atnasyan-gdz-9-2001 (546188), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

∠C – тупой ⇒ ∆АВС – тупоугольный, ч.т.д.1066.rrДано: 3 i – 4 jrНайти: arrrrrТак как a = 3 i – 4 j , то a {3; – 4} a = 9 + 16 = 25 =51067.rrrr rrrДано: p =2 2 ; q =3, ( p , q )=45°, a =5 p +2 q ;r rrb = p −3 q , ∆АВС – тупоугольныйНайти: AC, BDr rrr r rr rAC = a + b =5 p +2 q + p -3 q = 6 p − qAC = (6p) 2 + q 2 − 12pqcos45° =288 + 9 − 12 ⋅ 2 2 ⋅ 3 ⋅r r rrrrrBD = b – a = p −3 q −5−2 q = −4 p −5 q2=2BD = 16p 2 + 20q 2 − 40pqcos45° = 593 ≈ 23,4225 = 151068.rr rrr r r rrrr∧rДано: a =2; | b | =5; ( a ; b )=120°; p =x a +17 b ; q =3 a − b ; p ⊥ qНайти: xrrrr rr rrrrrrp ⋅ q =(x a +17 b )(3 a – b )=3x a 2 –x ab +51 ab –17 b 2 ==12x–10x⋅cosl20°+51⋅10⋅cosl20°–17⋅25=12x+5x–255–425=17x–680r rr rт.к.

p ⊥ q , то p ⋅ q =0; 17x–680=0, 17х=680, x=401069.Дано: ∆ABC; ∠C=90°, AC=BC; AA1, BB1, – медианыНайти: ∠AOB, ∠BOA1Пусть BC=CA=2a, из ∆ВСВ1:ВВ1 = BC2 + CB12 = 4a 2 + a 2 = a 5 ,откуда АА1 = a 5BB1 = CB1 − CBAA1 = CA 1 − CABB1 ⋅ AA1 = (CB1 − CB) ⋅ (CA1 − CA ) == CB1 ⋅ CA 1 − CB1 ⋅ CA − CB ⋅ CA 1 + CB1 ⋅ CA 1 = −2a 2 − 2a 2 = −4a 21424314243=0=0cos∠AOB =∠AOB≈36°51';| BB1 ⋅ AA1 |BB1 ⋅ AA1=4a 2a 5 ⋅a 5=4= 0,85∠BOA1 ≈ 180°–36°51' ≈ 143°09'1070.Дано: ABCD — трапеция; AD=16 см, ВС=8 см, CD= 4 7 см,∠ADC=60°.

SABCC1=SCC1D.Найти: SABCD, CC1.sin60°=BHBH = 44 716 + 8S=⋅ 2 21 = 24 21237 = 2 212S=12 212т. C1 лежит на стороне AD, т.к.12SACO= ⋅16 ⋅ 4 7 sin 60o = 3221= 16 21 > 12 212т.е. AC1=16–12=4. Из треугольника CC1D:CC1 = 12 2 + ( 4 7 ) 2 − 2 ⋅ 12 ⋅ 4 7 ⋅ cos60o = 4 16 − 3 71071.4 3Дано: SАВС = 3 3 ∠A – острый; АВ= 4 3 ,АС=3.Найти: R описанной окружности.11АВ ⋅ АС ⋅ sin∠A = ⋅ 3 ⋅ 4 3 ⋅ sin∠A = 3 3 ;221sin∠A = ,∠A = 30° .2S=CПо теореме косинусов:CB2 = AC2 + AB2 – 2⋅AC⋅AB⋅cos∠ACB = 9 + 48 − 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 4 cos 30o =CD= 2R ,sinA21= 2R ,1/ 257 − 36 = 21R = 211072.∠M=4α ⇒ по св-ву ромба∠FMQ=∠FMP=α∠Q=180°–4α∠QMP=2αИз ∆MFQ:FQMF=sinFMQ sinQaMF=,sinα sin4αMF =asin4αsinαИз ∆MPF:MFFP=sin∠QMP sin∠PMFFP =(asin4α1asin4αsinα== 2acos2αsinαsin2αsin2αPQ = a (2cos2α + 1))S = PQ 2sin4α = a 2 4cos2 2α + 1 + 4cos2α sin4αГЛАВА XII.ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА1078.а) верно (по определению выпуклого многоугольника);б) неверно (т.к.

