atnasyan-gdz-9-2001 (546188), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

∠D=90°, ∠С=30°, то AC=2⋅AD=6 мРассмотрим ∆ACB: ∠B=180°–(30°+45°)=105°.По теореме синусов:ABsin 30oBCosin 45==6AB ≈sin 105o6BC ≈osin 1056 ⋅ 0 ,5≈ 3,1 м0 ,96596 ⋅ 0 ,7071≈ 4,4 м0 ,96591028.13Дано: ABCD − параллелограмм, AD=7 м;BD=4,4 м; ∠А=22°30'Найти: ∠BDC, ∠DBC.Рассмотрим ∆ABD: по теореме синусов:4,4sin 22o30'=713sin ∠ABD∠sinABD≈137 ⋅ 0,38274,4∠B ≈ 39°38'∠ADB ≈180° – (22°30' + 39°38') = 117°52'1029.Дано: ∆АВС, ВС=a, ∠В=α, ∠С=β.Найти биссектрисы.АС1В1ВРассмотрим ∆BCB1: ∠B1=180°–β–СА1BCBB1=sin ∠B1 sin ∠Cα.2По теореме синусов:aαsin  β + 2Рассмотрим ∆BCC1: ∠C1=180°– α –BB1sin β=BB1=a ⋅ sin βαsin  β + 2β2a ⋅ sinαββsin  α + sin  α + 22α +ββ−α∠ BAA 1 =90 −. Рассмотрим ∆ABA1: ∠ BA 1 A=90+22a ⋅ sin αABAA1=AB=sin(α + β)sin ∠B sin ∠A1BCCC1=sin ∠C1 sin ∠BAA1=a=CC1sin αCC1=a ⋅ sin α ⋅ sin βa ⋅ sin β ⋅ sin α=β −α  β −α sin(α + β) ⋅ sin  90° + sin (α + β) ⋅ cos2  2 1030.Дано: ABCD — параллелограмм, AB=a; AD=b; ∠A=α.Найти: BD, AC, ∠AOBПо теореме косинусов:BD2=a2+b2–2ab cosαBD= a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cosαAC2=a2+b2+2ab cosαРассмотрим ∆ABO:AC= a 2 + b 2 + 2ab ⋅ cosαBO =a 2 + b 2 − 2ab cos α2a2 =−AO =a 2 + b 2 + 2ab cos α2a 2 + b 2 − 2ab cos α + a 2 + b 2 + 2ab cos α−42 (a 2 + b 2 − 2ab cos α) ⋅ (a 2 + b 2 + 2ab cos α)cos∠AOB ,4cos∠AOB=(a 2 + b 2 − 2ab cos α) ⋅ (a 2 + b 2 + 2ab cos α)a 2 − b2:=22=a 2 − b2(a 2 + b 2 ) 2 − 4a 2b 2 cos 2 α1031.а) a=5; b=c=4.По теореме косинусов: a2 = b2 + c2 – 2bc cos∠A25=16+16–2⋅16⋅cos∠A –7= –32⋅cos∠Acos∠A ≈ 0,2188∠A ≈ 12°38'Так как против большей стороны лежит больший угол, то ∆АВС –остроугольный.б) а = 17; b = 8; с = 15.По теореме косинусов: a2 = b2 + c2 – 2bc cos∠A289 = 64+225–240⋅cos∠A0=240⋅cos∠A ∠A=90°∆АВС – прямоугольный.в) а=9; b=5; с=6.По теореме косинусов: a2= b2+c2–2bc cosα81=35+36–60cosα10=–60cosαcosα≈–0,16666 < 0,следовательно ∠α – тупой.

