atnasyan-gdz-7-2005 (546184), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Постройте угол УХл' так, чтобы хУХл = 2хВАС. Р е ш е н и е. Сначала от данного луча ХУ отложим угол Х7ХУ, равный данному углу ВАС (рис. 82). Построение угла, равного данному, описано в п. 23 учебника. Затем от луча ХХг отложим угол гХ1Э, равный углу ВАС, как показано на рисунке 82. Угол УХŠ— искомый, так как г'.УХЕ = 2г'.ВАС. Ответ.
Не всегда. ф 4 Задачи на построение Рис. 82 Рис. 81 152. Дан тупой угол АОВ Постройте луч ОХ так, чтобы углы ХОА и ХОВ были равными тупыми углами. Решение. Построим биссектрису ОУ данного тупого угла АОВ (рис. 83). Построение биссектрисы 8 у угла описано в п.23 учебника. Проведем далее прямую ОУ и обозначим через О ОХ луч, являющийся продолжением луча ОУ. Докажем, что луч ОХ является искомым. Х В самом деле, углы ХОА и ХОВ являются смежными с равными острыми углами УОА и УОВ.
Рис. 83 Поэтому е'ХОА и х'.ХО — равные тупые углы. 154. Дан треугольник АВС Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВЛХ; в) высоту СН треугольника. Р е ш е н и е. а) Построим биссектрису угла А (как это сделать, описано в п.23 учебника) и обозначим буквой К точку пересечения построенной биссектрисы со стороной ВС. Отрезок АК вЂ” искомая биссектриса треугольника АВС. б) Построим середину отрезка АС (как это сделать, описано в п. 23) и обозначим ее буквой М. Проведем отрезок ВЛХ. Этот отрезок и есть искомая медиана треугольника АВС.
в) Построим прямую, проходящую через точку С и перпендикулярную к прямой АВ (см. задачу !53). Обозначим буквой Н точку пересечения построенной прямой и прямой АВ. Отрезок СН вЂ” искомая высота треугольника АВС. 155. С помощью пиркуля и линейки постройте угол, равный а) 45', б) 22'30'. Решение. Проведем прямую и отметим на ней точки А и В. Затем построим прямую АС, перпендикулярную к прямой АВ (как это сделать, описано в п. 23 учебника), Очевидно, е'.ВАС = 90'.
а) Построим биссектрису АР угла ВАС. Тогда аВА)З = 45'. б) Построив теперь биссектрису АЕ угла ВАО, получим угол ВАЕ, равный 22'30'. 48 Хл. 2. ?реугольники Дополнительные задачи 156. Периметр треугольника ЛВС равен 15 см. Сторона ВС больше стороны ЛВ на 2 см, а сторона ЛВ меньше стороны ЛС на 1 см. Найдите стороны треугольника. Решение.
По условию А — ' ВС+ АС = 15 см, ВС = АВ+ 2 см, АВ = АС вЂ” 1 см. Отсюда получаем АВ ч- (АВ + 2 см) + (АВ + 1 см) = 15 см, или ЗАВ = 12 см. Следовательно, АВ = 4 см, ВС =-6 см, АС = 5 см. Ответ. АВ = 4 см, ВС = 6 см, АС = 5 см. 157. В равнобедренном треугольнике основание больше боковой стороны на 2 см, но меньше суммы боковых сторон на 3 см.
Найдите стороны треугольника. Решение. Пусть ВС основание равнобедренного треугольника АВС. Тогда АВ = АС, ВС = АВ + 2 см, ВС = АВ + АС вЂ” 3 см. Отсюда получаем: АВ+ 2 см = АВ + А — 3 см и, следовательно, АВ = 5 см. Поэтому ВС = 7 см, АС = 5 см. Ответ. 5 см, 5 см, 7 см. 158.
Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведенная к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника. Р е ш е н и е. Пусть в треугольнике АВС: М ВС = 8 см, АВ = АС, ВЛХ вЂ” медиана (рис. 84). Возможны два случая: а) Рлвлт = Рспп+ +2 см; б) Рспти = Рлвм+2 см. В С а) АВ+ ВМ+ АМ = ВС+ ВМ+ МС+ + 2 см. Отсюда, учитывая равенство АЛХ = Рис. 84 = МС, получаем: АВ = ВС+ 2 см = 8 см+ + 2 см = 1О см. б) ВС+ ВМ+ ЛХС вЂ” -- АВ+ ВМ+ АЛХ+ 2 см. Отсюда получаем: ВС = АВ + 2 см, т.