правильным является только тот многоугольник,углы и стороны которого равны).1079.а) неверно (т.к. углы должны быть тоже равны);б) верно (т.к. если все углы треугольника равны, то и стороныравны);в) верно (т.к. из равенства сторон треугольника вытекает равенствоуглов);г) неверно (например ромб).1080.Четырехугольник называется правильным, если все его стороныи все углы равны, а это только квадрат.1081.α=n−2⋅ 180°nа) n=3,α=3− 2⋅ 180°=60°3б) n=6,α=6−2⋅ 180°=4⋅30°=120°.6в) n=5,α=г) n=10,д) n=18,1082.360°.5−2⋅ 180°=3⋅36°=108°510 − 2⋅ 180°=8⋅18°=144°α=1018 − 2⋅ 180°=16⋅10° = 160°α=181083.n−2⋅ 180°n360n==3180 − 60α=a) α=60°,б) α=90°,n=в) α=135°,n=г) α=150°,n=360 o90 on=360°180° − α=4360 o180 o − 135 o360 oo180 − 150o==360 o45 o360 o30 o=8= 121084.a) АВ=60°,б) АВ=30°,в) АВ=90°,г) АВ=36°,д) АВ= 18°,е) AB=72°,360°/60°=6,360°/30°=12,360°/90°=4,360°/36°=10,360°/18°=20,360°/72°=5,n=6n=12n=4n=10n=20n=5.1085.Дано: ABCDEF — правильный; NO, МО, КО —серединные перпендикуляры к сторонам.Доказать: NO∩OM; ON, OK — совпадаютТак как ABCDEF — правильный 6-угольник, токаждый угол равен 120°, следовательно∠NOM=∠MOF= ...

= ∠KOQ = 60°.Так как серединные перпендикуляры к сторонам правильного6-угольника проходят через центр окружности, вписанной в него, тоугол между ними: ∠NOM=60°, ∠NOF=120°, ∠NOK=180°, т.е. онипересекаются или лежат на одной прямой. Ч.т.д.1086.Дано: ABCDEF − правильный 6-угольникДоказать: биссектрисы углов пересекаются илисовпадают.Так как ∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F =120°, то111∠A= ∠B=...= ∠F=60°2224Так как биссектрисы пересекаются в центре вписанной окружности∠COD=60°∠COE=120°∠COF=180°то биссектрисы или пересекаются или лежат на одной прямой.1087.an=2Rsinr=RcosS=№123R3 23 24180 on180 on1Pr2r3a46P24S362416162 24 216 23247 223,57284952 22416161088.a3=R 3 ,R=a3r=3P =3⋅a3;S=1R2a32 34№Rrа3PS131,53 39 327 342210 33110 333424 312 312 345 335 3651525 3452 333326210 33610 3310351089.Дано: ∆АВС, АВ=BC=AC; FKNE — вписанныйквадрат; PАВС=18 см.Найти: FK.Так как ∆АВС — равносторонний, то АВ=18:3=6смR=OB=AB3=63=2 3 смТак как FKNE — вписанный квадрат, то FK= R 2 .FK= 2 3 ⋅ 2 = 2 61090.Дано: АВС, АВ=ВС=АС=3 смНайти: dа3=R 3R=Q33=33= 3d=2R=2 3 см1091.Дано: ABCD − квадрат; описан около Окр (0; r),АВ=6 смНайти: dРешение:AB=2r=d=6 см1092.Дано: ABCD – квадрат; NMEKFQ –правильный 6-угольник описанныйоколо Окр (0; r); PNMEKFQ=48 смНайти: PABCDPNMEKFQ=6⋅a48=6⋅aа=8 смт.е.

