atnasyan-gdz-9-2001 (546188), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

y(0)=–5, то25b=–5y= − x − 5255Ответ: y= − x ± 5 y= x ± 5225в + с = 02 а + с = 0982.Дано: В∈АС, АВ=ВС, АС=2.Найти множество точек М:а) АМ2+ВМ2+СМ2=50;б) АМ2+2ВМ2+3СМ2=4Решение:а) Введём систему координат так, как показано на рисунке.А(–1; 0); С(1; 0); М(х; у); B(0; 0). AM 2 = (x + 1) 2 + y 2222BM = x + y22CM = (x − 1) + y 2(x+1)2+y2+x2+y2+(x–1)2+y2=50; x2+2x+1+3y2+x2+x2–2x+1=50;3х2+3у2=48;22х +у =16 – окружность с центром в т. B и R=4б) Как и в предыдущей пункте,(х+1)2+у2+2(х2+у2)+3((х–1)2+у2)=4;2х +2х+1+у2+2х2+2у2+3х2–6х+3+3у2=4;6х2–4х+6у2=0;3х2–2х+3у2=021 1113(х2– х+ – )+3у2=0,3(х– )2– +3у2=09 933313(х– )2+у2=111– окружность, с центром в точке ( ; 0) и R= .933983.Дано: А, В; k — данное числоНайти множество всех точек М:АМ2+ВМ2=k2Введём систему координат так, какпоказано на рисунке, А(0; 0); В(а; 0); М(х;у)AM2 = x 2 + y 2⇒ x 2 + y2 + (a − x)2 + y2 = k 2BM 2 = (a − x)2 + y 22х2–2ах+2у2=k2–а2,2(х2–ах+22аа−)+2у2=k2–а2,44это окружность с центром в точке (а2(x– ) 2 +у2=2k 2 - а 2,42k 2 − a 2a; 0) и R=, но422k 2 − a 2a≥ 0, ⇒ k ≥42985.Дано: А и ВНайти множество точек М таких, ВМ2–АМ2=2АВВведем систему координат так, как показано на рисунке.А(0; 0); В(а; 0); М(х; у)ВМ2=(а–х)2+у2 АМ2=х2+у2АВ2=а2,22222значит (а–х) +у –(х +у )=2а ; –2ах=а2, х=–a –прямая, ⊥ прямой AB и проходящая черезточку симметричную т.

B.986.Дано: ABCD – прямоугольникНайти множество точек М: (AM2+DM2)–(BM2+CM2)=2AB2Введем систему координат так, как показано на рисунке.А(0; 0); D(a; 0); B(0; b); C(a; b); М(х; у)AM2=x2+y2;DM2=(a–x)2+y2;222BM =x +(b–y) ;CM2=(a–x)2+(b–y)2;2АВ =b2,Сложив, получим(x2+y2+(a–x)2+y2)–(x2+(b–y)2+(a–x)2+(b–y)2=2b2x2+y2+a2–2ax+x2+y2–x2–b2+2by–y2–a2+2ax–x2–b2+2by–y2=2b2–2b2+4by=2b2; 4by=4b2y=b — прямая, проходящая через ВС.987.Дано: ABCD – ромб; АС=2а, BD=2bНайти множество всех М, таких, что AM2+DM2=BM2+CM2Введем систему координат так, как показано на рисунке.А(–а; 0); С(а; 0); B(a; b); D(0; –b); М(х; у)АМ2=(х+а)2+у2;DM2=x2+(b+y)2;222BM =x +(b–y) ;СМ2=(а–х)2+у2.Сложив, получим(х+а)2+у2+х2+(b+у)2=х2+(b–у)2+(а–х)2+у2;222x +2ax+a +y –x2+b2+2by+y2=x2+b2–2by+y2+a2–2ax+x2+y2;2ax+2by–0;ax+by=0.y=–ax – прямая, проходящая через точку пересечения диагоналейbО и ⊥ стороне ромба.988.r rДано: a и b не коллинеарныrrНайти х, чтобы p и q были коллинеарны.а) p = 2a − b ; q = a + x b ,2 −11= ; x=– ;1x2−1б) p = x a − b ; q = a – x b , x = ; х2=–1 решений нет, т.е.