∆АВС – тупоугольный.1032.rrrДано: F1 = F2 ; ∠F1AF2= 72°; | F | = 120 кгrrНайти: | F1 | ; | F2 |В ∆AA1F2: ∠A1=90°, ∠F2=72° ⇒ AA1=AF2⋅sin72°.В ∆AA1F: ∠A1=90°, ∠F=36° ⇒ AA1=AF⋅sin36°.AF2⋅sin72° = AF⋅sin36° 2AF2⋅sin36°⋅cos36°=120⋅sin36°AF2 ≈rrОтвет: F1 = F2 ≈ 74,2 кг60≈ 74,170,8091034.Дано: ABCD — трапеция, AB = BC = CD; AD=10 см; ∠A=70°.Найти: PABCDПусть АВ = х, тогда AB1=C1D = 10 − x , получим в2∆ABB1: AB1=AB⋅cos70°,5 – x ≈ x⋅0,342, 5 ≈ х⋅0,842,2PABCD =х≈5,94АВ = ВС = CD ≈ 6 смАВ + ВС + CD + AD ≈ 6+6+6+10 = 28 см1035.Дано: AB, CD — хорды, AB∩CD=E; AB=13 см; СЕ=9см; ED=4 см; BD=4 3 см.Найти: ∠ BED.По свойству пересекающихся хорд: АЕ⋅ЕВ=СЕ⋅ED,пусть AE=x, тогдах⋅(13 – х) = 9⋅4 13х–х2–36 = 0 х2 – 13х+36 = 0x1= 4;x2 = 9при AE = 4, ЕВ = 9 см; при AE = 9, ЕВ = 4 см.Если AE = 4 см, то ∆DEB – равнобедренный.По теореме косинусов: DB2 = ED2+ЕВ2 –2 ED⋅ЕВ⋅cos∠E48=16+16–32⋅cos∠Ecos∠E = –0,5 < 0,∠ DEA=60°∠E = 120°,Если ЕВ = 9 см, то по теореме косинусов(4 3 )2=42+92–2⋅4⋅9cos∠E 48=16+81–72cos∠E–49=–72⋅cos∠Ecos∠E ≈ 0,6806∠E ≈ 47°07'1036.Дано: ∠BAD=45°, ∠CAD=10°, DC=50м.Найти: BC.В ∆ABD: ∠A=45°, ∠D=90°, т.е.

AD=DB=50 м.В ∆ADC: tg ∠A=DC ≈50⋅0,1763 ≈ 8,82DCAD, т.е. DC = AD ⋅ tg ∠AВС ≈ 50+8,82 = 58,821037.Дано: АВ=70 м; ∠САВ=12°30'; ∠АВС=72°42'; CD⊥AB.Найти: CD.В ∆АDС: CD = AD⋅tg 12°30'В ∆BDC: CD = BD⋅tg 72°42'Пусть AD = x м, тогда BD = 70 – x мx tg12°30'=(70–x)⋅tg72°42'x⋅0,2217 ≈ (70–x)⋅3,213,4327x≈224,77x ≈ 65,48AD ≈65,48 мCD ≈ 65,48⋅0,2217 ≈ 14,52 м.1038.Дано: ∠ABE=60°; ∠CAB=30°; ВС=100 м.Найти: H.Решение:Т.к. ∠CBE=90°, ∠EBA=60°, то ∠CBA=30°, т.е.∆ABC — равнобедренный и ∠C=l20°,ВС=АС=100 м.∠BCA и ∠KCA – смежные, и ∠KCA=60°, ∠KAC=30°СК=1АС,2СК=50 м.1039.Дано: ABCD – квадрат, AC∩BD=O.Найти углы.^а)  AB , AC  = 45°;^б)  AB , DA  = 90°;^в)  OA , OB  = 90°;^г)  AO , OB  = 90°;^д)  OA , OC  =180°;^е)  AC , BD  = 90°;^ж)  AD , DB  =135°;^з)  AO , OC  = 0°.1040.Дано: ABCD – ромб, AC∩BD=O, BD=AB.Найти углы.