atnasyan-gdz-9-2001 (546188), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Проверим: 3⋅(–1)–2⋅(–1,5)=0, –3+3=0, следовательно l1||l2.1005.Дано: а) А(–2; 0); В(3; 21); С(6; 4); б) А(3; 10); В(3; 12); С(3; –6); в)2А(1; 2); В(2; 5); С(–10; –31).Доказать: A, B, C ∈ lа) АВ:− 2 a + c = 03a + 2 1 b + c = 021a = c2b = −c1cx − cy + c = 02х–2у+2=0.Подставим координаты точки C: 6–2⋅4+2=0, 0=0, то С∈АВ, т.е.

А, В,С – лежат на одной прямой.б) АВ:3a + 10b + c = 03a + 12b + c = 01a = − c3b = 01− xc + c = 03x–3=0.Подставим координаты точки C: 3–3=0, 0=0, то C∈AB, т.е. А, В, С –лежат на одной прямой.в) АВ:a + 2b + c = 02a + 5b + c = 0b = ca = −3c–3cx+cy+c=03x–y–l=0Подставим координаты точки C: 3(–10)–(–31)–1=0, –30+31–1=0,0=0, то C∈AB, т.е. А, В, С – лежат на одной прямой.1006.Дано: ∆АВС; АВ=17см, ВС=28см, АН=15 см,Найти: медианы.Решение:Введем систему координат так, как показано на рисунке.

В ∆АВН:ВН= 172 − 152 = 64 = 8 ,откуда В(8; 0) С(–20; 0); А(0; 15).АК – медиана, К(–6; 0):СН=28–8=20,АК= 6 2 + 15 2 = 36 + 225 = 261СМ – медиана, М(4; 7,5)СМ= 24 2 + 7 ,5 2 = 576 +225=42529=425292BE – медиана, E(–10; 7,5)BE= 18 2 + 7 ,5 2 = 324 +2251521 39=== 19 ,54421007.Дано: ABCD — трапеция; М∈АС,АМ=МС, N∈BD, BN=ND.Доказать: MN=MN = MA + AD + DN1(AD–BC).2MN = MC + CB + BN2MN = (MA + MC) + (AD + CB) + (DN + BN)т.к. N и М — середины сторон BD и AC, тоMA + MC = 0 ,DN + BN = 0т.е. 2MN = AD + CB или 2МN = AD − BCMN =т.к.AD ↑↑ BCи1(AD − BC) ,2MN ↑↑ AD , то | AD − BC |= AD–BC, откуда1MN= (AD–BC), что и требовалось доказать.21008.Дано: ABCD– параллелограммДоказать, что для всех точек М величина(AM2+CM2)–(BM2+DM2)=const.Введем систему координат так, какпоказано на рисунке.

А(0; 0), В(b; с), С(а+b;с), D(a; 0).АМ2=х2+у2СМ2=(а+b–х)2+(с–у)2ВМ2=(b–х)2+(с–у)2DM2=(a–x)2+y2222(AM +CM )–(BM +DM2)=22=x +y +(a+b–x)2+(c–y)2–(b–x)2–(c–y)2–(a–x)2–y2==x2+(a+b–x)2–(b–x)2–(a–x)2=2222=x +a +b +x +2ab–2ax–2bx–b2+2bx–x2–a2+2ax–x2=2abне зависит от координат точки М.1009.а) Дано: ∆АВС; AA1 — медиана.Доказать: AA1=12AC2 + 2AB2 − CB2 .2Доп. построение: продлим AA1: AA1=A1A2,получим САВА2 – параллелограмм.