p и q не1xколлинеарны;xв) p = a + x b ; q = a –2 b , 1 =; х=–2;1 −22 1г) p =2 a + b ; q =х a + b , = ; х=2.x 1989.rrНайти p{x, y} и | p |а) p =7 a –3 b , a {1; –1}, b {5; –2}p {7⋅1–3⋅5; 7⋅(–1)–3⋅(–2)} ⇒ p {–8; –1}p = 64 + 1 = 65б) p =4 a –2 b , a{6; 3}, b {5; 4}p {4⋅6–2⋅5; 4⋅3–2⋅4} ⇒ p {14; 4}p = 196 + 16 − 212 = 2 533 1 5 531p { 5 ⋅ –4⋅6; 5 ⋅ –4⋅(–1)} ⇒ p {–21; 5}55в) p =5 a –4 b , a  ;  , b {6; –1}p = (−21) 2 + 52 =441 + 25 = 466г) p =3(–2 a –4 b ), a {1; 5}, b {–1; –1}p {3⋅(–2⋅1–4⋅(–1)); 3⋅(–2⋅5–4⋅(–1))} ⇒ p {6; –18}p = 36 + 324 = 360 = 6 10990.Дано: a {3; 4}, b {6; –8}, c {l; 5}; p = a + b , q = b + c ,r =2 a – b + c , s = a – b – cНайти: а) координаты p , q , r , s ; б) | a |, | b |, | p |, | q |а)б)p {3+6; 4–8}= p {9; –4},q {6+l; –8+5}= q {7; –3},r {6–6+l; 8+8+5}= r {l; 21},s {3–6–1; 4+8–5}= s {–4; 7};a = 9 + 16 = 25 = 5 ,b = 64 + 36 = 100 = 10p = 81 + 16 = 97q = 49 + 9 = 58991.Дано: M1(x1; 0); M2(x2; 0)Доказать: d=x1–x2d=M1M2= ( x1 − x2 ) 2 + 0 = ( x1 − x2 ) 2 = x1–x2.992.Дано: A(4; 8); B(12; l 1); C(7; 0)Доказать: ∆АВС – равнобедренныйAB= (4 − 12) 2 + (8 − 11) 2 = 64 + 9 = 73 ,AC= (4 − 7) 2 + 82 = 9 + 64 = 73 ,BC= (12 − 7) 2 + 112 = 25 + 121 = 146 .Т.к.

AB=AC, то ∆АВС – равнобедренный; т.к. BC≠AC=AB, то ∆ABC— не равносторонний.993.Дано: А(–5; 6); В(3; –9); С(–12; –17)Доказать: ∠A=∠CАВ= (3 + 5) 2 + ( −9 − 6) 2 = 64 + 225 = 289 = 17CB= (3 + 12) 2 + ( −9 − 17) 2 = 225 + 64 = 289 = 17 ,Т.к. АВ=ВС, то ∠A=∠C.994.а) Дано: D(1; 1), A(5; 4), B(4; –3), C(–2; 5).Доказать: AD=BD=CD.AD = (1 − 5) 2 + (1 − 4) 2 = 16 + 9 = 25 = 5DB = (1 − 4) 2 + (1 + 3) 2 = 9 + 16 = 25 = 5 ,DC = (1 + 2) 2 + (1 − 5) 2 = 16 + 9 = 25 = 5то AD=BD=CD;б) Дано: D(l; 0), А(7; –8), В(–5; 8), С(9; 6).Доказать: AD=DB=DCAD = (7 − 1)2 + (−8)2 = 36 + 64 = 100 = 10DB = (1 + 5)2 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102,2DC = (9 − 1) + 6 = 64 + 36 = 100 = 10то AD=DB=DC995.Дано: M1(–2; 4); М2(6; 8); Е(х; 0), M1E=EM2Найти: xM1E= (x + 2) 2 + 42M 2E = (x − 6) 2 + 82 ,т.к.