Решение:Так как ∆ABD − равносторонний:^^^а)  AB , AD  =60°;б)  AB , DA  =120°;в)  BA , AD  =120°;^г)  OC , OD  =90°;^д)  AB , DC  =0°;^е)  AB , CD  =180°.1041.a = 2; b =3.r^ra ⋅ b = a ⋅ b cos  a , b r^rа)  a , b  =45°,a ⋅ b = a ⋅ b cos45°= 6⋅2=3 2;2r^ra ⋅ b = 2⋅3⋅cos90°=0;б)  a , b  =90°,r^ra ⋅ b = 2⋅3⋅cosl35°=6⋅в)  a , b  =135°,− 2= −3 2 .21042.Дано: ∆ABC – равносторонний; АВ=а; BD⊥ACНайти скалярное произведение.rrrrа) A B⋅ A C = а⋅а⋅cos60°=a2;2б) A C⋅ CB = а⋅а⋅cos120° = −rrrrrrrrrrra2;2в) A C⋅ BD = AC ⋅ BD ⋅ cos90°, A C⋅ BD = 0;rг) A C⋅ AC = AC ⋅ AC ⋅ cos0°, A C⋅ AC = a2.1043.rrДано: | P | = 8, | Q | = 15, ∠A = 120°.rНайти | F | .∆PAA1: ∠A1=90°; ∠A=30°; PA1=11AР= ⋅8=4.22AA1 = AP2 − PA12 ,AA1 = AF2 − A1F2 следовательно AP 2 − PA 12 = AF2 − A1F2r82 − 42 = AF 2 − 112AF2 = 82 + 112 − 42 = 169AF = 13,rF =13.1044.14a) a  ; −1 , b {2; 3},rrб) a{− 5; 6}, b{6; 5} ,rв) a{1,5; 2}, b{4; − 0,5},a⋅b=11⋅2 + (–l)⋅3= –3= –2,5;42a ⋅ b =–5⋅6+6⋅5=–30+30=0;a ⋅ b =1,5⋅4+2(–0,5)=6–l=5.1045.Дано: a {х;y}, b {y;x}.rДоказать: a⊥b .a ⋅ b = х⋅(–y)+ y⋅х = –ху + xy = 0,т.к.

a ⋅ b =0, то a ⊥ b .1046.r rДано: i , j – координатные векторы.rrr rДоказать, что i + j ⊥ i – j .(ri + rj )(ri − rj )= irr rr− i j + i j − j2 = i 2 − j2 = 1 − 1 = 0 ,r r r rт.к. скалярное произведение равно нулю, то i + j ⊥ i – j ч.т.д.21047.a) a {4; 5}, b {x; –6},4x+5(–6)=0,x=7,5б) a {x; –1}, b {3; 2},x⋅3+(–1)⋅2=0,x=в) a {0; –3}, b {5; x},0⋅5+(–3)⋅x=0,x=0231048.Дано: A(2; 8); B(–l; 5); C(3; l).Найти: cos∠A; cos∠B; cos∠C.AB = (2 + 1) 2 + (8 − 5) 2 = 9 + 9 = 3 2BC = (3 + 1) 2 + (1 − 5) 2 = 16 + 16 = 4 2AC = (3 − 2) 2 + (1 − 8) 2 = 1 + 49 = 5 2По теореме косинусов: BС2 = AB2 + AC2 – 2AB⋅AC⋅cos∠A32=50+18–60 cos∠Acos∠A =36 3=60 5cos∠B =0=048AC2 = BA2 + BC2 – 2BA⋅BC⋅cos∠B50=32+18–48 cos∠BAB2 = CA2 + CB2 – 2CA⋅CB⋅cos∠C18 = 50 + 32⋅80 cos∠Ccos∠C =64 4=80 51049.Дано: A(–1; 3 ); В(1; − 3 ); C(1;2Найти: ∠A; ∠B; ∠C.AB = (1 + 1)2 +122(BC = 1 −  + − 3 − 3122AC=  + 1 +( 3 + 3)2)2( 3 − 3)=23 ).( )= 22 + 2 31+ 12 =42=449 7=42233=   = = 1,522По теореме косинусов: AB2 = CB2 + CA2 – 2CB⋅CA⋅cos∠C16 =49 97 3642+ − 2 ⋅ ⋅ cos ∠C= − cos ∠C4 42 2441cos∠C = − ≈ −0,1429 < 0 ,7т.е.