По свойствупараллелограммаАА22+СВ2=АС2+АВ2+ВА22+СА22;АА22=2АС2+2АВ2–СВ2AA2= 2AC2 + 2AB2 − CB2 ,AA1=12AC2 + 2AB2 − CB2 ,2что и требовалось доказать.б) Дано: ∆АВС; AN=CM.Доказать: AB=BC.CM=2BC2 + 2AC2 − AB22AB2 + 2AC2 − BC2; AN=,22т.к. AN=MC, то112BC2 + 2AC2 − AB2 =2AB2 + 2AC2 − BC2 ;222BC2+BC2=2AB2+AB2;2BC2+2AC2–AB2=2AB2+2AC2–BC2;223BC =3AB ;BC=ABчто и требовалось доказать.1010.Дано: А и ВНайти множество всех точек M:а) 2АМ2–ВМ2=2АВ2;б) AM2+2BM2=6AB2а) Введем систему координат так, как показано нарисунке, А(0; 0); В(а; 0); М(х; у)АМ2=x2+у2,BM2=(a–x)2+y2 AB2=a2,22222(x +y )–((a–x) +y )=2a2,2x2+2y2–(a–x)2–y2=2a2222222x +y +2ax=3a ; (x +2ax+a )–a +y2=3a2; (x+a)2+y2=4a2окружность с центром (–a; 0) и R=2a.б) Введем систему координат так, как показанона рисунке, А(0; 0); В(а; 0); М(х; у)АМ2=х2+у2,BM2=(a–x)2+y2, АВ2=а2,2222х +у +2(а–х) +2у =6а2; 3х2–4ах+3у2=4а2,3(х–2 216а) +3у2= а2;33окружность с центром ((х–24a; 0) и R= a.332 2 2 16 2а) +у = а39ГЛАВА XI.

СООТНОШЕНИЯМЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИТРЕУГОЛЬНИКА1011.Может иметь значения: 0,3;11; – — т.к. абсцисса33всех точек на единичной полуокружностипринимает значения от –1 до 1.Может иметь значения: 0,6;1— т.к. ордината всех точек на7единичной полуокружности принимает значения от 0 до 1.1012.M1(0; l): 02 + 12 = 0+1 = 1, т.е. M1∈Окр12M2  ;221 33   1   3 = 1 , + = 1 , 1 = 1, т.е. M2∈Окр:   +4 42   2   2  2 2:; 2 2 22M3  2  2 + = 1 , 1 + 1 = 1 , 1 = 1, т.е.

М3∈Окр 2   2 2 2 − 3 1М4 ; : 2 22 − 3  +  1  = 1 , 3 + 1 = 1 , 1 = 1, т.е. М4∈Окр 2  24 42А(1; 0): 12+0=1, 1 = 1, т.е. А∈Окр (0; 1).В(–1; 0): (–1)2+0 =1, 1 = 1, т.е. В∈Окр (0; 1).cos ∠AOM1 = 0sin ∠AOM1 = 1sin ∠AOM2 =sin ∠АОМ3 =sin ∠AOM4 =sin ∠AOB = 0221232cos ∠АОМ2 =cos ∠AOM3 =22cos ∠AOM4 = −cos ∠AOB = –132121013.Дано: а) cos α =12; б) cos α = – ; в) cos α = – 123Найти: sinαВоспользуемся основным тригонометрическим тождествомsin2α + cos2α=l,sin2α=1–cos2α.4351;б) sin2α = 1– , sinα = ±;а) sin2α = 1– , sinα = ±4239в) sin2α = 1–1 = 0, sinα = 0.1014.Дано: а) sinα =31; б) sinα = ; в) sinα = 0.42Найти: cosαВоспользуемся основным тригонометрическим тождествомsin2α + cos2α=l,cos2α=1–sin2αа) cos2α=1–31, cosα =± ;4211515, cos2α=, cosα =±;41616в) cos2α=1, cosα =±1.б) cos2α=1–1015.Дано: а) cosα = 1; б) cosα =–=32; в) sinα =(0° < α < 90°) г) sinα223(90° < α < 180°).5Найти: tgαРешение:а) sinα = 0, tgα =б) sin2α = 1–sinα 0= = 0;cosα 13sinα1 3 31=±, sinα =± , tgα =;= ± : −423cosα2  2 sinα2, tgα ==1;2cosαsinα43г) Так как 90°<α<180°, то cosα < 0, cosα = – , tgα ==– .5cosα4в) Так как 0°<α<90°, то cosα > 0, т.е.

