atnasyan-gdz-7-2005 (546184), страница 5
Текст из файла (страница 5)
38). По свойству вертикальных углов с'.3 = = г'.6 и с'4 = с'.7, поэтому Рнс. 38 х! + с'2 + ЛЗ + Л4 + л5 = с'! + г'2 + с'6 + л7 + с'5. Решение. При единице измерения Е!Г| имеем: Е|Г1 = 1, АВ = =- гп, а при единице измерения ЕзГз получаем: ЕзГз = 1, АВ = — и,. При переходе от единицы измерения Е1Г1 к единице ЕзГз числа, выражающие длины всех отрезков, умножаются на некоторое число 6. Поэтому и п Е|Г1 = 1 6, и =- бт, откуда 6 = — ', Е!Г~ = —.
Следовательно, при т,' гп единице измерения ЕзГз длина отрезка Е1Г| выражается числом — '. 'и. гп О т в е т. т рл ! Начильниг геометрические сведения Но сумма углов 5, 6, 1, 7 и 2 равна развернутому углу АОВ и, следовательно, г'! + г'2 + г'.6 + Л7 + Л5 = 180'. Поэтому г'1+ г'2+ г'3+ г'4+ г'.5 = 180'. Ответ.
180'. 326. Даны шесть попарно пересекающихся прямых. Известно, что через точку пересечения любых двух прямых проходит по крайней мере еще одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку Решение. Пусть и~ н аи — две из данных шести прямых— пересекаются в точке А. По условию задачи через точку А проходит по крайней мере еще одна из данных прямых, которую обозначим из (рис.39). Докажем, что оставшиеся три прямые также проходят через точку А.
Допустим, что какая-то из них, например, прямая ал, не проходит через эту точку. Прямая ал по условию задачи пересекает каждую из прямых аы ащ аз. Обозначим точки пересечения буквами Ан Ащ .4з (см. рис. 39). Точки Аи Аа, Аз и А попарно различны, и по условию задачи через каждую из точек Ан Ащ Аз должна проходить по крайней мере еще одна из данных прямых, отличная от аы аа, аз, и4.
Но это невозможно, так как даны всего шесть прямых. Мы пришли к противоречию, поэтому наше предположение неверно и, следовательно, все данные прямые проходят через точку А. 327. Даны шесть точек. Известно, что прямая, проходящая через любые две точки, содержит по крайней мере еще одну нз данных точек. Докажите, что все эти точки лежат на одной прямой. Решение. Задача решается аналогично задаче 326, Пусть А~ и Аз — две из данных шести точек, а г) — прямая А1Аю Докажем, что все данные точки лежат на прямой с(. По условию задачи на прямой г( лежит по крайней мере еще одна из данных точек, которую обозначим через Аз (рис. 40).
Докажем, что а, Рис. 40 Рис. 39 Задачи новьнаенной трудности к главе 1 29 оставшиеся три точки также лежат на прямой 0. Допустим, что какаято из них, например, точка А4, не лежит на этой прямой. Тогда прямые д, А1А», АгА4, АзА4 попарно различны. По условию задачи на каждой из прямых А1А4, АаА4, АзА4 должна лежать по крайней мере еще одна из данных точек, отличная от точек Ап Аго Аж А4. Но это невозможно, так как дано всего шесть точек. Мы пришли к противоречию, поэтому наше предположение неверно и, следовательно, все данные точки лежат на прямой д. Глава 2 ТРЕУГОЛЬНИКИ ф 1. Первый признак равенства треугольников 90.
Сторона АВ треугольника ЛВС равна 17 см, сторона АС вдвое больше стороны ЛВ, а сторона ВС иа 10 см меньше стороны АС. Найдите периметр треугольника ЛВС. Ре ше н не. АС вЂ”.— 2АВ = 34 см, ВС = АС вЂ” 10 см =. 24 см, Рлво = АВ+ ВС+ АС = (17+ 24+ 34) см = 75 см. Ответ. 75 см. 91. Периметр треугольника равен 48 см, а одна из сторон равна 18 см. Найдите две другие стороны, если их разность равна 4,6 см. Р е ш е н и е. Пусть в треугольнике АВС АВ + ВС+ СА = 48 см, АВ =.