∠C – тупой, ∠C ≈ 180°–81°47'=98°13'BС2 = AB2 + AC2 – 2AB⋅AC⋅cos∠A4993= 16 + − 2 ⋅ 4 ⋅ cos ∠A442cos∠A =1,2∠A = 60°∠B =180°–(∠A + ∠C) ≈ 180°–(60°+ 98°13') = 21°47'1050.rrr ^ rДано: a = 5; b =8  a , b  =60°.r r r rНайти: a + b ; a − b .a) Рассм. ∆ADK и ∆ACK — они прямоугольные, т.к. ∠KAD=30°, тоKD=r1AD=2,5, а значит, KC=KD+DC=2,5+8=10,5, так как DC= b .2AK = AD2 − KD 2⇒ AD2 − KD2 = AC2 − KC222AK = AC − CKr rт.е. a + b = 12925 − 6,25 = AC2 − 110,25AC2 =110,25 + 25 − 6,25AC = 129 ,AC2 = 129,б) т.к. ∠ BAK=30°, то KB =1AB=2,5, откуда DK=5,5.2AK = AB2 − BK 2, ⇒ AB2–BK2=AD2−DK222AK = AD − DKAD2 = AB2 – BK2 + DK2r rAD = 25 – 6,25 + 30,25 = 49 ⇒ | a − b | = 721051.rr^rr^rrrДано: (a , b) = (b , c) =60° a =1; | b | = | c | = 2.r r rНайти: (a + b) ⋅ c .∆АВК и ∆AFK — прямоугольные, т.к.∠BAK=30°, то ВК=AK = AB2 − KB222111АВ, ВК= , FK= 1222⇒ AB2 − KB2 = AF2 − FK2AK = AF − FKr r191− =AF2−AF2=3AF = 3 ,a+b = 344rrr r r1 rт.к.

AF = AE , AE – биссектриса, то ∠ ( c ; a + b )=30°.2r r r r r r3=3a + b ⋅ c = a + b ⋅ c ⋅cos30° = 3 ⋅2⋅2( )( )1052.rr rrrДано: a = 5; b = 2; c = 4 и a ⊥ br rr r r r r r r rНайти: p ⋅ g , где p = a – b – c ; g = a – b + c .r r r r r rr rp ⋅ g = ( a – b – c )( a – b + c )=r r r r r rr r r r r r= a 2 – a b + a c – a b + b 2 – b c – a c + b c – c 2 =25+4–16=13.1053.rrДано: a = 3p − 2q , b = p + 4q , где p ⊥ q , p =1; | q | =1.Найти a ⋅ b .r rrrra ⋅ b =(3 p –2 q )⋅( p +4 q )=3 p 2 +12 p q − 2pq –8 q2 = 3–8=–5.1056.Дано: ABCD – ромб.Доказать: AC⊥BDBD = BA + BCAC = BC – BABD ⋅ AC = ( BC + BA )( BC – BA )= BC 2 – BA 2т.к.