cosα =1016.3,21cos120°= cos(180°–60°) = –cos60° = – ,2а) sin120° = sin(180°–60°) = sin60°=tg120°= –tg60°=– 3 ;б) sin135° = sin(180°–45°) = sin45° =2,2cos135° = cos(180°–45°)= –cos45° = –2,2tg135° =–1;в) sin150° = sin(180°–30°) = sin30° =1,2cos150° = cos(180°–30°) = –cos30° = –tgl50°=3,2sin 150° 1  2 3=.= ⋅−3cos150° 2 3 1017.а) sin∠A =222, sin∠CAD = , sin∠CAB= ;333б) cos∠A =333, cos∠DAC = , cos∠CAB=444в) cos∠A =–222, cos∠ВАС = – , cos∠BAD= –5551018.x = 3 ⋅ cos45oa)  y = 3 ⋅ sin45o3 2x =23y = 22x = 1,5 ⋅ cos90o x = 0o  = y = 1,5 ⋅ sin90  y 1,5б) OA=l,5, α = 90°; 5 3x =2y = 52x = 5 ⋅ cos150oв) OA=5, α =150°;  y = 5 ⋅ sin150ox = 1 ⋅ cos180o x = - 1 y = 1 ⋅ sin180o  y = 0г) OA=l, α =180° x = 2 ⋅ cos30o x = 3 y = 2 ⋅ sin30o  y = 1д) ОА=2, α =30° 1019.2 = OA ⋅ cos αa) ⇒ OA = (2 − 0) 2 + (2 − 0) 2 = 2 22 = OA ⋅ sin α2 = 2 ⋅ 2 cos α2 = 2 ⋅ 2 sin α2cos α =2 α = 45osin α = 220 = OA ⋅ cosαб) ⇒ OA = 0 + (0 - 3) 2 = 33=OA⋅sinα0 = 3 ⋅ cos α3 = 3 ⋅ sin αcos α = 0sin α = 1α = 90oв) − 3 = OA ⋅ cosα ⇒ OA =1 = OA ⋅ sinα− 3 = 2 ⋅ cos α1 = 2 ⋅ sin α3cos α = −2sin α = 12− 2 2 = OA ⋅ cosα⇒ OA = 2 2 = OA ⋅ sinαг) − 2 2 = 4 ⋅ cos α2 2 = 4 ⋅ sin α2cos α = −2sin α = 22(0 − (− 3 )) + (0 − 1)22= 3 +1 = 2α = 150o(0 − (−2 2 )) + (0 − 22α = 135o2 )2 = 41020.а) АВ= 6 8 см, АС=4 см, ∠А=60°,S∆ABC=311АВ⋅АС⋅sin∠A= ⋅ 6 8 ⋅ 4 ⋅= 12 6 cм2;222б) ВС=3 см, АВ= 18 2 см, ∠В=45°,211S∆ABC = АВ⋅BС⋅sin∠B = ⋅ 18 2 ⋅ 3 ⋅= 27 см2;222в) АС=14 см, ВС=7 см, ∠С=48°,S∆ABC =11АC⋅BС⋅sin∠C ≈ ⋅14⋅7⋅0,74 = 36,4 см2.221021.SABCD = SABD + SBCD, так как ∆ABD = ∆BCD (по двум сторонам иуглу между ними), т.е.

