atnasyan-gdz-7-2005 (546184), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Решение. Проведем через середину М отрезка ХУ прямую, перпендикулярную к прямым а и 6 (рис.178), и обозначим буквами Н и К точки пересечения этой прямой с прямыми а и 6 соответственно. Прямоугольные треугольники ХНМ и УКЛХ равны по гипотенузе и острому углу, поэтому МН = = МК. Следовательно, точка ЛХ равноудалена от прямых а и 6, а значит, согласно результату задачи 281, лежит на прямой, параллельной прямым а и Ь и равноудаленной от этих Рнс. 178 прямых. 283.
Что представляет собой множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямойб Р е ш е н и е. Согласно теореме п. 37 и утверждению, сформулированному в задаче 279, множество всех точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от нее, представляет собой прямую, параллельную данной прямой. Поэтому искомым множеством точек являются две прямые, параллельные данной прямой и расположенные на данном расстоянии по разные стороны от нее. О т в е т. Две прямые, параллельные данной прямой и расположенные на данном расстоянии по разные стороны от нее. Задачи на построение 285. Даны пересекающиеся прямые а и б и отрезок РЯ.
Па прямой о постройте точку, удаленную от прямой б на расстояние Рб7. Решен не. Проведем прямую, параллельную прямой 6 и удаленную от нее на расстояние РЯ (как это сделать, написано в решении задачи 284, см. учебник). Поскольку все точки этой прямой удалены от прямой Ь на расстояние РЯ, то точка ее пересечения с прямой а— искомая. В соответствии с результатом задачи 283 данная задача имеет два решения.
92 Гл. 4. Соотногиения между сторонами и углами треугольника 286. Постройте треугольник по стороне, прн- С лежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной нз вершины этого угла. Р е ш е н и е. Построим угол )зй, равный М 6 данному углу (рис. 179),и на луче 6 от его начала А отложим отрезок АВ, равный данной стороне треугольника. Затем проведем бисРнс. 179 сектрису угла 66 и отложим на ней отрезок АЛХ, равный данной биссектрисе. Наконец, проведем прямую ВМ до пересечения с лучом й в точке С. Треугольник АВС вЂ” искомый. 287.
Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной к одной из двух других сторон, и углу между данными стороной н медианой. Решен и е. Построим угол 6й, равный данному углу (рис. 180), и на луче 6 от его М начала А отложим отрезок АВ, равный данной стороне треугольника, а на луче й — отрезок АМ, равный данной меди- А ане. Затем проведем луч ВЛХ и отложим на нем отрезок МС = ВМ. Наконец, соРис !80 единим точки А и С отрезком.
Треуголь- ник АВС вЂ” искомый. 288. Даны отрезок РЯ н угол 6й. Постройте треугольник АВС так, чтобы; а) АВ = РСХ, лАВС =- лйй, лВАС =. —, лйй; б) АВ .= РСХ, лАВС =. 1 2 = лйй, лВАС = — лйй. 4 Решение. а) Построим отрезок АВ = РЯ. От лучей ВА и АВ отложим углы АВМ и ВАЛ', равные углу )ьй, так, чтобы точки ЛХ и ))г лежали по одну сторону от прямой Е) АВ (рис. 181), Затем проведем биссектрису угла ВАЛг до пересечения с лучом ВЛХ в точке С. С) Треугольник АВС искомый. В б) Выполним построение, описанное в решении части а) задачи, но точку С обозначим иначе — например, буквой Е. ЗаРис.
!8! тем проведем биссектрису угла ВАЕ до пе- с лучом ВМ в точке С. Треугольник АВС ресечения искомый. 289. Даны два угла )гй и Ьл6~ н отрезок РСХ. Постройте треугольник АВС 1 так, чтобы АВ = Рб), г'А = лйй, лВ = — лй~йи 2 Задачи на построение 93 Р е ш е н и е. Построим отрезок АВ = = РЦ. От лучей ВА и АВ отложим углы АВЛХ и ВАЛг, равные соответственно углам 6~61 и 6гп так, чтобы точки ЛХ и )У лежали по одну сторону от прямой АВ (рис. 182). Затем проведем биссектрису угла АВЛХ до пересечения с лучом Адг в точке С. Треугольник АВС вЂ . искомый. Рис 182 291. Постройте равнобедренный треугольник а) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию; б) по основанию и углу при основании; в) по боковой стороне и углу при основании; г) по основанию и боковой стороне; д) по основанию и медиане, проведенной к основанию Р е ш е н и е.
а) Боковые стороны равнобедренного треугольника равны, поэтому задача сводится к построению треугольника по двум сторонам и углу между ними, а эта задача решена в учебнике. б) Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому задача сводится к построению треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам, а такую задачу мы уже решали (см., например, решение задачи 288).