18 см, ВС вЂ” СА .= 4,6 см. Тогда ВС + СА = 48 см — АВ = 30 см. Складывая равенства ВС вЂ” СА =- 4,6 см и ВС+ СА.= 30 см, находим: 2ВС = 34,6 см, откуда ВС = 17,3 см, СА = 30 см — ВС = 12,7 см. Ответ. 17,3 см и 12,7 см. 92. Периметр одного треугольника больше периметра другого. Могут ли быть равными эти треугольники? Решение. Данные треугольники не могут быть равными, так как у равных треугольников стороны соответственно равны и поэтому равны и их периметры, а у данных треугольников периметры не равны. Ответ.
Нет. 93. Отрезки ЛЕ и РС пересекаются в точке В, являюшейся серединой каждого из них. а) Докажите, что треугольники ЛВС и ЕВР равны: б) иай- 31 у 1 Первый признак равенства треугольников дите углы А и С треугольника ЛВС, если в треугольнике ВРЕ г'.Р = 47', ~Е = 42'. Решение. а) АВ = ВЕ и СВ = ВР, так как по условию точка  — середина отрезков АЕ и РС (рис. 4!); РСВА = дРВЕ, так как эти углы вертикальные. По первому признаку равенства треугольников ьзАВС =- гзЕВР. б) В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, поэтому г'.А = г'.Е = 42', г'.С = г'.Р .= 47'.
Ответ. б) дА = 42', дС = 47'. 94. На рясунке 42 (рис.52 учебника) ЛП = АС, г'! = ~2, а) Докажите, что треугольники АВ1Э и ЛСР равны; б) найдите ВР и АВ, если АС = = 15 см, РС = 5 см. Рис. 42 Рис. 41 Решение. а) АВ =- АС, д! =- д2 по условию; АР— общая сторона треугольников АВР и АСР. Следовательно, ?зАВР = ЬАСР по первому признаку равенства треугольников. б) АВ = АС =- 15 см.
ВР = РС, так как эти стороны лежат против равных углов 1 и 2, поэтому ВР = 5 см. Ответ, б) ВР = 5 см, АВ = 15 см. 95. На рисунке 43 (рис. 53 учебника) ВС .=- ЛР, л! =- л2. а) Докажите, что треугольники АВС и СРА равны; б) найдите АВ и ВС, если АР = 17 см, РС = 14 см. Решение: а) ВС = АР, г! = д2 по условию; АС вЂ” общая сторона треугольников АВС и СРА.
Следовательно, ьзАВС =. ?ССРА по первому признаку равенства треугольников. б) ВС=АР=1? см, АВ =- РС, так как эти стороны лежат 7! против равных углов 1 и 2, поэтому АВ =- = 14 см. Рис. 43 Ответ, б) АВ = 14 см, ВС = 17 см. 32 Рл 2 ?реугольиики 96. На рисунке 44 !рис 54 учебника) ОА = ОР, ОВ =- ОС, х! =- 74', х2 = 36'. а) Докажите, что треугольники ЛОВ и НОС равны; б) найдите г'.ЛСЕе Ре ш е н не. а) ОА = ОО, ОВ = ОС по условию; г'.АОВ = 'СОТ), так как эти углы — вертикальные.
Следовательно, 7хЛОВ = ЯРОС по первому признаку равенства треугольников. б) г'.ОСТ) = г'1, так как эти углы лежат против равных сторон О7г и ОА, поэтому г'ОСР = 74'. г'.АС)г = г'.2+ г'.ОС 0 =- 36' + 74' = 11!)'. Ответ. б) 116'. 97. Отрезки АС и Во пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что г'.ьЛВС = г' СЕЛ.
Решение. Пусть отрезки АС и ВТ) пересекаются в точке О (рис. 45). Рис. 45 Рис. 44 Тогда АО = ОС и ВО = ОО по условию; г'АОВ = г'СО)), так как эти углы — вертикальные. Следовательно, г1АОВ = АЗССР по первому признаку равенства треугольников, Из равенства треугольников АОВ и СО77 следует, что АВ = СТ) и л1 = г'.2. В треугольниках АВС и СРА имеем; АВ = СХ), АС вЂ” общая сторона, '1 — -- '2, поэтому АЛЛЕС =- ССРА по первому признаку равенства треугольников. 98. В треугольниках ЛВС и А|В~С~ АВ = А~Вы АС = А~Си г'А =- г'Ан На сторонах АВ и Л~В1 отмечены точки Р и Р~ так, что АР = А1Р~ Докажите, что ЬВРС = 7хВ~ЯСь Решение.
