atnasyan-gdz-9-2001 (546188), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

AC=BC, то9 +(5–у)2= 36+(4–у)2;(5–у)2−(4–y)2=36–9;(5−у−4+у)(5−у+4−у)=27;9−2у=27;у= −9.Ответ: С(0; −9).б) Дано: С(4; −3) и D(8; 1); E∈OY, CE=ED.Найти Е(х; у).Точка E имеет координаты (0; у),CE = 16 + ( y + 3) 2 ; ED = 64 + (1 − y ) 2 ,т.к. CE=ED, тоОтвет: E(0; 5).16+(у+3)2 =64+(1–у)2;(у+3)2–(1–y)2=64−16;(у+3–1+у)(у+3+1–у)=48;(2+2у)4=48;2+2у=12;2у=10 у=5949.а) Дано: А(1; 2);В(–3; 4); Е∈ОХ, АЕ=ЕВ.Найти Е(х; у).Точка Е имеет координаты (х; 0)AE = (1 − x) 2 + (0 − 2) 2 = (1 − x) 2 + 4 ;EB = (x + 3) 2 + (4 − 0) 2 = (x + 3) 2 + 16 .Т.к.

AE=EB, то(1–х)2+4=(х+3)2+16; (1–х)2−(х+3)2=12;(1–х–х–3)(1–х+х+3)=12;(–2х–2)⋅4=12; −2х=5; х=–2,5Ответ: Е(–2,5; 0)б) Дано: С(1; 1) и D(3; 5); M∈OX, CM=MDТочка М имеет координаты (х; 0)CM = (1 − x) 2 + (0 − 1) 2 = (1 − x) 2 + 1 ;MD = (3 − x) 2 + (5 − c) 2 = (3 − x) 2 + 25 ;(1−х)2+1=(3−х)2 +25;(1–х)2−(3−х)2=24;х=8−2⋅(4–2х)=24; 4–2х=−12;Ответ: М(8; 0)950.Дано: MNPQ — четырехугольник.Доказать: MNPQ — параллелограмм.а) M(1; 1); N(6; 1); P(7; 4) Q(2; 4).MN= (6 − 1) 2 + (1 − 1) 2 =PQ= (2 − 7) 2 + (4 − 4) 2 =25 = 5 ;NP= (7 − 6) 2 + (4 − 1) 2 = 1 + 9 = 10 ;MQ= (2 − 1) 2 + (4 − 1) 2 = 1 + 9 = 10 ;т. к. MN=PQ; NP=MQ, то MNPQ − параллелограммб) M(–5;l); N(–4;4); P(–l;5) Q(–2;2)MN = (−4 − ( −5)) 2 + (4 − 1) 2 = 1 + 9 = 10PQ = (−2 − (−1)) 2 + (2 − 5) 2 = 1 + 9 = 10NP = (−1 − (−4))2 + (5 − 4) 2 = 9 + 1 = 10MQ = (−2 − ( −5)) 2 + (2 − 1) 2 = 9 + 1 = 10Т.к.

MN=PQ=NP=MQ, то MNPQ – ромб25 = 5 ;951.Дано: ABCD — четырехугольник.Доказать: ABCD — прямоугольник.Найти SABCD.а) А(–3; –1); В(1; 1); С(1; –3) D(–3; –3).AB= 16 = 4; BC = 4 = 2; CD = 16 = 4; AD = 4 = 2;BD = 16 + 4 = 20 = 2 5; AC = 16 + 4 = 20 = 2 5 .т.к. AB=CD, BC=AD и BD=AC, то ABCD — прямоугольник (попризнаку — параллелограмм с равными диагоналями).SABCD = 4⋅2=8б) A(4; 1),B(3; 5), C(–1; 4), D(0; 0).AB = 1 + 16 = 17 ; BC = 16 + 1 = 17 ; CD = 1 + 16 = 17 ;AD = 16 + 1 = 17 ; AC = 25 + 9 = 34 ; BD = 9 + 25 = 34 .Т.к.