в ∆QOF:∠OQF =R= 64 − 16 = 4 3 ,6360°= 60° ,61QF = 4 см,2PABCD = 2 ⋅ 4 3 ⋅ 4 = 32 3 .1093.Дано: ∆АВС — правильный, Окр (O; R) —описанная, Окр (O; r) — вписанная.Доказать: R=2rТак как ∆АВС — правильный, то центрывписанной и описанной окружностей совпадают. О— точка пересечения биссектрис, которые вравностороннем треугольнике являются и медианами; по свойствумедиан ВО:ОН=2:1, а т.к. BO=R, OH=r, то R:r=2:l, R=2r.

Ч.т.д.1094.а) n=4, R=3 2 сма4=R 2 =3 2 ⋅ 2 =6 см,r4=3смР4=4⋅а4=24 см11S4= P⋅r= ⋅24⋅3=36 см2.22б) n=3, P=24 смr=S3=a32 3=82 3=4 3см34 311P⋅r= ⋅24⋅= 16 3 см2.322в) n=6, r=9 смa6=R=2r3=2⋅6= 6 3 смP6=6⋅а6= 36 3 см31S6= ⋅ 36 3 ⋅9= 162 3 cм2.2г) n=8, r= 5 3 смa8=2Rsin45°45°45°r=2=2r⋅tg⋅sin45°222cos2r=R⋅costg45°,245°= tg22,5°≈0,41422R=rcos45°2a8≈2⋅5 3 ⋅0,4142≈7,1742 смP8=8⋅a8=8⋅7,1742≈57,3932S8 ≈157,3932⋅5 3 ≈248,52 см2271095.Дано: ABCDEK – правильный, 6-угольник, AA1=l,5 смНайти: SABCDEKТак как AKK1A1 – квадрат, то AK=AA1=l,5 см, т.е.а6=1,5 смr=a6⋅cos30°= a6⋅SABCDEK=33 3 3=1,5см=224113 3 3 27 3PABCDEK⋅r= ⋅(6⋅ )⋅=см.222481096.Дано: правильные треугольник, квадрат, шестиугольник, а3=а4=а6=а.Найти: S3:S4:S6P3=3а,r=a 36P6=6a;S3:S4:S6 =S3=S4=a2;S6 =a 3 a2 31=;⋅3a⋅264a 3 a23 31=⋅6a222a2 3 2 a 2 3 3:a := 3 :4: 6 3421097.Дано: ABCDEF – описанный правильный 6угольник; A1B1C1D1E1F1 – вписанный правильный6-угольник.Найти: S1:S2A1B1C1D1E1F1 – вписанный в окружность, тоA1B1=B1C1=...

