atnasyan-gdz-7-2005 (546184), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Даны две прямые а и 6. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает н прямую Ь, то прямые а и Ь параллельны. Ре ш е н не. Предположим, что прямые а и 6 не параллельны, т. е. пересекаются. Тогда можно провести такую прямую с, которая пересекает прямую и, и не пересекает прямую 6 (задача 218).
Но это противоречит условию задачи. Значит, наше предположение неверно, иа (Ь. 220. Докажите, что если при пересечении двух прямых а и Ь секущей накрест лежащие углы не равны, то прямые и, и Ь пересекаются Решение. Пусть при пересечении прямых а и Ь секущей с накрест лежащие углы 1 и 2 не равны (рис.139). Предположим, что а ~~ 6. Тогда по первой теореме и. 29 накрест лежащие углы равны, т. е. л'! = = л'2, что противоречит условию задачи. Значит, наше предположение неверно, и прямые а и 6 пересекаются. 221. Даны треугольник АВС и точки ЛХ и Л', такие, что середина отрезка ВЛХ совпадает с серединой стороны АС, а середина отрезка СЛ' — с серединой стороны АВ. Докажите, что точки ЛХ, Лг и А лежат на одной прямой.
Ре ш е н и е. Поскольку середины отрезков АВ и Сдг совпадают (рис.!40), то АЛг ~~ ВС (см. задачу 188). Аналогично, середины Рис. 139 Рис. 140 отрезков ВЛХ и АС совпадают, поэтому АЛХ ~~ ВС. Таким образом, через точку А проходят прямые АЛХ и АЛг, параллельные прямой ВС. Но через точку А можно провести только одну прямую, параллельную 72 Гл. 3. 7?ариллельные прямые 222. Ланы прямая а и точка А, не лежаптая на ней. С помощью пиркуля и линейки через точку А проведите прямую, параллельную прямой а,.
Р е ш е н и е. Через точку А (рис, 141) проведем прямую АВ, перпендикулярную прямой а (задача 153), Затем через точку А проведем прямую с, перпендикулярную к прямой АВ. Прямые с и а параллельны. Лействительно, по построению с з АВ и а с АВ, значит, а ~~ с (п. 12). е А Рис. 141 прямой ВС. Поэтому прямые АЛХ и АЧ совпадают, т. е. точки ЛХ, А и ХЧ лежат на одной прямой. Глава 4 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА ф 1. Сумма углов треугольника 223.
Найдите угол С треугольника АВС, если; а) г.'.Л =- 65', г.'В = 57', б) г.'.Л = 24', г,'В = !30', в) г,'Л = а, хВ = 2о; г) г,'А = 60 + о, ~В =- 60' — о. Решение. кА -~ х'.В+ х.'С = 180', откуда х'.С =- 180' — з'.А — ЛВ. Поэтому: а) к'С =- 180' — 65' — 57' =- 58', б) хС =- 180' — 24' — 130' = — 26', в) з'.С = 180' — сг — 2а = 180' — Зси г) х'С = !80' — 60' — а — 60' + сг = 60'. Ответ. а) 58', б) 26', в) 180' — Зеи г) 60'. 224. Найдите углы треугольника АВС, если з'Л: з'.В: г,'С = 2: 3: 4. Решение.
Из условия задачи следует, что х'.А = 2си ЛВ = За, лС =. 4гт, где сг — некоторый угол (рнс.!42). Поскольку х'.А + з'.В + + л'.С = 2а+ Зсг -й 4о = 9о =- 180', то а = = 20', а значит, к'.А = 180' 9 =- 40', х'.В =- 60', х'С = 80'. Ответ. к'.А = 40', х'.В = 60', х'.С = 80'. 225. Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60". Р е ш е н и е. Все углы равностороннего треугольника равны друг другу и составляют в сумме 180'.
Поэтому каждый из них 180' равен — = 60'. 3 226. Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника— острые. Решение. Пусть а — угол при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию (рис. 143). Поскольку сумма 74 Гл 4 Соотношения между сторонами и углами треугольника углов треугольника равна 180', то сумма двух углов при основании равна 180' — сг, а значит, каждый из них равен 180' — а 90ь о < 90ь 2 2 227. Найдите углы равнобедренного треугольника, если а) угол прн основании в два раза больше угла, противолежащего основанию; б) угол при основании в три раза меньше внешнего угла, смежного с ним.