SABD=SBCD, откуда12SABCD=2⋅SABD=2  ⋅ ab sin α  =ab sin α.1022.Дано: S∆ABC=60 см2, AC=15 см, ∠А=30°.Найти: AB1АВ⋅АС⋅sin∠A21120 = ⋅AB⋅15 AB= 16 см.2SABC=60 =1⋅AB⋅15⋅sin 30°21023.Дано: ABCD — прямоугольник, AC=10 см, ∠AOB=30°.Найти: SABCD1⋅АО⋅ВО⋅sin∠AOB2125125S∆AOB = ⋅5⋅5⋅sin30° =S∆ВОС = ⋅5⋅5⋅sin150° =242425SABCD = 4⋅S∆AOB = 4⋅ = 25 см2.4S∆АОВ = S∆COD =1024.Дано: ∆АВС; а) ∠A=α, BB1⊥AC1, BB1=hb, CC1⊥AB, CC1=hc;б) ∠A=α, ∠B=β, BB1⊥AC, BB1=h.Найти: S∆АВСа) Рассмотрим ∆ABB1: AB =Рассмотрим ∆АС1С: AC=hb.sin αh b hch1 hb⋅⋅ c ⋅sinα =2 sin α sin α2 ⋅ sin αS∆ABC =б) Рассмотрим ∆ABB1: AB =Рассмотрим ∆B1BC:S∆ABC =hb.sin αh.sin αhsin (180o − α − β)=h.sin (α + β)hhh 2 ⋅ sin β1⋅⋅⋅sin β =2 sin α sin (α + β)2 ⋅ sin α ⋅ sin (α + β)1025.а) Найти: ∠C, a, b, если ∠A=60°, ∠B=40°, c=14.∠C=180°–(∠A+∠B)=180°–100°=80°По теореме синусов:14osin 8014sin 80o==aosin 60bsin 40oABBCAC==sin ∠C sin ∠A sin ∠B,a≈14⋅ 0,86 ≈ 12,2360,984,b≈14⋅ 0,642 ≈ 9 ,1340,984б) Найти: ∠B, a, c, если ∠A=30°, ∠C=75°, b=4,5.∠B=180°–(∠A+∠C)=180°–105°=75°∠B=∠C ⇒ треугольник равнобедренный и b=c, по теореме синусов:ABBCAC==.sin ∠C sin ∠A sin ∠Baosin 30=4,5osin 75a≈4,5⋅ 0,5 ≈ 2,330,9659в) Найти: ∠B, ∠C, c, если ∠A=80°, a=16, b=10.По теореме синусов:16osin 80=10sin ∠BABBCAC==sin ∠C sin ∠A sin ∠Bsin ∠B ≈10 ⋅ 0 ,9848=0,615516∠B≈37°59'∠С≈l80°–(80°+37°59')≈62°l'16osin 80=cc≈osin 62 1'16 ⋅ 0,8830≈14,3460,9848г) Найти: ∠A, b, c, если ∠B=45°, ∠C=70°, a=24,6.∠A=180°–(∠B+∠C)=180°–(45°+70°)=65°ABBCAC==sin ∠C sin ∠A sin ∠BПо теореме синусов:24,6sin 65o24,6osin 65==bsin 45ocosin 70,b≈24,6⋅ 0,7071 ≈ 19,193 ,0,9063,c≈24,6⋅ 0,9397 ≈ 25,5070,9063д) Найти: ∠B, ∠C, c, если ∠A=60°, a=10, b=7.По теореме синусов:10osin 60=ABBCAC==sin ∠C sin ∠A sin ∠B7;sin ∠BsinB≈7 ⋅ 0,8660=0,6062; ∠B≈37° 19';10∠C≈180°–(60° + 37°19');10sin 60o=csin 42o 41';∠С≈82°41';10 ⋅ 0 ,6780c≈≈7,829.0 ,8660е) Найти: ∠A, ∠B, c, если ∠C=54°, a=6,3, b=6,3.Применим теорему косинусов: a2=b2+c2–2bc⋅cos∠Ac2=2⋅39,69–2⋅39,69⋅cos 54°; c2≈79,38–79,38⋅0,5878≈32,72; с≈5,72,так как a=b=6,3; то треугольник равнобедренный,∠A=∠B=(180°–54°):2=63°.ж) Найти: ∠B, ∠C, a, если ∠A=87°, b=32, c=45.По теореме косинусов:a≈53,84a2≈322+452–2⋅32⋅45⋅0,0523≈1024+2025–150,624≈2898,38По теореме синусов:53,84sin 87oABBCAC==sin ∠C sin ∠A sin ∠B≈32sin ∠B53,8432≈0,9986 sin ∠Bsin∠B≈0,5935 ∠B=36°24'∠C≈180°–(87°+36°24')≈56°36'з) Найти: ∠A, ∠B, ∠C, если a=14, b=18, c=20.По теореме косинусов: 202=182+142–2⋅18⋅14⋅cos∠Сcos∠C≈0,2381 ∠C≈76°13'182=142+202–2⋅14⋅20⋅cos∠Bcos∠B≈0,4857∠A≈180°–(76°13'+60°57')≈42°50'и) Найти: ∠A, ∠B, ∠C, если a=6, b=7,3, c=4,8.По теореме косинусов: 7,32=62+4,82–2⋅6⋅4,8⋅cos∠Bcos∠B≈0,0998 ∠B≈84°16'cos∠C≈0,75634,82=62+7,32–2⋅6⋅7,3⋅cos∠C∠A≈l80°–(84°16'+40°52')≈54°52'∠B≈60°57'∠C≈40°52'1026.Дано: ∆АВС, АС= 12см, ∠А = 75°, ∠C = 75°.Найти: AB, S∆АВС.∠В= 180°– (60°+75°) = 45°По теореме синусов:12=osin 45ABAB ≈osin 60S∆ABC =12 ⋅ 0 ,866≈12,90 ,80711⋅12⋅12,9⋅0,9659 ≈ 74,8 см221027.Дано: ∆АВС, ∠A=45°, ∠C=30°, AD=3м, AD⊥ВС.Найти: AB, BC, AC.Рассмотрим ∆ADC: т.к.

Характеристики

Список файлов книги