=F1A1=RSA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 = 6S∆A 1 OB 1 =12=6  OA1 ⋅ OB1 ⋅ sin ∠60o  = 3 ⋅ R ⋅ R ⋅3 3 3R 2=22OA – биссектриса ∠A1OF1 ⇒ ∠A1OA=30°; A1A=x, получим OA=2x.По теореме Пифагора:A1A2+OA12=OA2;x2+R2=4x2;3x2=R2 ⇒x =8R 3;3AB=2 3R312SABCDEF = 6S∆AOB = 6⋅  OA ⋅ OB ⋅ sin ∠60 o  = 2 3R 3=3⋅ 23 4⋅3⋅ R 2 ⋅ 3==2 3R 223⋅ 2SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 :SABCDEF=3 33 3R 23:2 3R 2 ==22⋅2 3 41098.Дано: ∆АВС – правильный, r – радиус вписаннойокружности, R – радиус описанной окружности.Выразить: AB, P, S через r и RРешение:AB=R 3P∆=3 3 RS∆=3 3 3R 23R 21(R 3 )2⋅sin60°==⋅2242АВ=2 3 rS∆=P∆=6 3 r12r 231(2 3 r)2⋅sin60°==3 3 r2⋅2221099.Дано: A1...A8 – правильный восьмиугольниквписан в Oкp (O; R)Доказать: A3A4A7A8 — прямоугольник;S A3 A4 A7 A8Доказательство:Так как в 4-угольнике А3А4A7A8: А3А7=А4A8,то А3А4A7A8 — прямоугольникВ ∆A8OA: ∠OA8A7=∠OA7A8=67°30', то ∠A7OA8=45°A8A72=A8O2+A7O2–2A8O⋅A7O⋅cos45°A8A72=R2+R2–2R2⋅22=2R2 (1−)=R2(2 − 2 )22A8A7=R 2 − 2 − длина стороны.SA3A4A7A8=4(21 21R ⋅sin45°)=4⋅( R2)=R2 2 .22291100.a) Построить Окр(O; R) и разделить ее на6 равных частей циркулем радиуса R.ABCDEF – искомый.б) См.

рисунок.∆ВDF – искомый.в) построить два взаимноперпендикулярных диаметра AB⊥CD.ABCD – искомыйг) построить два взаимноперпендикулярных диаметра AB⊥CD,затем биссектрисы прямых углов EF иKQ.AKCFBQDE – искомый.1101.C=2πR, π=3,14С 25,12 18,84R438213,061102.а) С – увеличится в 3 раза;в) С – увеличится в k раза;18π94,46,28 637,42 14,650,71123101,50,45б) С – уменьшится в 2 раза;г) С – уменьшится в k раза.1103.а) если С – увеличится в k раз, то R – увеличится в k раз;б) если С – уменьшится в k раз, то R – уменьшится в k раз.1104.а) Дано: ∆АВС – вписан в Oкр(O; R);АВ=ВС=АС=аНайти: CАВ =R 3 ,C=2πR=2π102 2R=a3=a 3,3a 3 2πa 3=;33б) Дано: ∆АВС – вписан в Oкр(O; R); AC=b, ВС=а, ∠C=90°;Найти: CРешение:О – на середине AB;AB = a 2 + b 2 ,R=12a2 + b2 .C=2πR=π a 2 + b 2 ;в) Дано: ∆АВС – вписан в Oкр(O; R); АВ=ВС=b, АС=аНайти: CРешение:ВН2=АВ2– АН2=b2–BH=a2,414(b 2 − a 2 )2Пусть AO=R, тогдаНO=14b 2 − a 2 –R2По теореме Пифагора: АO2=АН2+ОН2R2 =(11114b 2 − a 2 –R)2+ а2 = (4b2a2) – R 4b 2 − a 2 +R2+ а22444R 4b 2 − a 2 = b2С=2πR =R=b2b2 − a2,2πb 2b2 − a2г) Дано: ABCD – прямоугольник вписан в Окр(O; R); АВ=а,∠AOB=αНайти: CРешение:По теореме косинусов:AB2AO2+BO2–2⋅AO⋅BO⋅cos∠AOBa2=R2+R2 –2R2cosα=2R2(l–cosα)R2=a22(1 − cos α)aR=С=2πR=2π2(1 − cos α)aα2 sin2=πa2 sin=a2 sinα2,α211д) Дано: ABCDEF – правильный 6-угольник; S=24 3 см2Найти: CРешение:S=6⋅SAOBSAOB=R2 31 2R sin60°=2424 3 =6R2=96,R=4 смС=2πR=24=8π.6R 2 341105.a) Дано: ABCD – квадрат описанный около Oкр(O; r); АB=аНайти: CРешение:r=a2C=2πr=πaб) Дано: ∆АВС – описан около Oкр(O; r); ∠C=90°, АС=ВС, AB=cНайти: CРешение:Т.к.

Характеристики

Список файлов книги