AB=BC=CD=AD, то ABCD — ромб; т.к. диагонали этого ромбаравны (AC=BD), то этот ромб – квадрат.S ABCD = 17 2 = 17 .( )954.Дано: ∆АВС, АВ=ВС; ВЕ=160 см, АС=80 см;АK, CF, BE – медианы.Найти CF, АK.13ВЕ=160 см, АС=80 см т.к. ОЕ= BE по свойствумедиан, то ОЕ=11⋅160 = 53 см331200см.332200 2= АK, АK=100. Т.к. ∆АВС —АО= АK по свойству медиан,333В ∆АОЕ: АО= AE 2 + OE 2 = 40 2 + (53 ) 2 =равнобедренный, то АK=СF=100 см.955.Дано: ∆АВС; BB1⊥AC; АЕ – медиана.Найти АЕ.Решение:BB1=10 см; AB1=10 см, ВС1=4 см введемсистему координат, где В1 — началокоординат.

Тогда А(–10; 0); С(4; 0); В(0;10), затем x E =y + yCx B + xC, xE=2; y E = B, yE=2 ⇒ E(2; 5).22AE= (10 + 2) 2 + (0 − 5) 2 = 144 + 25 = 169 = 13 см.956.Дано: ABCD — равнобедренная трапеция.Доказать: BD=AC.Введем систему координат как показано нарисунке, ось OY — ось симметрии, тогдаA(–x1; 0) и D(x1; 0); B(–x2; h) и С(x2; h).AС= ( x 2 + x1 ) 2 + h 2 ,BD= ( x1 + x 2 ) 2 + h 2 ,то AC=BD; ч.т.д.Обратно.Дано: ABCD – трапеция; AC=BD.Доказать: AB=CD.BBl⊥AD, CCl⊥AD.

Рассмотрим ∆BB1D и∆CC1A; BB1=CC1=h. ∆BB1D=∆CC1A (по катету и гипотенузе).Рассмотрим ∆АВD и ∆АСD: AD – общая; BD=AC (по условию);∠1=∠2, т.е. ∆ABD=∆ACD (по 2 сторонам и углу) ⇒ AB=CD.957.Дано: ABCD – параллелограмм; AC=BD.Доказать: ABCD – прямоугольник.Введем систему координат так, как показанона рисунке.AC2=(a+b)2+c2, BD2=(a–b)2+c2.Т.к.

AC=BD, то(a+b)2+c2=(a–b)2+c2,a2+2ab+b2=a2–2ab+b2,4ab=0,а=0 или b=0; допустим а=0, то D(a; 0) совместится с точкой А(0; 0)— это невозможно, т.е. а≠0, получим b=0, значит ABCD —прямоугольник. Что и требовалось доказать.958.Дано: ABCD – прямоугольникДоказать что для любой М: AM2+CM2=BM2+DM2.Введем систему координат так, как показанона рисунке, тогда А(0; 0); D(a; 0); В(0; с); С(а;с); М(х; у).АМ2=х2+у2,СМ2=(а–х)2+(с–у)2;222BM =x +(c–y) ;DM2=(a–x)2+y2.Складывая, получим:АМ2+СМ2=х2+у2+(а–х)2+(с–у)2=х2+(с–у)2+(а–х)2+у2;BM2+DM2=х2+(с–у)2+(а–х)2+у2.Что и требовалось доказать.959.а) х2+у2=9; O(0; 0); R=3б) (х–1)2+(у+2)2=4; O(1; –2); R=2в) (х+5)2+(у–3)2=25; O(–5; 3); R=5г) (х–1)2+у2=4; O(1; 0); R=2д) х2+(у+2)2=2; O(0; –2); R= 2960.А(3; –4); В(1; 0); С(0; 5); D(0; 0); E(0; l)a) x2+y2=25; точки A(3; –4) и C(0; 5), т.к.32+(–4)2=25;02+52=25.22б) (х–1) +(у+3) =9; В(1; 0), т.к.(1–1)2+(0+3)2=9.122в)  x −  + y 2 =1; точка B, т.к.421 11 −  + 0 2 = ;24точка D, т.к.211 0 −  + 02 = .24961.(х+5)2+(у–1)2=16, O(–5;1); R=4.А(–2; 4):(–2+5)2+(4–1)2≠16, 9+9≠16, 18≠16,т.к.