г'зАВС = ЬА! В~ С~ по первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что ВС = В1С~ и хВ = ЛВн Так как АВ = Л1В1 и АР = А1РН то ВР = В!Рн сзВРС = ЬВ1Р~С! по первому признаку равенства треугольников (ВС = В1 Сн ВР .=- В|РН хВ =- г'В~ ). 99. На сторонах угла САН отмечены точки В и Е так, что точка В лежит на отрезке АС, а точка Š— на отрезке А)г, причем,4С =.
А)г и АВ =- АЕ Докажите, что г'.СВО = хВЕС. ф 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника 33 Р е ш е н и е. В треугольниках АСЕ и АРВ имеем: угол А — общий, АС = АР и АЕ = АВ по условию (рис.46), поэтому 25АСЕ = 7ААРВ по первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что 2АВР = НАЕС.
Углы СЕР и РЕС вЂ” смежные с равными углами АВР и АЕС, поэтому кСВР = = с'РЕС. Л Е Р Рис. 46 ф 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника 105. Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а,. Перпендикуляры АВ и СР к прямой а равны а) Докажите, что 2зЛВР = г5СРВ; б) найдите аЛВС, если ~АРБ = 44". Решение. а) Так как АВ 3 а и СР .;: а, то 'АВР =- 'СРВ с = 90' (рис.47).
АВ = СР по условию, ВР— общая сторона треугольников АВР и СРВ. Следовательно, г"тАВР =. ЬСРВ по первому признаку равенства треугольников. л Р б) Из равенства треугольников АВР и СРВ следует, что аСВР = г'.АРВ. Поэтому г'.СВР = 44'. Рис. 47 ~АВС + ~СЕР = ~АВР = 90'. Отсюда получаем: г'АВС = 90' — г'.СВР = 90' — 44' = 46'. Ответ. б) 46'. г'.АСЕ = аАСР+ г'.ЕСР = 56' -ь 40' = 96'. Ответ. б) 96'. 2 Л.С.
Атаяасян я др. 106. Медиана ЛР треугольника ЛВС продолжена за сторону ВС на отрезок РЕ, равный АР, и точка Е соединена с точкой С а) Докажите, что слЛВР = гяЕСР, б) найдите г'АСЕ, если г'ЛСР = 56', аЛВР = 40'. Ре ш е н и е. а) В треугольниках АВР и ЕСР имеем: ВР = РС, так Е как АР— медиана; АР = РЕ по усло- Р вию; г'АРВ = к'ЕРС, так как эти углы — вертикальные (рис.48). Следова- С тельно, 7ААВР = слЕСР по первому признаку равенства треугольников.
Рис 48 б) Из равенства треугольников АВР и ЕСР следует, что ОЕСР = с'АВР, |юэтому г'ЕСР = 40'. 34 Хл 2 Треугольники 107. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см Найдите стороны треугольника. Р е ш е н и е. Пусть основание равнобедренного треугольника равно х, тогда каждая боковая сторона равна 2х. Следовательно, т, + 2х + 2х = 50 см, откуда х = !0 см, 2х = 20 см.
Ответ. 10 см, 20 см, 20 см, 108. Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника ВСВ равен 45 см. Найдите стороны АВ и ВС. Решение. Так как треугольник ВСР равносторонний, то каждая его сторона равна 45см: 3 = 15 см. Итак, ВС = 15 см. Поэтому АВ + АС = 40 см — ВС = 25 см. По условию ВС— основание равнобедренного треугольника АВС, следовательно, АВ— = АС = 25 см: 2 =- 12,5 см. Ответ. АВ = — 12,5 см, ВС =- 15 см. 109.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АЛХ. Найдите медиану АЛХ, если периметр треугольника АВС равен 32 см, а периметр треугольника АВМ равен 24 см. Р е ш е н и е. Из условия задачи следует: АВ+ АС+ ВС =- 32 см, или 2АВ+ ВС =- 32 см; АВ + ВЛХ + АЛХ = 24 см. 1 Но ВЛХ = — ВС, так как точка ЛХ вЂ” середина стороны ВС, поэтому 2 АВ+ — ВС+ АЛХ = 24 см. 1 2 Отсюда АЛХ = 24 см — (АВ+ — ВС) = 1 2 = 24 см — — (2АВ + ВС) = 24 см — — 32 см = 8 см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
