atnasyan-gdz-7-2005 (546184), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ответ. Да. 61. Найдите смежные углы 66 и И, если. а) л66 меньше КИ на 40', б) к66 больше л61 на !20'; в) к66 больше лЫ на 47'18', г) Лй = Зк61; д) й66: йь! = 5: 4 Решение. Углы 66 и И вЂ” смежные. поэтому '.66+ 'И =- 180'. а) По условию Е66 = кИ вЂ” 40'. По формуле (1) (Л61 — 40') + 'И = 180'. Отсюда имеем; ~И = 110', ~66 = 1!0' — 40' = 70'. б) л'.66 = л'.И+ 120'. По формуле (1) (л'61 -~- 120') + л'.61 = 180', откуда Я! = 30', Л66 = 30' + 120' = 150'.
в) е 66 = л'61+47'18'. По формуле (1) (л'И + 47'18') 4 л'.61 = 180', 16 Гл ! На шльньт геометрические сведения откуда 2г'И = 132'42', г'.И = 66'21', Лй = 66'21' + 47'18' = 113'39'. г) г.й)г = Зал!. По формуле (!) ЗЛь':! + г'й! =- 180', откуда г'.Гс! = 45', г'.Ь)с = 3 45' =- !35'.
5 д) аггк: лй! = —, поэтому ггь)г = — лИ. (Го формуле (1) 4' 4 4 — г'.й!+ г'.Гг! =!80'. Отсюда получаем: г'.И = 80', г'.Ы = — . 80' = — 100'. Ответ. а) 70' и !10'! б) 150' и 30'! в) 113'39' и 66'2!'! г) 135' и 45', д) 100' и 80'. 62. На рисунке 2! (рис.46 учебника) углы ВОР и СОР равны.
Найдите угол АОР, если лСОВ = 148'. Решение. Углы АСС и СО — смежные, поэтому г'АСС+ + г'СОВ = 180'. Отсюда находим: ЛАОС = 180' — г'СОВ = 180'— — 148' = 32'. Так как ОР— биссектриса угла СОВ и г'.СОВ = 148', то ЕСОР = =- — лСОВ =- 74'. 2 г' АОР = г'АСС + лСОР = 32' + 74' = 106'. Ответ. 106'. 63.
Даны два равных угла. Равны ли смежные с ниии углы? Ре ше н ив. Пусть л! = г'.2, а лЗ и г'4 — соответственно смежные с ними углы. По свойству смежных углов а1+ г'.3 = 180', г'2+ х4 = = 180'. Так как '1 = г'.2, то из этих равенств следует, что г'3 = ..'4. Следовательно, если данные углы равны, то смежные с ними углы также равны, Ответ. Да. 64. На рисунке 22 (рис.41 учебника) найдите углы: а) 1, 3, 4, если л2 = = 117', б) 1, 2, 4, если л3 = 43'27'. О В Рис 21 Рис.
22 Решение. а) Углы 1 и 2 смежные, поэтому л!+ а2 = 180'. Так как по условию а2 = ! 17', то г'.1 = !80' — 117' = 63". 1? Э 6. Перпендикулярные прямые Углы 3 и 1 вертикальные, поэтому л'.3 = л'.1 = 63'. Углы 4 и 2 вертикальные, следовательно, Л4 =- д2 =. ! 17'. б) Углы 1 и 3 вертикальные, поэтому д! = л'.3 = 43'27'. Углы 2 и 3 смежные, поэтому л'.2+ ЛЗ = 180'. Отсюда находим: ~2 =- 180' — 43'2?' = 136'33'. Углы 4 и 2 вертикальные, поэтому '4 =- л'.2 =- 136'33'.
