atnasyan-gdz-7-2005 (546184), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Поскольку треугольники АРС и ВСЕ равнобедренные, то В ь ! а ВСЕ = 180' — — (180' — лА)— Рнс. 189 2 — — (180' — АВ) =- — (лА -1- АВ). Но углы А и В являются односторонними углами, образованными при пересечении параллельных прямых АТ) и ВЕ секущей АВ, поэтому А.4+ АВ = 180', а значит, АРСЕ = 90'. 299. На рисунке 190 (рис. 145 учебника) АВ = АС, АР = РО = ОЛ = В — ВС Найдите угол А Решение. Обозначим угол А треугольника АВС А буквой гл.
Треугольник АРСз — равнобедренный, и угол ЛРЯ вЂ” внешний угол этого треугольника, поэтому л'ЛРЯ = 2сг. Треугольник ЛРСу также равнобедренный, а значит, л'.РЩ = 'ЛРСу = 2о. Угол ВС!Л вЂ” внешний угол треугольника АЯЛ, д поэтому УВЯЛ = о+ 2сг = Зсг. Треугольник ВС)Л— равнобедренный, следовательно, лЛВЯ = УВЯЛ = Зсг. Угол ВЛС внешний угол треугольника АВЛ, Рис.!90 поэтому АВЛС =- о+ Зы =. 4гь, а поскольку треуголь- ник ВСЛ равнобедренный, то лВСЛ = АВЛС = 4гг. Итак, в равнобедренном треугольнике АВС л'А =- сь, л'В = л'С = 4сг.
Имеем: сь + 4о + 4сь = 180', откуда сг =- 20'. Ответ. 20', 300. Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведенной из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведенных из вершин острых углов, на продолжениях сторон. Р е ш е н и е. Докажем сначала, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведенной из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника.
Воспользуемся мето- Г дом доказательства от противного. Рассмотрим треугольник АВС с тупым углом А и допу- Рис. 191 стим, что основание его высоты АН не лежит Дополиительиьье задачи 91 301. Из точки Л к прямой а проведены перпендикуляр ЛН и наклонные ЛЛХ~ и ЛМв Докажите что а) если 11М~ = 11Ме, то ЛЛХ~ = ЛЛХп б) если НМ~ < НМ., то ЛЛХ~ < АМз Ре ш е н и е. а) Прямоугольные треугольники АНМ! и АНЛХз равны по первому признаку равенства треугольников, поэтому их гипотенузы АЛХ! и АЛ1з равны. б) Если точки М! и ЛХз лежат по разные стороны от точки Н, то на луче НЛХз отложим отрезок НЛХз = НЛХ~ (рис.193); согласно доказанному в части а) АМ! = АМь В противном случае примем за точку Мз точку М!.
Угол АЛХзЛХа является внешним углом треугольника АНМз, поэтому он больше прямого угла Н этого треугольника. Следовательно, в тупоугольном треугольнике АМзМз сторона АЛХз, лежащая против тупого угла, больше стороны АЛХз = АМы лежащей против острого угла. С Рис. ! 92 М, Н Рис.!93 4 Л.С. Атаиасяи и лр. на стороне ВС. Пусть, например, оно лежит на продолжении стороны ВС за точку В !рис.191). Поскольку в прямоугольном треугольнике АВН угол В острый, то смежный с ним угол АВС тупой. Следовательно, в треугольнике АВС два тупых угла: А и В, чего не может быть.
Это означает, что наше предположение неверно — точка Н не может лежать на продолжении стороны ВС за точку В. Аналогично доказывается, что точка Н не может лежать на продолжении стороны ВС за точку С, а значит, она лежит на стороне ВС. Докажем теперь, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведенной из вершины острого угла, лежит на продолжении стороны треугольника. Вновь воспользуемся методом доказательства от противного. Рассмотрим треугольник АВС с тупым углом В и допустим, что основание его высоты АН лежит на стороне ВС (рис.192). Тогда окажется, что в прямоугольном треугольнике АВН угол В— тупой, чего не может быть.
Это означает, что наше предположение неверно — точка Н не может лежать на стороне ВС, а значит, она лежит на продолжении этой стороны. 98 Гл. 4. Соотногиения между сторонами и углами треугольника 302. Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные АЛХ~ и,4ЛХг Докажите, что: а) если АЛХ~ = АМм то НЛХ~ = НЛХь, б) если АЛХЧ < АЛХг, то НЛХ~ < НЛХм Ре ше н не.
а) Допустим, что НМ~ ф НЫш Если НЛХ~ < НЛХш то, согласно задаче 301, АЛХ~ < АЛХз, если же НЛХП > НЛХз, то АЛХь > > АМш И то, и другое противоречит условию. Следовательно, НЛХ~ = = НМ. б) Допустим, что НЛХ~ > НЛХю Если НЛ1~ = НМя, то, согласно задаче 301, а, АЛХ~ = АЛХгд если же НМ~ > НМа, то, согласно задаче 301, б, АЛХ~ > АЛХя, И то и другое противоречит условию. Следовательно, НЛХ~ < НЛХю 303*.
Два населенных пункта А и В находятся по одну сторону от прямой дороги. Где на дороге надо расположить автобусную остановку С, чтобы сумма расстояний АС+ СВ была наименьшейз Решение. Рассмотрим такую точку Аи что дорога проходит через середину ЛХ отрезка АА~ и перпендикулярна к нему (рис.194). Прямоугольные треугольники АМС и А~ЛХС равны по первому признаку равенства треугольников, поэтому их гипотенузы АС и А~С равны.