Решение. а) Из условия задачи следует, что если о — угол при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию гсм. Рис. 143), то углы при его основании равны 2о. Имеем: о+ + 2гт+ 2ы =- 5ы = 180', откуда о =- 36'. Таким образом, угол при вершине равен 36', а углы при основании 2 36' = 72'. б) Пусть ы — угол при основании данного равнобедренного треугольника !рис. !44). Поскольку смежные углы составляют в сумме Рнс. 144 Рис. 143 Рис. 142 180', то от + Згг = 4о = 180', откуда гь = 45'.
Итак, углы при основании равнобедренного треугольника равны 45', а значит, угол при его вершине, противолежащей основанию, равен 180' — 45' — 45' = 90". Ответ. а) 36', 72', 72'! б) 45', 45', 90'. 228. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один нз его углов равен: а) 40'! б) 60'! в) 100'. Ре ш е н не. а) Если данный угол в 40' лежит при основании равнобедренного треугольника, то другой угол при основании также равен 40', а значит, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 180' — 40' — 40' = !00'! если же данный угол в 40' лежит при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, то сумма углов при его основании равна 180' — 40' =- 140', а значит, !40' каждый из них равен = 70'.
2 б) Если данный угол в 60' лежит при основании равнобедренного треугольника, то другой угол при основании также равен 60', а значит, угол при вершине равен 180' — 60' — 60' .= 60'; если предположить, что данный угол лежит при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, мы получим, очевидно, тот же результат. 75 ф д Сумма углов треугольника в) Угол при основании равнобедренного треугольника не может быть тупым !задача 226), поэтому данный угол в 100' является углом при его вершине, противолежащей основанию. Следовательно, углы п и основании авны р Р 180' — ! 00' 40о 2 Ответ.
а) 40', 40' и 100' или 40', 70' и 70', б) 60', 60' и 60', в) 100', 40' и 40'. 229. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса АР. Найдите аАРС, если лС =- 50'. Решение. Поскольку АХ7 — биссектриса !рис.145), то л'.САР = 50' = — = 25', а значит, 2 л'.АВС вЂ” -- 180' — 50' — 25' =- 105'. Ответ. 105'. 230. Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересекаются в точке ЛХ. Найдите аАЛХВ, если лА = 58', кВ = 96'. Решение. Поскольку АЛХ и ВЛХ вЂ” биссектрисы !рис.
146), то аЛХАВ = = 29', г'.ЛХВА =. = 48", 58 а, 96 2 ' 2 а значит, г'.АЛХВ = 180' — 29' — 48' = 103'. Ответ. 103'. 231. Медиана АЛ! треугольника АВС равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник АВС вЂ” прямоугольный. Решение. Из условия задачи следует, что треугольники АВЛХ и АСЛХ вЂ” равнобедренные (рис. 147), поэтому углы при основании каждого из них равны. Следовательно, г'.А = г'.В+ г'.С. С другой стороны, ~А = 180' — ~ — ЛС = 180' — ~А, откуда находим: г'.А = 90'. Рис.
145 Рис. !47 Рис. 146 76 Гл 4 Соотноьиения между сторонами и углами треугольника 232. Докажите, что если один нз внешних углов треугольника в два раза болыпе угла треугольника, не смежного с ним, то треугольник равнобедренный. Верно ли обратное утверждение! Ре ш е н не. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Поэтому если он в два раза больше одного из них, то он в два раза больше и другого. Следовательно, указанные углы равны, а значит, треугольник равнобедренный (см. следствие 2 п.32). Справедливо и обратное утверждение: в равнобедренном треугольнике один из внешних углов в два раза больше угла треугольника, не смежного с ним. В самом деле, внешний угол при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, равен сумме двух углов при его основании, а значит, он в два раза больше каждого из них. Ответ.
Да. 233. Докажите, что биссектриса внешнего угла прн вершине равнобедренного треугольника, противояежапгей основанию, параллельна основанию. Р е ш е н и е. Пусть ВР -- биссектриса внешнего угла равнобедренного треугольника АВС с основанием АС (рис.148). Указанный внешний угол равен сумме двух углов при основании и, следовательно, в два раза больше каждого из них. Поэтому л'.СВР = = л'.АСВ.
Но углы СВР и АС — накрест С лежащие при пересечении прямых АС и ВР Рис. 148 секущей ВС, значит, прямые АС и ВР парал- лельны. 234. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115' Найдите углы треугольника. Р е ш е н и е. Из условия задачи следует, что угол треугольника, смежный с данным внешним углом, равен !80' — 1!5' =- 65'. Если этот угол лежит при основании равнобедренного треугольника, то другой угол при основании также равен 65', а значит, угол прн вершине, противолежащей основанию, равен 180' — 65' — 65' = 50', если же этот угол лежит при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, то сумма углов при его основании равна !80' — 65' = 115', а значит, каждый из них равен = 57'30'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