M1E = EM 2 , то(x+2+x–6)(x+2–x+6)=48;(x+2)2+16=(x–6)2+64;(2x–4)8=48 ⇒ 2x–4=62x=10 x=5,то E(5; 0)996.Дано: A(–5; 13); B(3; 5); C(–3; –l); M, N, К — середины сторон АВ,ВС, АСНайти: а) координаты точек M, N, K; б) BK; в) MN, MK, NKx A + xB − 5 + 3== −1 xM =22M(–1; 9)а) yy+13+5B yM = A==922x + xC 3 − 3x = B==0 N22N(0; 2)yy5 1 yN = B + C = − = 222x A + xC − 5 − 3== −4 xK =22K(–4; 6)yy13 1 yK = A + C = − = 622б) BK=(3 + 4) 2 + (5 − 6) 2 = 49 + 1 = 5 2в) MN= 12 + (2 − 9) 2 = 1 + 49 = 5 2 ;NK= 42 + (2 − 6) 2 = 16 + 16 = 4 2 ;MK= (−1 + 4) 2 + (9 − 6) 2 = 18 = 3 2997.Дано: А(3; 2); В(0; 5); С(–3; 2); D(0; –l)Доказать: ABCD – квадратAB =BC =CD =AD =9+9 = 39+9 = 39+9 = 39+9 = 322 ⇒22ABCD — ромб; далее: АС= 36 =6, BD = 36 = 6 , т.к.

диагоналиромба равны, то ABCD – квадрат.998.Дано: А(–2; –3); В(1; 4); С(8; 7); D(5; 0)Доказать: ABCD – ромбНайти: SABCDAB = (1 − (−2))2 + (4 − (−3))2 = 9 + 49 = 58BC = (8 − 1) 2 + (7 − 4) 2 = 49 + 9 = 58CD = (5 − 8) 2 + (0 − 7) 2 = 9 + 49 = 58AD = (5 − (−2))2 + (0 − (−3))2 = 49 + 9 = 58Так как AB=BC=CD=AD, ABCD – ромб.AC= 100 +100 = 10 2 BD= 16 + 16 = 4 2SABCD=11AC⋅BD= 10 2 ⋅4 2 =4022999.Дано: ABCD – параллелограмм; A(–4; 4); B(–5; l); C(x; y); D(–l; 5)Найти: (x; y).AB= (−5 − ( −4))2 + (1 − 4) 2 = 1+ 9 = 10BC= (x + 5) 2 + (y − 1) 2AD= (−1 − (−4))2 + (5 − 4) 2 =CD= (x + 1)2 + (y − 5) 29 + 1 = 10т. к.

в параллелограмме противоположные стороны равны, то(x + 5) 2 + (y − 1) 2 = 10x 2 + 10x + 25 + y 2 − 2y + 1 = 10 222(x + 1) + (y − 5) = 10x + 2x + 1 + y 2 − 10y + 25 = 108x + 8y = 0x = − y2222++−=(x1)(y5)10(1 − y) + (y − 5) = 101–2у+у2+у2–10у+25–10=0;у1=4; у2=2если у=4, то х=–4; следовательно C(–4; 4);если у=2, то х=–2; следовательно С(–2; 2).у2–6у+8=01000.а) (х–1)2+(у+2)2=25 окружность с центром (1; –2) и R=5;б) х2+(у–7)2=1 окружность с центром (0; 7) и R=l;в) х2+у2+8х–4у+40=0, (х+4)2+(у–2)2=–20 — не окружность;г) х2+у2–2х+4у–20=0, (х–1)2+(у+2)2=25 окружность с центром (1; –2)и R=5;д) х2+у2–4х–2у+1=0, х2–4х+4+у2–2у+1–4=0, (х–2)2+(у–1)2=4окружность с центром (2; 1) и R=2.1001.Дано: А(3; 0)∈Oкp(O; R), B(–l; 2)∈Окр(O; R); O∈l: y=x+2.Написть уравнение окружности.Решение:R=AO= (3 − x) 2 + y 2 ; R=BO= (−1 − x) 2 + (2 − y)2 , то(3–x)2+y2=(l+x)2+(2–y)2; 9–6x+x2+y2=l+2x+x2+4–4y+y2;4y–8x+4=0;с другой стороны, точка O удовлетворяет уравнению: у=х+2, то4 y − 8 x + 4 = 0 4 x + 8 − 8 x + 4 = 0 4 x = 12  x = 3y = x + 2y = x + 2y = x + 2 y = 5т.е.