в) От произвольного луча 6 отложим л'.66ы равный данному углу (рис. 183), а затем от луча 61 отложим Л6~ба = л'66~ и проведем луч 6ы являющийся продолжением луча 6. Угол )Ч 6з равен, очевидно, углу, противолежащему основанию искомого треугольника.
Таким образом, задача в) свелась к задаче а). г) Боковые стороны равнобедренного треугольника равны, поэтому задача сводится к построению треугольника по трем сторонам, а эта задача решена в учебнике. д) Построим отрезок АВ, равный данному основанию, и найдем его середину ЛХ 1рис. !84). Поскольку медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой, то поступим так.
Через точку ЛХ проведем прямую, перпендикулярную к АВ, и отложим на одном из ее лучей с началом ЛХ отрезок ЛХС, равный данной медиане. Треугольник АВС вЂ” искомый. 290. Постройте прямоугольный треугольник: а) по двум катетам; б) по катету и прилежащему к нему острому углу Решение. а) Построим сначала прямой угол с вершиной А, а затем на его сторонах отложим отрезки АВ и АС, равные данным катетам. Наконец, соединим точки А и С отрезком.
Треугольник АВС— искомый. б) Построим отрезок АВ, равный данному катету. Через точку А проведем прямую, перпендикулярную к АВ. От луча ВА отложим угол, равный данному углу, и продолжим его сторону до пересечения с проведенной прямой в точке С. Треугольник АВС вЂ” искомый. 94 Рл 4. Соотношения между стаоронами и углами гяреугольника А лу Рнс. 184 Рнс. 183 292. Даны: отрезки Р~ьгп РЯ и РЯз. Постройте треугольник ЛВС так, чтобы. а) ЛВ = Р10п ВС = РЯз, СЛ = 2РДз, .б) ЛВ = 2Р1 фи ВС = РЯм 3 СЛ = — !',Яз. Всегда ли задача имеет решение? 2 Решение. а) Построим отрезок, равный 2РЯз. Теперь задача сводится к построению треугольника по трем сторонам, а эта задача решена в учебнике (она имеет решение не всегда).
3 б) Построим отрезки, равные 2Р|Я1 и — Раааа. Теперь задача сво- 2 дится к построению треугольника по трем сторонам, а эта задача решена в учебнике (она имеет решение не всегда). Ответ. а) Не всегда; б) не всегда. А В а А В б А В в Рнс. 185 294. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к одной из этих сторон. Р е ш е н и е. Проведем произвольную прямую а (рис. 185), а затем прямую Ь, параллельную прямой а так, чтобы расстояние между прямыми и и Ь было равно данной высоте искомого треугольника (см.
задачу 284). На прямой и отметим точки А и В так, чтобы отрезок АВ был равен той из данных сторон, к которой проведена высота. Проведем теперь окружность с центром А, радиус которой равен второй из данных сторон, и обозначим через С1 и Сз точки пересечения этой окружности и прямой Ь. Каждый из треугольников АВС~ и АВСз удовлетворяет условию задачи и тем самым является искомым. Из построения ясно, что задача может иметь два решения (проведенная окружность пересекает прямую Ь в двух точках, Доаолнигнельньье задачи 95 см.
рис. 185, а), одно решение (проведенная окружность пересекает прямую 6 в одной точке, см. рис.185, б) или не иметь ни одного решения (проведенная окружность не имеет общих точек с прямой 6, см. рис. 185, в). 295. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане к одной из этих сторон. Р е ш е н и е. Построим отрезок АВ, равный той из данных сторон, к которой проведена медиана, и найдем его середину ЛХ !рис.186). Затем построим треугольник АЛХС, сторона АС которого равна второй из данных сторон, а ЛХС вЂ” данной медиане !задача о построении треугольника по трем сторонам решена в учебнике). Треугольник АВС вЂ” искомый.
А В Рис. 188 Дополнительные задачи 296. В равнобедренном треугольнике АХдС биссектрисы равных углов В и С пересекаются в точке О. Докажите, что угол ВОС равен внешнему углу треугольника при вершине В. Решение. Пусть в треугольнике АВС л'В =- л'С =- о. Из треугольника ВОС !рис.187) находим: ОВОС = 180' — — — — = 180' — сь = 180' — кВ, 2 2 что и требовалось доказать. 297. На стороне А1) треугольника АРС отмечена точка В так, что ВС = = ВР.
Докажите, что прямая РС параллельна биссектрисе угла АВС. Р е ш е н и е. Треугольник ВС Р вЂ” равнобедренный (рис. 188), а угол АВС вЂ” внешний угол этого треугольника при вершине, противоположной основанию. Поэтому биссектриса угла АВС параллельна основанию РС (см. задачу 233). А Рис. !87 Рис !88 96 Гл. 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника А С В 298. На рисунке 189 (рис.!45 учебника) АВ ~~ ВЕ, АС = АРл и ВС = ВЕ. Докажите, что угол ВСŠ— прямой. Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