18>16, то А(–2; 4) вне круга;В(–5; –3):(–5+5)2+(–3–1)2=16, 0+16=16, 16=16,то В(–5; –3) на окружности;С(–7 –2):(–7+5)2+(–2–1)2≠16, 4+9≠16, 13≠16,т.к. 13<16, то С(–7; –2) лежит внутри круга;D(l; 5):(l+5)2+(5–l)2≠16, 36+16≠16, 52≠16,т.к. 52>16, то D(l; 5) лежит вне круга.962.Дано: х2+у2=25, А(3; 4) и В(4; –3)Доказать: АВ — хорда.Доказательство:Проверим, что точки A и B лежат на окружности:А(3; 4):32+42=25, 9+16=25, 25=25,В(4; –3):42+(–3)2=25, 16+9=25, 25=25,то и A и B ∈ окр. ⇒ AB – хорда.963.а) х2+у2=25, (–4)2+у2=25, 16+у2=25, у2=9, y1,2=±3, следовательно А(4;3) или А(4; –3).б) х2+32=25, х2=16, x1,2=±4.964.а) (3–3)2+(у–5)2=25, (у–5)2=25, y–5=±5 ⇒ y1=10, y2=0.Ответ: (3; 10) и (3; 0)б) (х–3)2+(5–5)2=25, (х–3)2=25, x–3=±5 ⇒ x1=8, x2=–2.Ответ: (8; 5) и (–2; 5)965.a) x2+y2=9б) x2+y2=2в) x2+y2=254966.14a) x2+(y−5)2=9в) (x+3)2+(y+7)2=б) (x+l)2+(y–2)2=4г) (x–4)2+(y+3)2=100967.Дано: Oкp(О; R); О(0; 0); B(–3; 3): B∈Oкp(О; R)Написать уравнение окружностиРешение:B(–1;3) центр окружности в начале координат, тоуравнение имеет вид x2+y2=R2, т.к.

B лежит наокружности, то OB=RОВ= (−1 − 0) 2 + (3 − 0) 2 = 1 + 9 = 10 , R = 10То уравнение окружности:х2+у2=10.968.Дано: Oкp(A;R); А(0;6); В(–3;2); B∈Oкp(A;R)Написать: уравнение окружностиРешение:x2+(y–6)2=R2=AB2R=AB= (0 + 3) 2 + (6 − 2)2 = 9 + 16 = 25 = 5То уравнение окружности имеет видх2+(у–6)2=25.969.Дано: Oкp(О; R); MN–диаметр этой окружностиНаписать уравнение окружностиа) если М(–3; 5); N(7; –3); т.к. MN — диаметр, то О —середина MN, иxm + xn x0 =2+ ynym y0 =2−3+ 7 x0 = 2 = 2⇒ O(2; 1)5−3 y0 ==12R=MO= (2 + 3) 2 + (1 − 5) 2 = 25 + 16 = 41,уравнение окружности имеет вид: (х–2)2+(у–1)2=41.б) если М(2; –1), N(4; 3), т.к. MN — диаметр, то О — середина MN,иx + xnx = m 02+ y0 = ym yn22+4x ==3 02⇒ О(3; 1)−1 + 3 y0 ==12R=ON= (3 − 4) 2 + (1 − 3) 2 = 1 + 4 = 5 ,то уравнение имеет вид: (х–3)2+(у–1)2=5.970.Дано: Окр(О; R); A(l; 3)∈Oкp(О; R); R=5; O∈OXНаписать уравнение окружностиТочка О имеет координаты (x; 0)R=OA= (x − 1) 2 + 32 ,5 = (x − 1) 2 + 32 ,25=(x–1)2 + 9, (x–1)2 = 16,x–1=±4,x=5 или x=–3,т.е.

