A4=l,12 cм2Р=6⋅A1A2=6⋅1,12=6,72 см201132.Дано: ∆ABC – правильный и KMNF – квадрат; а) вписаны в однуОкр; б) описаны около одной ОкрНайти: S∆:SРешение:а) Пусть KM=x, R — радиус;FN2+NM2=FM22x2=4R222x =2R ,x=R 2 ,т.е. FN=NM=R 2 .S=NM2=( R 2 )2=2R2AB=R 3 , т.к. ∆АВС – правильный, тоS∆=3 3 3R 211=⋅АВ2⋅sin60° = ⋅3R22224значитS∆13 3R 23 3=⋅ 2=S482Rб) Пусть r – радиус окружностиMN=2r ⇒S =4r2AB=2 3 r ⇒S∆=311AB⋅AC⋅sin60°= 12r2= 3 3 r2222S∆ 3 3r 2 3 3==S44r 21133.Дано: A1A2...A12 – правильный вписанный в Oкр(O; R);A1A6∩А2А9=ВДоказать: а) ∆А1A2B и ∆А6A9B — правильные; б) A1A6=2rДоказательство:а) т.к. правильный 12-угольник вписан в окружность, то каждая дугаA1A2= A2A3=…= A11A12=360°:12=30°, имеем11⋅A2A4A6= ⋅120°=60°2211∠A1A2B= ⋅A1A11A9= ⋅120°=60°22∠A2A1B=2111⋅A1A11A9= ⋅120°=60°2211∠А6А9В= ⋅А2А4Аб= ⋅120°=60°22∠А9А6В=т.к.

сумма углов треугольника 180°, то ∠A1BA2=∠A6BA9=60°, т.е.∆А1А2В и ∆АбА9В – правильные.б) ∠А1А6А7 – вписанный, ∠А1А6А7=1A1A10A7=90°, т.е.2А6А1⊥А1А12 и ОН2⊥А1А12 ⇒ ОН2А1А6Так же и ∠A12A1A6=90°, А1А6⊥А6А7 и ОН1⊥А6А7 ⇒ ОН1А1А6Получаем, что 4-угольник AlA6H1H2 — прямоугольный, т.е.A1A6=H1H2=2r.1134.Дано: A1A2...A10 – правильный; A1A4∩A2A7=BДоказать: а) A2A7=2R; б) ∆A1A2B~∆BA4O; в) A1A4–A1A2=RДоказательство:Так как правильный 10-угольник вписан в окружность, то каждаядуга A1A2= A2A3=…= A9A10=360°:10=36°.∆A1A2B и ∆А4ВО:∠A1A2B=∠А4ВО,1A2A4=36°,21∠A2= A1A7=72°, ∠O=A2A4=72° ⇒ ∠A2=∠O2∠A1=∆A1A2B~∆A4BO (по двум углам).Рассмотрим ∠A2OA7 — это центральный угол, тогда∠A2OA7=∠А2А4А7=180°, значит А2А7 – диаметр, т.е.

A2A7=2R.∆A1A2B – равнобедренный, т.к. ∠A2=∠B=72°, значит, A1A2=A1B.∆ВА4O – равнобедренный, т.к. ∠B=∠O=72°, значит ВА4=А4O.A1A4–A1A2=A1A4–A1B=BA4=A4O=R, суть утверждения задачи.1135.Дано: ABCDEF – правильный; Sокр=36π см2Найти: AB и SРешение:Sокp=πR2; 36π=πR2, значит R2=36 ⇒ R=6; т.к. AB=R,то AB=6 см.S=62213AB2⋅sin 60°=3⋅36=54 3 cм2.221136.Дано: A1A2A3A4 – квадрат, вписан в Окр (O;R)Доказать: В1С3В2С4В3С1В4С2 – правильныйДоказательство:Докажем, что все стороны равны:A1B1=A2C2=R, A1A2=A1C2+C2B1+B1A2, если C2B1=x,тоx+R–x+R–x=2R–x=A1A2x=2R–A1A2Аналогично: C3B2=C4B3=C1B4=2R–A1A2, т.к.

A1A2=R 2 , тоC2B1=...=B4C1=R(2– 2 ).Докажем, что C2B1=B1C3.По т. Пифагора из ∆В1С3:B1C3= 2(R − x) 2B1C3= 2 (R–x).Подставим x:B1C3= 2 (R–2R+R 2 )B1C3=2R–R 2Получаем, что все стороны равны.Докажем, что все углы равны:∆А1С2В4=∆В1А2С3=∆В2А3С4=∆В3А4С1 – прямоугольныеравнобедренные треугольники, острые углы по 45°. Углымногоугольника являются смежными с внутренними угламитреугольников, т.е. ∠C2=∠B1=∠C3=∠B2=∠C4=∠B3=∠C1=∠B4=135°Заключаем, что B1C3B2C4B3C1B4C2 – правильныйS=8⋅S∆B1OC2S∆B1OC2=1OB1⋅OC2⋅sin∠B1OC22∠B1OC2=45° (т.к.

все углы по 135°), то в ∆B1OC2: ∠B1=67,5°,∠C2=67,5°.OB1 и OC2 выразим через R по т. косинусов:B1C22=OB12+OC22–2⋅OB1⋅OC2⋅cos 45°R2(2– 2 )2=x2+x2–2x222R2(2– 2 )2=x2(2– 2 ) ⇒ x=R 2 − 2S∆B1OC2=2 (2 2 − 2)R 211R 2 − 2 R 2 − 2 sin45°= R2(2– 2 ) 2 =224S=8⋅S∆B1OC2=8( 2 − 1)R 2=4( 2 –1)R2.2231137.Дано: круг (О; R); R=6370 км; 2С=84152 кмНайтти: dРешение:С=2πr, 42076=2πr, r=6700 кмd=r–R=6700–6370=330 км1138.Дано: ABCD – ромб описан около Окр(О; R)Найтти: CРешение:а) ВD=6 см, АС=8 см.∆ABO: АO=4 см, АВ=5 см, ВO=3 см (по т.