О т в е т; а) л'.1 = л'.3 = 63', л'.4 = ! 17', б) л'.! = 43'27', л'2 = х4 = = 136'33'. 65. Найдите неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если: а) сумма двух из них равна 114', б) сумма трех углов равна 220'. Р е ш е н и е. При пересечении двух прямых образуются четыре неразвернутых угла, которые на рисунке 22 обозначены цифрами 1, 2, 3 и 4. а) Так как сумма двух из этих углов равна 114', то они не могут быть смежными, а значит, эти углы — вертикальные, например, углы! иЗ, По свойству вертикальных углов д! = л.'3, поэтому х'1 = л'.3 = = 114' 2 = 57' Углы 2 и 1 смежные, следовательно, л'! + л'2 = 180', откуда л'2 = = 180' — 57' = 123'. По свойству вертикальных углов д4 = д2, поэтому д4 = 123'.
б) Пусть, например, л'! + л'2 + ЛЗ =- 220'. Так как углы 1 и 2 смежные, то л'.1+ Л2 = 180" и, следовательно, ЛЗ = 220' — 180' = 40'. л'3 + л'.2 = 180', откуда л'.2 = 180' — 40' =- 140'. л) = лЗ = 40', х4 = Л2 = 140'. О т в е т. а) 57', 123', 57' ! 23', б) 40' 140', 40', 140'. 66.
На рисунке 22 !рис 4! учебника) найдите углы 1, 2, 3, 4, если: а) л2+ + '.4 = 220', б) 3( '.'1 е л3) = л2.~- л4, в) л2 — 1 = 30'. Р е ш е н и е. а) По условию л'2 4 л'.4 = 220'. Эти углы вертикальные, поэтому д2 = д4 = 110'. Углы ! и 2 смежные, поэтому л'! + л'2 .= 180', откуда л'! = 180'— — 110О = ?оо Углы 3 и 1 вертикальные, поэтому .'3 =- Л1 = — 70'. б) Углы 1 и 3, а также 2 и 4 вертикальные, поэтому ЛЗ = л'1, л'4 = =- Л2. Подставив эти выражения в данное равенство, получим: З(2х1) = 2л'2, или Зл'1 = л'2. Углы 1 и 2 смежные, поэтому л'.1+ л'.2 = 180'. Из этих двух равенств находим л'1 и л'.2: д! = 45', д2 =!35'. дЗ = Л1, поэтому л'.3 = 45', л'.4 = д2, поэтому х4 = 135'.
!8 7л ! На шльиьт геометрические сведения в) По условию л'.2 — г'! = 30'. Эти углы смежные, следовательно, а!+ г'2 = 180'. Из этих двух равенств имеем: г'.1 =- 75', г2 = 105'. г'3 = л!, поэтому г'.3 = 75', г'.4 = г'.2, поэтому г'.4 = 105'. О т в е т. а) а! = г'.3 = 70', г'.2 = г'.4 = 110', б) г'! = г'.3 = — 45', г'2 = =- г'.4 =- 135', в) г'.1 = г.'3 = 75', г'.2 = ''4 =- 105'. 67.
На рисунке 23 (рис 47 учебника) изображены три прямые, пересекаюшиеся в точке О. Найдите сумму углов: а! ж л2+ лЗ. Решение. Пусть г'4 и г'! — вертикальные углы (см. рис. 23). Тогда по свойству вертикальных углов к4 = г'.1, поэтому г'.1+ г'.2+ + г'.3 = 12 + а4 + к'3. Сумма этих углов равна развернутому углу АОВ, поэтому Л2 + а4+ г'3 = 180', а значит, г'! + а2+ г'3 = !80', Ответ. 180'. 68. На рисунке 24 (рис. 48 учебника) лАОВ = 50', лг ОЕ =- 70'. Найдите углы АСС, ВОР, СОЕ и СОР.