е. АВ = ВС вЂ” 2 см = 8 см — 2 см = 6 см. Ответ. 10 см или 6 см, Дополнительные задачи 159. Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию, другого треугольника. Р е ш е н и е. Указанные треугольники равны по двум сторонами и углу между ними. 160. Прямая а проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой а равноудалена от точек А и В; б) каждая точка, равноудаленная от точек А и В, лежит на прямой а Р еще н не. Пусть точка О середина отрезка АВ (рис.
85). а) Точка О, очевидно, равноудалена от точек А и В, т. е. АО = ВО. Пусть М вЂ” произвольная точка прямой а, отличная от точки О. Тогда ХчАОЛХ = = йхВОЛХ по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, ЛХΠ— общая сторона, аАОЛХ = аВОМ = 90' по условию). Отсюда следует, что МА = ЛХВ, т. е. точка М равно- А В удалена от точек А и В. О б) Пусть точка ЛХ равноудалена от точек А и В, т. е. ЛХА = МВ. Докажем, что точка ЛХ лежит на прямой а.
Если точка ЛХ лежит на прямой АВ, то она совпадает с точкой О и, следовательно, лежит на прямой а. Если же точка ЛХ не лежит на прямой АВ, то точки ЛХ, А и В являются вершинами равнобедренного треугольника ЛХАВ. Отрезок МΠ— медиана этого треугольника, а следовательно, и высота, т. е. МО Л АВ.
Отсюда следует, что прямая ЛХО совпадает с прямой а и, значит, точка ЛХ лежит на прямой а,. 161. В треугольниках АВС и А1В~С~ медианы АЛХ и А|ЛХ1 равны, ВС =- = В~С~ и ААЛХВ = хА~ЛХ~В1 Докажите, что ХзАВС = ХзА~В1Си 1 1 Решение. Так как ВС = ВгСП то ВЛХ =- — ВС = — В~С1 = В|Мы 2 2 Следовательно, ХЛАВМ = ХЛА1В~ЛХ1 по двум сторонам и углу между ними (рис. 86). Из равенства этих треугольников следует, что АВ =- = А|В~ и ЛВ =- ГАВР А, Рис. 86 50 Ул 2.
?уеугольники Так как АВ = А~Вы ВС = В1С~ и лВ = ~Вн то ЛАВС = = ЛА~В~С~ (по двум сторонам и углу между ними). 162. На рисунке 8? (рис, 92 учебника) треугольник АРŠ— равнобедренный, РŠ— основание. Докажите, что: а) если ВР = СЕ, то АСАР = СВАЕ н АВ = АС, б) если АСАР = СВАЕ, то ВР = СЕ и АВ = АС Решен не. Так как треугольник АРŠ— равнобедренный с основанием РЕ, то АР = АЕ и ЛР = г'Е, а) Если ВР = СЕ, то РС = ВЕ и тогда сзАРС = ЬАЕВ по двум сторонам и углу между ними (АР = АЕ, РС = ЕВ, г'.Р = г'.Е).
Отсюда следует, что АС = АВ и лСАР = г'.ВАЕ. б) Если г'САР = г'ВАЕ, то гхАРС = ЬАЕВ по стороне и двум прилежащим углам (АР = АЕ, г'.САР = г'ВАЕ, лР = г'Е). Отсюда следует, что АС = АВ и РС = ВЕ. Последнее равенство запишем в виде: ВР + ВС = ВС + СЕ, откуда получаем ВР =- СЕ, что и требовалось доказать. 163. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника. Решен не.
Пусть треугольник АВС вЂ” равнобедренный с основанием ВС, а точки Аы Вы С1 — середины его сторон (рис.88). Тогда АВ = АС, г'В = г'.С, ВС~ = — АВ = — АС =- СВн ВА~ =- САп 1 1 2 2 Следовательно, ЛВА~С~ = ЛСА~В~ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что А~С~ = А~Вы т. е. треугольник А~В~С~— равнобедренный, что и требовалось доказать. 164.
