atnasyan-gdz-7-2005 (546184), страница 6
Текст из файла (страница 6)
1 1 2 2 Ответ. 8 см. 110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный. Р е ш е н и е. Пусть АЛХ вЂ” медиана и высота треугольника АВС. Тогда ВЛХ = ЛХС, лАЛХВ = х'АЛХС = 90', АЛХ вЂ” общая сторона треугольников АЛХВ и АЛХС. Следовательно, ХзАЛХВ = ХзАЛХС по первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что АВ = АС, т. е. ХзАВС вЂ” равнобедренный. 35 52. ЛХедиаяы, биссектрисы и высоты треугольника 111. На рисунке 49 (рис. 65 учебника) СР = ВР, а! =- а2.
Докажите, что треугольник АВС равнобедренный. Решен не. ХзАРВ = ХзАРС по первому признаку равенства треугольников (АР— общая сторона, РВ = РС и а! = а2 по условию). Отсюда следует, что АВ =- АС, т. е. сьАВС вЂ” равнобедренный. 112. На рисунке 50 (рис. 66 учебника) АВ = ВС, л! = 130'. Найдите а2. Решение. Так как АВ =- ВС, то ХьАВС вЂ” равнобедренный, Поэтому аА =. АС (углы при основании равны).
Углы ! и С -- смежные, следовательно, аС =. 180' — а! .=- ! 80' — 130' =- 50' и аА =- 50'. Углы А и 2 — вертикальные, поэтому а2 = аА = 50'. Ответ. 50'. 113. Точки ЛХ н Р лежат по одну сторону от прямой Ь. Нерпендпкуляры Л!Хч' и РО, проведенные к прямой Ь, равны. Точка Π— середина отрезка )УЯ. а) Докажите, что аОЛХР =- аОРЛХ; б) найдите ЫХт'ОЛ1, если ~Л!ОХ = 105'.
Решен не. а) сьЛХЛгО = йРб)О по первому признаку равенства треугольников: ЛХгУ = РЯ по условию; ьуО = Хч'О, так как точка Π— середина ЯО! аЛХЛгО = аРЯО = 90', так как ЛХ)У 'ь Ь и РО г Ь (рис. 51). Отсюда следует, что ОЛХ = ОР. Поэтому треугольник ОЛХР— равнобедренный и, следовательно, углы при его основании равны: г'.ОЛХР = аОРЛХ. б) Из равенства треугольников ЛХЛХО и РЯС следует, что с'ЛгОЛХ = г'.ь„!ОР. Углы КОЛХ, ЛХОР и ЯОР составляют развернутый угол, поэтому г'ЛХОЛХ+ аЛХОР+ ЛАХОР =-!80', или 2 'ЛгОЛХ + 105' = 180', откуда ~ФСЛХ = — (180' — 105') = 37'30'. 2 Ответ.
б) 37'30'. Лг О а Рис. 5! Рис. 50 Рис 49 а* 36 Хги 2. ?ргугольяики 114. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведенные к равным сторонам, равны. Р е ш е н и е, Пусть в равных треугольниках АВС и А~ В1сн АВ = = А~вы ВС = В1си г'.В = хви АЛХ и А|М1 — медианы (рис. 52).
Тогда вм= — всвм = — вс, ! ! 2 ' 2 и, следовательно, ВМ = В|Мы глАВЛХ =- ХгА1В1ЛХ1 по первому признаку равенства треугольников, поэтому АМ = А1ЛХи что и требовалось доказать. 115. Медиана ЛЛ1 треугольника ЛВС равна отрезку ВМ. Докажите, что один из углов треугольника ЛВС равен сумме двух других углов. Решение. ВМ = МС, так как АМ вЂ” медиана, АМ = ВМ— по условию, поэтому АМ = ЛХС (рис. 53). и, в, В И С И В С Рис.
53 Рис. 52 Таким образом, треугольники АЛХВ и АЛХС вЂ” равнобедренные. Следовательно, л'! = г'3 и г'2 = г'.4, откуда х'.! + г'.2 = г'.3 + г'.4, т. е. г'В ч- л'.С = г'.А, что и требовалось доказать. 116. Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны. Р е ш е н и е. Пусть треугольник АВС равносторонний. Тогда АВ = АС и ВА = ВС. Из первого равенства следует, что хв = = г'.С (углы при основании равнобедренного треугольника равны), а из второго, что г'.А = г'.С. Итак. хА =- г'.В =. г.'С, что и требовалось доказать.