Следовательно, АС + СВ =- А~С + СВ. Если точка С не лежит на прямой А~В, то А~С + СВ > А~В (неравенство треугольника); если же точка С лежит на прямой А~В, то А~С+ + СВ = А~В. Таким образом, сумма А~С+ СВ, а значит и сумма АС + СВ, принимает наименьшее значение в том случае, когда точка С представляет собой точку пересечения прямой А~В с дорогой. Ответ. В точке пересечения дороги с отрезком А~В, где А~— такая точка, что дорога проходит через середину отрезка 4А~ и перпендикулярна к нему. 304*. Докажите, что если точка ЛХ лежит внутри треугольника АВС, то ЛХВ Ч- ЛХС < АВ Ч-Ас.
Решение. Пусть ЛХ вЂ” точка пересечения прямой ВЛХ и отрезка АС (рис. 195). Применяя теорему о неравенстве треугольника к треугольнику АВ)Лг, получим: Рис 194 Рис 195 99 Доаолнительньче задачи ВХч' =- М В + ЛХ|ч" < АВ + АХ, откуда МВ < АВ+ Адг — ЛХЛХ. Применяя теорему о неравенстве треугольника к треугольнику ЛХЛгС, получим; ЛХС < Л|дг + ЛгС. Складывая полученные неравенства и учитывая, что Ачч'+ ЛгС = =- АС, найдем: ЛХВ + МС < АВ + АС.
305. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника. Решение. Пусть М вЂ” произвольная точка, лежащая внутри треугольника АВС. Согласно задаче 304, МВ+ МС < АВ+ АС, МС+ МА < ВС+ ВА ЛХА + ЛХВ < СА + СВ. Складывая эти неравенства и деля обе части полученного неравенства на 2, найдем: МА+ Л|В+ Л|С < АВ+ ВС+ СА. 306. Докажите, что если АВ = АС ч- СВ, то точки А, В и С лежат на одной прямой.
Решение. Допустим, что точки А, В и С не лежат на одной прямой, Применяя теорему о неравенстве треугольника к треугольнику АВС, получим: АВ < АС+ СВ. Но это противоречит условию, а значит, точки А, В и С лежат на одной прямой. 307. В прямоугольном треугольнике проведена высота нз вершины прямого угла Докажите, что данный треугольник н два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы.
Решение. Каждый из образовавшихся прямоугольных треугольников имеет по одному общему острому углу с данным прямоугольным треугольником, поэтому другие их острые углы также соответственно равны углам данного прямоугольного треугольника. !00 Гл 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника 308. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС, равным 37 см, внешний угол при вершине В равен 60'. Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ. Р е ш е н и е. Поскольку внешний угол при вершине В равнобедренного треугольника, противолежап1ей основанию, равен сумме двух равных углов при основании (рис. 196), то каждый из них равен 30'. Следовательно, высота СН треугольника АВС, равная расстоянию от вершины С до прямой АВ, является катетом прямоугольного треугольника АСН с гипотенузой АС, лежащим против угла в 30'.
Поэтому СН =- = 18,5 см. АС 2 Ответ. 18,5 см. 309. В треугольнике с неравными сторонами АВ и АС проведены высота ЛН и биссектриса ЛР. Докажите, что угол ВАР равен полуразности углов В н С. Решение. Пусть, например, АВ > АС и, следовательно, л'.С > > л'.В (рис. 197). Угол АРС является внешним углом треугольника АВР, поэтому ЛАРС лЛ + л В 180' — л — кС г В 2 2 = 90'+ — — —, лВ гС 2 2 а значит, аНАР =- 90' — (90' ч- — — — ') =- — — —. г'В кСт кС лВ 2 2 ) 2 2 С С Н В Рис. 196 Рнс.
197 210. Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведенные к равным сторонам, равны. Решение. Рассмотрим равные треугольники АВС и А~В~Си у которых, в частности, АВ = А~В~ и л'.В = л'.В~ (рис.198). Пусть АН и А1Н~ — их высоты. Прямоугольные треугольники АВН и А~В~В~ равны по гипотенузе (АВ = А1В1) и острому углу (аВ = ~В~), поэтому АН = А~Н1.
Дополнительные задачи 101 Рис. 198 31 1. Что представляет собой множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых? Р е ш е н и е. Пусть и и 6 данные прямые, пересекающиеся в точке О, М вЂ” точка, равноудаленная от этих прямых (рис.199). Проведем из точки ЛХ перпендикуляры ЫН, и МНз к данным прямым. Поскольку ЛХН~ =- ЛХНа, то прямоугольные треугольники ЛХОН~ и ЛХОНз равны по гипотенузе и катету, а значит, луч ОЛХ вЂ” биссектриса угла Н ОН. Обратно, если точка ЛХ лежит на биссектрисе одного из четырех углов, образованных при пересечении прямых а и 6, то перпендикуляры ЛХН~ и ЛХНз, проведенные к сторонам этого угла, равны, поскольку прямоугольные треугольники ЛХОН~ и МОНз равны по гипотенузе и острому углу.
Следовательно, точка ЛХ равноудалена от прямых а и 6. Итак, искомое множество состоит из биссектрис четырех углов, образованных при пересечении данных прямых. От ве т. Две прямые, содержащие биссектрисы углов, образованных при пересечении данных прямых. 312. Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей на про- тивоположной стороне Докажите, что этот отрезок меньше большей нз двух других сторон. Решен не.
Рассмотрим треугольник АВС, в котором АС > АВ, и возьмем на его стороне ВС произвольную точку ЛХ (рис.200). Угол АЛХС является внешним углом треугольника АВЛХ, поэтому он больше угла В этого треугольника. С другой стороны, АС > АВ, с В Рис 200 Рис 199 !02 Гл 4 Соотношения между сторонами и углами треугольника 3!35 Постройте к третьей стороне Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