Рис. 24 Рис. 23 Решение. Введем цифровые обозначения для углов (см. рис.24). По условию г'.1 = 50', г'.2 = 70'. г'АСС =- г'.! + а3. Углы 2 и 3 вертикальные, поэтому г'.3 = г'.2. Таким образом, ~АОС =- ~! + Л2 = 120'. Углы 1 и ВОР— смежные, поэтому аВОР '- г'.! = 180'. Отсюда находим: аВОР = 180' — 50' = 130'. Углы 2 и СОŠ— смежные, поэтому л2+ г'СОЕ = 180', откуда г'.СОЕ =- 180' — 70' =- 110'. Углы СОР и АСС вЂ” смежные, поэтому г'.СОР+ г'АСС = 180', откуда аСОР = 180' — '1 †,г3 = 180' — 50' — 70' = 60'.
Ответ. кАОС = 120', ~ВОР = 130', аСОЕ = 110', лСОР = = 60'. Доаолнительньче задачи 19 69. Прямая а пересекает стороны угла А в точках Р и С) Могут ли обе прямые АР и Аб7 быть перпендикулярными к прямой а? Решение. Обе прямые АР и АЯ не могут быть перпендикулярными к прямой а, так как они пересекаются в точке А, а две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются (п.!2 учебника). Ответ.
Нет. 70. Через точку А, не лежащую на прямой и, проведены три прямые, которые пересекают прямую а Докажите, что по крайней мере две из них ие перпендикулярны к прямой а. Решен не. Пусть АР, АЯ и АЛ вЂ” прямые, пересекающие прямую и в точках Р, Я и В. Допустим, что прямая АР перпендикулярна к прямой а (см. рис.
25). Тогда прямая ЛЯ не может быть перпендикулярной к прямой а,, так как две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются, а прямые АР и АЯ пересекаются в точке А. Аналогично, прямая Я АВ не перпендикулярна к прямой а. а Р 0 Таким образом, по крайней мере две из трех прямых, проходящих через точку А, Рис 25 не перпендикулярны к прямой а. Дополнительные задачи 72.
Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точек пересечения имеют эти прямые, если через каждую точку пересечения проходят только две прямыез Решение. Пусть а, Ь, с и ь( — данные прямые, А — точка пересечения прямых и и Ь. По условию задачи прямая с не проходит через точку Л и пересекает прямые а и Ь в некоторых точках, которые обозначим бук- В В а вами В и С (рис.26). Прямая г( пересекает А каждую из прямых а, Ь и с и не проходит Р через точки А, В и С, поэтому получаем еще С три точки: Р, Е и Р, в которых прямая г! пересекается с прямыми и, Ь и с. Таким об- Р разом, данные четыре прямые имеют шесть точек пересечения (см. рис.26). Рис. 26 О т в е т.
Шесть точек. 73. Сколько неразвернутых углов образуется при пересечении трех прямых, проходящих через одну точку) Решение. При пересечении трех прямых, проходящих через точку О, образуется шесть лучей, исходящих из точки О, которые на рисунке 27 обозначены так: Ьы Ьбы Ьз, Ьи 6з и Ьв. 20 Хл Х Х?ааальные геометрические сведения Луч 61 образует с остальными лучами пять углов, один из которых (угол 6ч 64) — развернутый. Итак, образуется четыре неразвернутых угла со стороной 66 г'616ю ~6~ 6з, г'.616з и л616з. Аналогично, каждый из других пяти Рис. 27 лучей является стороной четырех неразвернутых углов. При таком подсчете каждый угол учитывается дважды, например, г'.616з и абз6н а6зйл и г'.646ю Таким образом, всего получается (4 6): 2 = 12 неразвернутых углов. Ответ.
12 неразвернутых углов. 74. Точка гУ лежит иа отрезке МР. Расстояние между точками ЛХ и Р равно 24 см, а расстояние между точками ?У и М в два раза больше расстояния между точками ЛГ и Р Найдите расстояние а) между точками ЛХ и Р; б) между точками Аг и ЛХ. Р еще н не. Точка АГ лежит на отрезке МР, поэтому ЛХАг -ь г"т'Р = ЛХР. а) По условию расстояние между точками ЛХ и Р равно 24 см, т, е. МР = 24 см, а ЛХАг = 2Хт'Р. Подставим эти значения в равенство (1): 2г"т"Р + АгР = 24 см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