117. На рисунке 54 (рис. 6? учебника) ЛВ = ВС, СХ? = ВЕ. Докажите, что ЛВЛС = хСЕ!?. Решение. Треугольники АВС и СХ?Š— равнобедренные, следовательно, ~ВАС = ОВСА и ВСЕХ? = ~Х?СЕ. 3? б 2. ЛХедианы, биссектрисы и высоты треугольника Но углы ВСА и РСŠ— вертикальные, поэтому а'ВСА =- г'.РСЕ. Из этих равенств следует, что КВАС = с'СЕР. 118. На основании ВС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки ЛХ н М так, что ВЛХ = Сдг Докажите, что: а) ДАВАЛ? = ХтСА?Х; б) треугольник АЛХАН вЂ” равнобедренный.
Решение. а) аВ = аС (углы при основании равнобедренного треугольника равны). г"тВАЛХ = ЛСА?ч' по первому признаку равенства треугольников (ВА = СА и ВЛХ = СЛГ по условию, аВ = аС, рис. 55). б) Из равенства треугольников ВАЛХ и САЛ' следует, что АЛХ =- = АЛ?, т. е. треугольник АЛХЛг — равнобедренный. 1 19. В равнобедренном треугольнике РЕК с основанием РК отрезок Х;Š— биссектриса, РК = 16 см, аРХХЕ= 43'.
Найдите КЕ, аРХУС, АВЕК, Р е ш е н и е. В равнобедренном треугольнике РЕХХ биссектриса ЕЕ, проведенная к основанию РК (рис. 56), является медианой и высотой. Поэтому КЕ =- — РК .= 8 см, ХЕРР = 90'. 2 0 В М М С Р Р К Рис. 56 Рнс. 55 Рис. 54 Так как ЕŠ— биссектриса угла РЕК, то 2РЕК = 22РЕЕ = 86'. Ответ. КГ = 8 см, аРЕК = 86', аЕЕР = 90'. 120. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВР. На сторонах АВ н СВ отмечены соответственно точки Е н Г так, что АЕ = СЕ Докажете, что. а) гтВХ?Е = ЬВРХг; б) ХзАВЫ = ХтСРЕ.
Решен не. а) По условию ВА = ВС и АЕ = = СГ, поэтому ВЕ = ВЕ (рис. 57). Медиана ВР, проведенная к основанию АС равнобедренного треугольника АВС, является также биссектрисой, следовательно, с'.1 = а2. Рнс. 57 Гл. 2 Треугольники Й,ВРЕ = ЬВРГ по первому признаку равенства треугольников (ВЕ = ВГ, ВР— общая сторона, '1 =- г'2). б) Так как треугольник АВС равнобедренный, то 'А =- г'.С. БАРЕ = ТхСРР по первому признаку равенства треугольников (АР = СР, так как ВР— медиана; АЕ = СЕ по условию; г'А = ЛС). ф 3.
Второй и третий признаки равенства треугольников 121. Отрезки ЛВ и СР пересекаются в середине О отрезка ЛВ, лОЛ0 = = лОВС. а) Докажите, что ЬСВО = гл!лАО; б) найдите ВС и СО, если СР =- 26 см, ЛР =- 15 см. Решение, а) ЬСВО = ТРАО по вто- Р В рому признаку равенства треугольников: ОВ = ОА и г'ОВС = л'.ОАР по условию; г'.1 .=- л'.2, так как эти углы вертикальные (рис. 58). б) Из равенства треугольников СВО Рис. 58 и РАО следует, что ВС = АР и СО = ОР. ! 2 Поэтому ВС = 15 см, СО = — СР = 13 см. Ответ. б) ВС =- 15 см, СО = 13 см. 122. На рисунке 43 (рис.
53 учебника) л! =- л2, кЗ =- л4 а) Докажите, что г5,4ВС = ССРА; б) найдите АВ и ВС, если АР = 19 см, СР = 11 см Решение. а) гхАВС =- г'зСРА по второму признаку равенства треугольников (АС вЂ” общая сторона; л! = '2 и 3 = А4 по условию).
б) Из равенства треугольников АВС и СРА следует, что АВ = СР и ВС = АР. Поэтому АВ = 11 см, ВС = 19 см. Ответ. б) АВ = 11 см, ВС = 19 см. 123. На биссектрисе угла Л взята точка Р, а на сторонах этого угла— точки В и С такие, что лг!Р14 = лЛРС. Докажите, что ВР = СР. Решение. гхАВР = ТхАСР по второму признаку равенства треугольников: АР— общая сторона; г'ВАР = л'САР, так как АР— биссектриса угла А; г'.АРВ =- г'.АРС по условию (рис. 59). Отсюда следует, что ВР = СР. 124. По данным рисунка 60 (рис.73 учебника) докажите, что ОР = ОТ, г'.Р = л'Т.