| CB | = | BA | =а, то BD ⋅ AC =a2–a2=0, и BD ⊥ AC ч.т.д.1057.Дано: ∆АВС; AB=AC=b, ∠A=30°, AD⊥BC, BE⊥AC.Найти: AD, BE, AE, EC, BC.В ∆АВЕ: ∠E=90°, ∠A=30°, то BE=AE = AB2 − BE 2 = b 2 −CE=AC–AE=b –1b, AB=22b2 b 3=42b 3 b(2 - 3 )=22В ∆EBC: CB= BE 2 + CE 2CB=b 2 7b 2b 2 b 2 (2 − 3 )2++− b 2 3 = b 2 (2 − 3 ) =b 2 − 3=4444В ∆ADC: AD= AC2 − CD 2AD = b 2 −b 2 (2 − 3 )2b 2 + b 2 3 b 2 + 3b 2+ 3===44221058.а) ВС=4,125 м; ∠B=44°, ∠C=72°.∠A=180°–72°–44°=64°.По теореме синусов:4,1254 ,125 ⋅ 0,9511, AB ≈≈ 4,365 м;0,8988sin 64o1SABC= ⋅AB⋅BC⋅sin∠B211SABC≈ ⋅4,125⋅4,365⋅sin44°≈ ⋅4,125⋅4,365⋅0,6947≈6,254 м222ABsin 72o=б) ВС=4100 м; ∠A=32°, ∠C=120°.∠B=180°–32°–120°=28°.По теореме синусов:ABBC,sin 32°=osin 120SABC =SABC =AB≈410 ⋅ 0,866≈ 6701 м;0,52991⋅AB⋅BC⋅sin∠B,211⋅4100⋅6701⋅sin28°= ⋅4100⋅6701⋅0,4695 ≈ 6449072 м2221059.Дано: ABCD – выпуклый четырехугольник.1⋅AC⋅BD⋅sinα.2SABCD =SAOB +SBOC +SCOD +SAODДоказать, что SABCD =11ВО⋅АОsin(180°–α)+ ВО⋅ОСsinα+2211+ ⋅CO⋅OD⋅sin(180°–α)+ DO⋅AO⋅sinα =22111= (АОsinα+OCsinα)(BO+DO)= BDsinα⋅(AO+OC)= BD⋅ACsinα222OSABCD=α1060.а) Дано: AB=8 см, ∠A=30°, ∠B=45°.Найти: ∠C, BC, AC.∠C=180°–(∠A+∠B)=180°–75°=105°По теореме синусов:8=sin 105o8osin 105=BC,ВС ≈,AС ≈sin 30oACosin 458⋅ 120 ,9659≈ 4,14 м;8 ⋅ 0 ,7071≈ 5,86 м0,9659б) Дано: АВ=5 см, ∠B=45°, ∠C=60°Найти: ∠A, BC, AC.∠A =180°–(∠B+∠C)=180°–105°=75°По теореме синусов:5sin 60o5sin 60o==BCsin 75oACosin 45,ВС≈5⋅ 0,9659≈5,58 м0,8660,AC≈5⋅ 0,9659≈4,08 см0,8660в) Дано: АВ=3 см, ВС=3,3 см, ∠A=48°30'Найти: AC, ∠B, ∠C.По теореме синусов:3,3o'sin 48 30=3,sin ∠Csin∠C≈3 ⋅ 0 ,749≈0,6809,3,3∠C≈42°55';∠B≈180°–(48°30'+42°55')=88°35'По теореме синусов:BCAC=,sin ∠A sin ∠ B3,3osin 48 30'=ACo'sin 88 35,AC≈3,3 ⋅ 0 ,9997≈4,40 см0 ,749г) Дано: AC=10,4 см, ВС=5,2 см, ∠B=62°48'Найти: AB, ∠A, ∠C.