O(5; 0) или O(–3; 0) следовательно, может существовать двеокружности:(х–5)2+у2=25или(х+3)2+у2=25971.Дано: Окр(О; R);A(–3; 0)∈Oкp(О; R); В(0; 9)∈Окр(О; R); O∈OYНаписать уравнение окружностиТ.к. А, В∈Окр, то R=OA=OB; т.к. O∈OY, то O(0; у).OA = 32 + y 2 .Т.к. OA=OB, то OB = 0 + (9 − y)2 ,9 + y 2 = (9 − y)2 , 9 + y 2 = 81 − 18y + y 2 , 18у=72, y=4,то O(0; 4) R=OA= 9 + 16 = 25 = 5, то уравнение имеет вид:х2+(у–4)2=25.972.б) C(2; 5), D(5; 2)a ⋅ 2 + b ⋅ 5 + c = 0a ⋅ 5 + b ⋅ 2 + c = 0Вычитая из первого уравнение второй, получим–3a + 3b = 0 ⇒ a = b2a + 5a + c = 0 ⇒ c = –7a.Подставим коэффициенты b = a и c = 7a в уравнение прямой:ax + ay – 7a = 0 ⇒ x + y – 7 = 0.в) M(0; 1), N(–4; –5)b = −c0 ⋅ a + 1 ⋅ b + c = 0b = −c− 4 ⋅ a − 5 ⋅ b + c = 0 ⇒ − 4a + 5c + c = 0 ⇒ a = 3 c23cx – cy + c = 0 ⇒ 3x –2y + 2 = 02973.Дано: A(4; 6); B(–4; 0); C(–l; –4); CM — медиана ∆ABC.Написать уравнение прямой CM.x + xB 4 − 4==0x = A M22⇒ M(0; 3)y = y A + yB = 0 + 6 = 3M22Напишем уравнение прямой по двум точкам M и C.М(0; 3):0⋅a+3⋅b+c=0; 3b+с=0; b= −c3С(–1;–4):73–a–4b+с=0, а=–4b+с; а= c7ccx + ( − ) y + c = 033⋅3;c7х–у+3=0974.Дано: ABCD – трапеция; А(–2; –2); В(–3; 1);С(7; 7); D(3; 1), MN — средняя линияНаписть уравнение прямых AC, BD, MNА(–2; –2): –2a–2b+c=0 ⇒ a=1c–b.2111c–b= − c–b ⇒ a = –b,c – b;772ax–ay+0=0 ⇒ x–y=0 — уравнение прямой, содержащей AC.С(7; 7): 7a + 7b + c = 0 ⇒ a = −В(–3; 1): –3a + b + c = 0 ⇒ a =b+c.3−b − c;3b + c −b − cb−b=0,=⇒ –b=c ⇒ a=333D(3; 1): 3a+b+c=0 ⇒ a=0⋅x+by–b=0 ⇒ y–1=0 — уравнение прямой, содержащей BD.−2−35x +x=−x = A B = M222 ⇒ M  − 5 ;− 1 1y A − yB − 2 + 1 2 2 yM ===−222xC + xD 7 + 3==5 xN =22⇒ N(5; 4)7 +1− y N = yC yD ==42251 5 −1  : − a − b + c = 0 ⇒ b = 2c − 5a22 2 2 −4b − cN(5; 4): 5a + 4b + c = 0 ⇒ a =;5M − ;b = 2c – 5a = 2c – (4b – c);3a= c,5b = –c3cx − cy + c = 053x–5y+5=0 — уравнение прямой, содержащей MN.975.Дано: l: 3х–4у+12=0Найти: A(x; y); B(x1; y1)x = 0: 3⋅0–4y+12=0 ⇒ y=3 ⇒ A(0; 3)y = 0: 3x–4⋅0+12=0 ⇒ x=–4 ⇒ B(–4; 0)976.Дано: l1: 4x+3y–6=0; l2: 2x+y–4=0; l1∩l2=AНайти: A(x; y)4x + 3y − 6 = 02x + y − 4 = 0 (−2)4x + 3y − 6 = 0− 4x − 2y + 8 = 0 y = −22 x − 2 − 4 = 0 y = −2x = 3977.Дано: M(2; 5); M∈l1, l1||OX; M∈l2, l2||OYНаписать уравнения l1 и l21) т.к.

l1OX, то l1: у=52) т.к. l2OY, то l2: х=2978.а)3yy=3б)yx = –2–2yв)xг)xyx=7x–47y = –4x979.Дано: М∈АВ; А(–8; –6) и В(–3; –1) и М(5; у)Найти: yРешение:− 6 = −8k + b− 1 = −3k + b5k=5k = 1b = 2y=x+2, y=5+2=7; M(5; 7)980.Дано: ABCD – ромб; AC∈OX, BD∈OY; AC=4 cм, BD=10 смНаписать уравнение AB, ВС, CD, AD.Решение:А(–2; 0); C(2; 0); B(0; 5); D(0; –5)1) А(–2; 0) и В(0; 5)1а = с 1 сх − 1 су + с = 0 : 10− 2а + с = 0 225с5в + с = 0в = − 1 с 5 х − 2 у + 10 = 052) т.к. CD||AB то CD: y=5x + b т.к. y(2)=0, то 0=5+b ⇒25b=–5y= x − 523) В(0; 5) и С(2; 0)11110а=− с− сх − су + с = 0 :(− )225с15 х + 2 у − 10 = 0в = − с554) т.к. BC||AD то AD: y= − x + b т.к.

Характеристики

Список файлов книги