Р е ш е н и е. ЛОВР = БИОСТ по второму признаку равенства треугольников (ОВ = ОС и л'.В = л'.С по условию; г'ВОР = г'.СОТ, так как эти углы -- вертикальные). Отсюда следует, что ОР = ОТ и ~Р= ~Т. Э 3. Второй и третий признаки равенства треугольников 39 Рис. 59 Рис. 60 126. На рисунке 61 (рис 74 учебника) лРВС = КРАС, ВО = АО. Докажите, гго кС = хР и ЛС = ВР Ре ш е н не. Е АСС = ЯВОР по второму признаку равенства треугольников (АО = ВО и НОАС = с'.ОВР по условию; ЛАОС = = лВОР, так как эти углы вертикальные). Отсюда следует, что '.С = = лР и ЛС = ВР. 126. На рисунке 61 (рис, 74 учебника) хРЛВ = кСВЛ, ~САВ =- лРВА, СА =- 13 см.
Найдите РВ. Решение. ЕьРАВ = РСВА по второму признаку равенства треугольников (АВ общая сторона, с'.РАВ = с'.СВА и с'.РВА = = с'.САВ по условию). Отсюда следует, что РВ = СА и, следовательно, РВ = 13 см. Ответ. 13 см. ЛЫ, Рис. 61 Рис. 62 этих углов, а также равенства углов АСР и А~С~Р~ следует, что ЛВСР =- ЛВ,С,РР ДАВОР = ЬВ~С~Р~ по второму признаку равенства треугольников (ВС = В~Си ~В = ~ВН ~ВОР = ЛВ~С~Р~). 127. В треугольниках ЛВС и А~В~С~ АВ = Л~Вн ВС = В~Си хВ = = кВ~ На сторонах АВ и А~В~ отмечены точки Р и Р~ так, что лАСР = =- кА~С~Р~ Докажите, что схВСР =- схВ~С~Рь Решение, схАВС = ЬА~В~С~ по первому признаку равенства треугольников (рис.62).
Поэтому ПАСВ = хА~С~Вь Из равенства 40 Ул. 2. ?ргугольиики 128. Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведенные к соответственно равным сторонам, равны. Решение. Пусть ЛАВС = ЛА~В~Сы причем хА = ~Аы гВ = = хВы АВ = А|В~ (рис.63), и пусть АР и А1Р1 — биссектрисы треугольников АВС и А1В~Сь Докажем, что АР = А~Рь Рис. 63 гхАВР = тхА|В1Р~ по второму признаку равенства треугольников (АВ = А1ВП г'В = ~ВВ г'.ВАР = ЕВ~А~Ры так как АР и А|Р1 — биссектрисы равных углов А и А|). Отсюда следует, что АР = А,Ры 129. Отрезки АС и ВР пересекаются в середине О отрезка АС, хВСО = = ЮАО. Докажите, что гхВОА = ИЭОС. Решение. ОВОС = ЬРОА по второму признаку равенства треугольников: ОС =- ОА и г'.ВСО = г'.РАО по условию; г'.ВОС = 1 2 = г'.РОА, так как эти углы — вертикальные (рис.
64). Поэтому ОВ =. ОР. В ЬВОА = тлРОС по первому признаку равенства треугольников (ОА =-- ОС; ОВ =- ОР; г'1 = Л2, так как эти углы — вертикальные). Рис. 64 130. В треугольниках АВС и А|В1С| отрезки СО и С~О| — медианы, ВС =- В|Си хВ = хВ~ и хС = хСь Докажите, что: а) ЛАСО = гхА|С~Он б) ЛВСО = г'тВ1С1Оь Решен ие. а) ЬАВС = г"хА~В~С~ по второму признаку равенства треугольников (рис. 65). Отсюда следует, что АВ = А1Вы АС = А~ С1 и г'.А =- 'Аы Рис. 65 ф 3.
Второй и третий признаки равенства треугольников 41 Так как АВ = А1ВБ а точки О и О~ — середины сторон АВ и А~ Вы то АО =- ОВ = А~О~ = О~Вы ЛАСО = ЛА~С~О~ по первому признаку равенства треугольников (АС = А~Си АО = А1ОБ лА = ~А~). б) ЬВСО = ЬВ~С~О~ по первому признаку равенства треугольников (ВС = В1 Сы ВО = В~ 01, лВ = л'.В1).
131. Б треугольниках 0ЕЕ и Л1ХР ЕЕ =. ХР, 0Е = Л11' и сГ = с1ь. Биссектрисы углов Е и 0 пересекаются в точке О, а биссектрисы углов Л1 и Х вЂ” в точке К Докажите, что с0ОЕ = сЛ1КХ. Решен не. ЬОЕЕ = 1лЛ|ХР по первому признаку равенства треугольников (рис.бб). Поэтому Е М Рис. бб Так как 0О, ЕО, ЛХК, ХК биссектрисы углов, то л'! = — л0 = — л'.ЛХ = л2, л'.3 =- — лЕ =- — л'.Х =. с'4, 2 2 сх0ЕО = ВгЛ1ХК по второму признаку равенства треугольников (РЕ =- МХ, '1 = '.2, л'.3 = л'.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