По теореме синусов:10 ,4sin 62o 48'=5,2,sin ∠Asin∠A≈5,2 ⋅ 0 ,8894≈0,4447,10 ,4∠A≈26°24';∠C≈180°–(62°48'+26°24')=90°48';ACAB10,4 ⋅ 0,999910 ,4AB=,=, AB≈≈11,69 смsin ∠B sin ∠C sin 62o 48' sin 90o 48'0,88941061.a) Дано: AB=5 cм, AC=7,5 cм, ∠A=135°Найти: BC, ∠B, ∠CПо теореме косинусов:BC2=AB2+AC2–2⋅AB⋅AC⋅cos∠A2BC =25+56,25–75⋅cosl35°≈81,25+75⋅0,7071≈134,2825 BС≈11,59 смAC2=AB2+BC2–2⋅AB⋅BC⋅cos∠B56,25=25+134,28–115,9⋅cos∠Bcos∠B≈103,03=0,88895115,9∠B≈27°15'∠C=180°–∠A+∠B)≈180°⋅(135°+27° 15')=17°45'б) Дано: AB= 2 2 дм; BС=3 дм; ∠B=45°Найти: AC, ∠A, ∠CПо теореме косинусов:AC2=AB2+BC2–2⋅AB⋅BC⋅cos∠B=8+9–2⋅6 2 ⋅2=52AС= 5 дмAB2=AC2+BC2–2⋅AC⋅BC⋅cos∠C 8=5+9–2 5 ⋅3⋅cos∠Ccos∠C=66 5≈0,4472∠C≈63°26'∠A=180°–(∠B+∠C)≈180°–(45°+63°26')=71°34'в) Дано: АС=0,6 м, ВС=3дм, ∠С=150°4Найти: AB, ∠A, ∠BПо теореме косинусов:AB2=AC2+BC2–2⋅AC⋅BC⋅cos 150°=36+АВ2=651=40,68751633+2⋅6cos 30°164AB≈6,4 дмAC2=AB2+BC2–2⋅AB⋅BC⋅cos∠B 36=40,6875+33–2⋅6,4cos∠B1644,875=5,5426⋅cos∠Bcos∠B≈0,8796 ∠B≈28°24'∠A=180°–(∠B+∠C)≈180°–(28°24'+150°)=l°36'1062.Дано: ∆DEF, DE=4,5 дм, EF=9,9 дм, DF=70 смНайти: ∠D, ∠E, ∠FПо теореме косинусов:EF2 = DE2+DF2–2⋅DE⋅DF⋅cos∠D22299 =45 +70 –2⋅45⋅70⋅cos∠D9801 = 2025 +4900–6300–cos∠D2876=–6300⋅cos∠Dcos∠D≈–0,4565,∠D=117°10'По теореме синусов:99osin 117 10'=45sin ∠Fsin ∠F ≈45 ⋅ 0,8897≈0,404499∠F≈23°51'∠E=180°–(∠D+∠F)≈180°–(117°10'+23°51')=38°59'1063.Дано: ∆АВС, AD — биссектриса, ∠A=a,AB=c, AC=bНайти AD.SABC = SABD + SADCα 1α11ab sinα= c⋅AD sin + b⋅AD⋅sin222 22ααab sinα =⋅AD⋅(c⋅sin + b⋅sin )22AD =ab sinαsin α (c + b)2=2ab sin α cos α2sin α (c + b)22=2abcos α2c+b1064.Дано: АС=b, ВС=а, ∠ACB=αНайти: АВ.По теореме косинусов:АВ2 =ВС2+АС2 –2⋅ВС⋅АС⋅cos∠CАВ2 =a2+b2–2ab cosαAB= a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos α1065.Дано: A(3; 0), B(1; 5), C(2; l)Доказать: ∆ABC – тупоугольныйAB = (3 - 1) 2 + (0 − 5) 2 = 4 + 25 = 29BC = (1 - 2) 2 + (5 − 1) 2 = 1+ 16 = 17AC = (3 - 2) 2 + (0 − 1) 2 = 1+ 1 = 2По теореме косинусов: АВ2 =ВС2+АС2–2⋅ВС⋅АС⋅cos∠C29=17+2–2 34 ⋅cos∠C10=–2 34 ⋅cos∠Ccos∠C=−5 34<0,34т.е.

Характеристики

Список файлов книги