Пифагора).SABCD=11AC⋅BD= ⋅6⋅8=24 см2;22SABCD=BC⋅2R24=5⋅2RR=2,4 cмBB1=a⋅sinαС=2πR=2⋅3,14⋅2,4≈15,072 смб) АВ=а, ∠A=α∆ABB1: ∠B1=90°, ∠A=α, АВ=аBB1=a⋅sinαR=asinα1BB1=22С=2πR=πa⋅sinα1139.Дано: круг (O; R), v=4 км/ч, t1>t2 нa3ч4Найти: CкругаРешение:Пусть время, если идти по диаметру, равно t, тогдаR=отсюда С=4πt, но: S=4(t+11АВ= 4t=2t,2233), т.к. C=S, то 4πt=4(t+ )=4t+3,443t=≈0,354π − 4С=4π⋅0,35≈4,396 км241140.Дано: правильный n-угольник описан околоокружностиДоказать:SC=Sn PnДоказательство:1S=πR ; Sn= Pn⋅R ⇒22S2πR CπR 2=1==SnPnPnPn ⋅R21141.Пусть дана хорда AB=6 см.Для квадрата a4= 2 R1, где a4 — сторона квадрата,а R1 — радиус описанной около него окружности,значит, R1 =a42=AB2=62= 3 2 см.Для правильного шестиугольника a6=R2, где a6 —сторона шестиугольника, а R2 — радиус описанной около негоокружности, значит, R2=a6=6 см.Большая длина дуги AB для окружности, в которую вписан квадрат,2πR1 3πR1l1=2πR1–=; a большая длина дуги AB для окружности, в42которую вписан шестиугольник l2=2πR2–2πR2 5πR2=.

Искомая63сумма длин этих дуг:3πR1 5πR29 2 5⋅6π+=π(+)= (9 2 +20) смl1+l2=323221142.Дано: ABCD — трапеция, AB=13 см,AD=14 см, BC=4 смНайти: C описанной окружностиРешение:Т.к. вокруг трапеции можно описатьокружность, то она является равнобокой.AH =14 − 4= 5 см225sinA =513cosA = 1 −25 12=169 13Из тр-ка ABD:BD = 196 + 169 − 2 ⋅ 13 ⋅ 14cosA = 365 − 336 = 5BD= 2RsinAR=5 ⋅ 13= 6,52⋅5C=2πR=13π см1143.Рассмотрим ∆АВС с прямым углом ACB, пусть CH —высота, опущенная на гипотенузу. Из того, что2S AC  = ∆AHC = k 2 , где k —S∆CHB BC ∆АHС~∆CHВ, следует коэффициент подобия эти треугольников.S∆AHC =1P∆AHC ⋅ r1 ,2где r1 — радиус вписанной в ∆АHС окружности.S∆CHB =1P∆CHB ⋅ r2 ,2где r2 — радиус вписанной в ∆CHВ окружности.Получим, что1P∆AHC ⋅ r1r=k⋅ 1k = 21r2⋅rP2 ∆CHB 22, следовательноr1=k.r2Длина окружности, вписанной в ∆АHС равна 2πr1, а в ∆CHВ равна2πr2, значит, отношение длин этих окружностей2πr1 r1= =k .2πr2 r2Что и требовалось доказать.1144.Так как 8-угольник правильный, то ∠=135°.Построим ∆АВС по двум сторонам и углу междуними, т.к.

∠=135°; по свойству угловтреугольника ∠A=∠C=45°.Строим ∆АСО: по АС и прилежащим углам по45°. Точка О – центр окружности радиусом OD;дальше построение симметрично точке О.261145.Дано: круг (О1; R1), круг (О2; R2); S3=S1+S2Построить: круг (О3; R3)Построение:Так как S3=S1+S2, то R32=R12+R22. Построимпрямоугольный треугольник с катетами R1 и R2, егогипотенуза и будет R3.

Построим круг с радиусом R3.1146.а) Дано: окр(О; R)Построить: ∆АВС: OA=OB=OC=RПостроение:Впишем в окружность правильный ∆АВС, затемчерез каждую вершину проведем прямыепараллельные противоположной стороне.Фигура, образованная пересечением 3-ех сторон – искомыйтреугольник.б) Дано: окр(О; R)Построить: описанный 6-угольникПостроение:Построить вписанный 6-угольник со сторной ровнойR. Через точки А1, B1,..., F1 провести прямыеперпендикулярные OA1, OB1, ..., OF1, эти прямые пересекутся вточках А, В, С, D, Е, F; ABCDEF – искомый 6-угольник.1147.а) Дано: окр(О; R)Построить: описанный квадратПостроение:Построить два взаимно перпендикулярных диаметраAlB1⊥C1D1. Через C1 и D1 построить прямые,параллельные A1B1, а через A1 и B1 – параллельные C1D1, этипрямые пересекаются в точках А, В, С, D; ABCD – искомыйквадрат.б) Дано: окр(О; R)Построить: описанный 8-угольникПостроение:Через т.

Характеристики

Список файлов книги