На сторонах равностороннего треугольника Л ВС отложены равные отрезки ЛР, ВЕ и СГ, как показано на рисунке 89 (рис 93 учебника). Точки Р, Е, Е соединены отрезками. Докажите, что треугольник РЕЕ— равносторонний. Решение, Так как треугольник АВС вЂ” равносторонний, то г'.А = = лВ =- гС, а так как АР = ВЕ = СГ, то СР = АЕ =- ВГ. Отсюда следует, что треугольники АРЕ, ВЕЕ и СЕР равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому РЕ = ЕЕ = ГР, т. е.
треугольник РЕŠ— равносторонний. 1г В А, С А Р С Рис. 89 Рис. 88 Рис 8? 51 Дополнигпельные задачи 165. Отрезки АВ и СР пересекаются в их общей середине О На отрезках АС и ВХР отмечены точки К и К~ так, что АК = ВКь Докажите, что: а) ОК = Окп б) точка О лежит на прямой Ккь Решен не, а) ХзАОС = ХзВОР по двум сторонам и углу между ними (рис. 90), откуда следует, что хЛ = хВ. ЛАОК =- ХзВОК! по двум сторонам и углу между ними, поэтому ОК = ОКь б) Из равенства треугольников АОК и ВОК! следует также, что х! = к2.
Пусть луч Оке — продолжение луча ОК. Тогда л.'1 = хВОкя. Из последних двух равенств следует, что л'2 = л'ВОкз, т. е. ЯВОК! = л'ВОкз, а это означает, что лучи ОК! и ОКв совпадают, т. е. луч ОК! является продолжением луча ОК. Поэтому точки О, К и К! лежат на одной прямой. 166. Отрезки АВ и СР пересекаются в их общей середине О. Точки ЛХ и Лг — середины отрезков АС и ВР. Докажите, что точка Π— середина отрезка ЛХЛг. Решение. ХьЛОС = ХтВОР по двум сторонам и углу между 1 ними (см. рис.
90), поэтому АС =- ВР и, следовательно, АЛХ =- — АС =- 2 = —, ВР = ВК. Отсюда, используя задачу 165, получаем, что ОЛХ = ОХХ и точки О, ЛХ и Лг лежат на одной прямой. Поэтому точка О— середина отрезка ЛХЛг. 167. Стороны равностороннего треугольника АВС продолжены, как показано на рисунке 91 (рис.94 учебника), на равные отрезки ЛР, СЕ, ВЕ. Докажите, что треугольник РЕŠ— равносторонний. Решение. Так как треугольник ЛВС вЂ” равносторонний, то углы А, В и С равны друг другу. Отсюда следует, что смежные с ними углы РАЕ, ЕВР и ЕСЕ также равны друг другу, а так как ЛЕ = =- ВР = СЕ и АР =- ВЕ =- СЕ, то треугольники АРЕ, ВЕР и СЕР равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства этих треугольников следует, что РЕ = ЕР = ЕЕ, т.
е. треугольник РЕЕ— равносторонний. Рис 9! Рис. 90 Уж 2. ?реугольники 52 168. В треугольнике АВС кЛ =- 38", г'В = 110', лС =- 32'. На стороне .4С отмечены точки Р и Е так, что точка Р лежит на отрезке ЛЕ, ВР = РЛ, ВЕ = =- ЕС. Найдите г'РВЕ. Р е ш е н и е. Так как треугольни- С ки АРВ и ВЕС вЂ” равнобедренные (рис. 92), то г'1 = л'А = 38', г'2 = = ~С = 32'. Поэтому Рис. 92 ЛРВЕ = г' — г'1 — г'2 =- 110' -- 38' — 32' = 40'.
Ответ. 40'. 170. Докажите, что треугольники АВС и Л~В1С~ равны, если АВ = А~Вы гА = кЛы АР = Л|Ры где ЛР и Л~Р~ — биссектрисы треугольников. Решение. йАВР = г'ьА1В~Р~ по двум сторонам и углу между ними (рис. 94). Отсюда следует, что г'В = г'Вы тзАВС = т'ьА~В1С1 по стороне и двум прилежащим к ней углам (АВ = А~Вы ЛА = г'Аы ЛВ = ЛВ~), с, С А, Рис. 94 169.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