O(3; 5), следовательно R=AO= 25 = 5 , и уравнение окружностиимеет вид: (х–3)2+(у–5)2=251002.Дано: А, В, С∈Окр (О; R);а) А(1; –4), В(4; 5), С(3; –2); б) А(3; –7); В(8; –2); С(6; 2).Найти уравнение окружности.а) АO= (1 − x) 2 + (−4 − y)2 , ВO= (4 − x) 2 + (5 − y)2 ,CO= (3 − x) 2 + ( −2 − y)2 .AO2=BO2:(1–х)2+(4+у)2=(4–х)2+(5–у)2;(1–x–4+x)(1–x+4–x)=(5–y–4–y)(5–y+4+y);–3(5–2x)=(1–2y)92x–5=3–6yx=4–3yBO2=CO2:(4–x)2+(5–y)2=(3–x)2+(2+y)2;(4–x–3+x)(4–x+3–x)=(2+y+5–y)(2+y–5+y);7–2x=7(2y–3)–2х–14у+28=0, х=14–7у,14–7у=4–3у,10=4yy=7 557, x = − ; т.е. O(– ; )2 222722522R=AO= 1 +  +  4 +  =уравнение окружности: (х+81 169+=441257 25) +(у– )2=222б) AO= (3 − x) 2 + (7 + y)2 , BO= (8 − x) 2 + (2 + y)2 ,CO= (6 − x) 2 + (2 − y)2 .AO2=BO2:250125=42(3–х)2+(7+y)2=(8–x)2+(2+y)2;9–6x+x +49+14y+y2=64–16x+x2+4+4y+y2;10x+10y–10=0,x+y–1=0,x=1–yBO2=CO2:(8–x)2+(2+y)2=(6–x)2+(2–y)2;264–16x+x +4+4y+y2=36–12x+x2+4–4y+y2;–4x+8y+28=0,x–2y–7=0,x=7+2y1–y=7+2y,–6=3yy=–2, x=3, т.e.

O(3;–2)2R=OA= (3 − 3) 2 + (7 − 2) 2 = 25 = 5уравнение окружности: (x–3)2+(y+2)2=251003.Дано: A(–7; 5); B(3; –l); C(5; 3)Написать уравнения прямых: а) АВ, ВС, АС;б) средних линий;в) серединных перпендикуляров.Решение:а) AB:− 7 a + 5b + c = 0 − 7 a + 15a + 5c + c = 0 8a = −6c 3a − b + c = 0  b = 3a + cb = 3a + c35− cx − cy + c = 0443a = − 4 c5b = − c43x+5y–4=0BC:b = 3a + c3a − b + c = 0 b = 3a + c25a + 3b + c = 0 5a + 9a + 3c + c = 0 a = − 7 c21− cx + cy + c = 0771b= c7a = − 2 c72x–y–7=0AC:1a=− c−−=21a15b3c0abc750−++=235a + 3b + c = 0 25a + 15b + 5c = 0 b = − 6 c23−16cx −cy + c = 0x+6y–23=02323xA + xB − 7 + 3== −2x M =22б) → M(−2;2)y + yB 5 − 1y M = A==222x + xC 3 + 5x = B==4 N22→ N(4;1)y + yC − 1 + 3y N = B==122xA + xC − 7 + 5== −1x k =22→ K(−1;4)yk = y A + yC = 5 + 3 = 422MN:1− 2a + 2b + c = 0 2a = 2b + c a = − 10 c 4a + b + c = 0 b = −4a − c 6b = − c1016x+6y–10=0− cx − cy + c = 01010NK:54a + b + c = 0 b = −4a − c b = − 17 c− a + 4b + c = 0 a = 4b + c 3a = − c17353x+5y–17=0− cx − cy + c = 01717MK:1− 2a + 2b + c = 0 2b = 2a − c b = − 6 c− a + 4b + c = 0 a = 4b + c 1a = c311cx − cy + c = 02x–y+6=036в) l1⊥AB, AB: 3x+5y–4=0, l1: ax+by+c=0.

Из усл.перпендикулярности прямых находим, что3a+5b=0; 3a=–5b. При a=5, b=–3, l1: 5x–3y+c=0,т.к. M∈l1 т.е. 5(–2)–3⋅2+с=0, с=16, то l1:5x–3y+16=0l2⊥AC, AC: x+6y–23=0, из условияперпендикулярности прямых находим, что l2:6x–y+c=0, т.к. K∈12, то 6(–1)–4+с=0, с=10, то l2:6x–y+10=0l3⊥ВС, ВС: 2x–y–7=0, из условия перпендикулярности прямыхнаходим, что l3: х+2у+с=0, т.к. N∈l3, то 4+2+с=0 с=–6, то 13:х+2у–6=01004.Дано: l1: 3x–l,5y+l=0; l2: 2x–y–3=0.Доказать: l1║12.Условие параллельности прямых a1x+b1y+c1=0 и a2+b2y+c2=0:a1b2–a2b1=0.

Характеристики

Список файлов книги