atnasyan-gdz-7-2005 (546184), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Отсюда находим: ХР = 8 см. б) Из равенства (1) получаем: ЛХАГ = МР— МР = 24 см — 8 см = 16 см. Ответ. а) 8 см; б) 16 см. 75. Три точки К, Х, ЛХ лежат на одной прямой, КЛ = 6 см, ХЛХ =. — — 10 см Каким может быть расстояние КЛХ? Для каждого из возможных случаев сделайте чертеж Р е ш е н и е. Возможны два случая. а) Точки К и ЛХ лежат на разных лучах, исходящих из точки Х (рис. 28, а). В этом случае КЛХ = Кй + ХЛХ = 6 см + 10 см = 16 см.
б) Точки К и ЛХ лежат на одном луче, исходящем из точки Хи т. е. лучи ХК и Х,ЛХ совпадают (рис,28, б). В этом случае Х,ЛХ =- Х,К+ + ХбМ, откуда КЛХ = ХМ - ХК = 10 см - 6 см = 4 см. Ответ. 16 см или 4 см. 21 Дополнительные задачи К Е Рис. 28 76.
Отрезок АВ длины а разделен точками Р и Я на три отрезка АР, Щ н ОХ) так, что АР = 2РО = 2ОВ. Найдите расстояние между: а) точкой А и серединой отрезка СХВ; б) серединами отрезков АР и ~>В. Решение. Пусть ЛХ вЂ” середина отрезка АР, а )ч' — середина отрезка ЯВ (рис. 29). Тогда АМ = МР, поэтому АР = 2АМ = 2МР. По условию задачи АР =- 2РЯ = 2ЯВ. Следовательно, 2АМ = 2ЛХР = 2РЯ = = 2ЯВ, т. е. точки ЛХ, Р и Я делят отрезок АВ на четыре равные части. Отсюда М Ф следует, что Рнс. 29 АЛХ = ЯВ = о'. 4 а) Так как АВ = Атч'+ Хч'В, то А?ч' = А — ччВ, а так как Л1 ?з, а середина отрезка б,)В, равного -', то Л В = †. Следовательно, А?ч' 4' 8 а 7 7 = а — — = — а, т.
е. расстояние между точками А и 1ч' равно — а. 8 8 б) А?ч' = АМ+ ЛХЛ', откуда ЛХЛг = А1 ч' — АЛХ = — а — — = — а, 7 а 5 8 4 8 5 т. е. расстояние между точками М и Х равно — а. ? 5 8 О т в е т. а) — ап б) — а. 8 ' 8 А С Р В А Р Д В Я В Рис. 30 т †, следовательно, 3' — Х)В = —. 2 6 АВ - - АМ вЂ” ЛгВ. Но АС = СХ) = ВВ = АМ.= — АС = —, Л'В = 2 6' гп т. 2 Таким образом, М?ч' = т — — — — ' =:т. 6 6 3 77. Отрезок длины т разделен: а) на три равные части; б) на пять равных частей. Найдите расстояние между серединами крайних частей.
Решение. Обозначим данный отрезок через АВ. По условию задачи АВ = т. а) Пусть точки С н Р делят отрезок АВ на три равные части, а М и Х вЂ” середины крайних частей АС и РВ 1рис. 30, а). Тогда ЛХЛг =- 1л ! Начальные геометрические сведения б) Пусть точки Р, Я, Л и Ь' делят отрезок АВ на пять равных частей, а Е и Р— середины крайних частей (рис. 30, б). Тогда ЕР = А — АŠ— ГВ, АР=ИВ= — „, АЕ= ™, ГВ= — '. Таким образом, т т 4 ЕГ=т — — — — = — т.
!О 10 5 2 4 Ответ. а) — т; б) — т. 3 ' 5 78. Отрезок в 36 см разделен на четыре не равные друг другу части. Расстояние между серединами крайних частей равно 30 см. Найдите расстояние между серединами средних частей. Решение. На рисунке 31 А — данный отрезок, С, 17 и Е— точки деления, а Р, Л1, )Ч и Я вЂ” соответственно середины отрезков АС, СР, 1)Е и ЕВ. По условию АВ = 36 см, РЯ = 30 см, а нужно найти ЛХХ. РЯ = А — — АС вЂ” — ЕВ, 2 2 откуда АС+ ЕВ = 2(А — РЯ = 2(36 — 30) см = 12 см. Далее, АС + СЕ + ЕВ = АВ, следовательно: СЕ = 36 см— — 12 см = 24 см. А С В Е В Р М Ль й Рис. 31 Наконеп, МЫ = МВ + Р Ч = — СР + — РЕ = — СЕ.
! ! ! 2 2 2 Таким образом, Л|Лг = 12 см. О т в е т. 12 см. 79*. Точки А, В и С лежат на одной прямой, точки Л! и !Ч -- середины отрезков АВ и АС. Докажите, что ВС =- 2ЛТЛг. Р е ш е н и е. Возможны два случая, а) Точки В и С лежат на разных лучах, исходящих из точки .4 (рис. 32, и). В этом случае ВС = ВА+ АС, Л1М = МА+ АЛг. Так как ВА = 2Л1А, АС = 2А)Ч, то ВС = 2(Л1А + А Ч) = 2 г!Х)Ч.
23 Дополнительньье задачи б) Точки В и С лежат на одном луче, исходящем из точки А. Пусть, например, точка В лежит на отрезке АС 1рис. 32, б). Тогда АВ < АС, В С В А С . ° — — Ф вЂ”, — ° — Ф" — Ф вЂ” -З М Ьг Рис. 32 а так как АВ = 2АМ, АС = 2Айг, то АМ < АЛ'. Поэтому ВС = = АС вЂ” АВ, М)ь' = АХ вЂ” АМ и, следовательно, ВС = 2 Асг — 2 АМ = 2(Айг — АМ) = 2 Мй1.
80. Известно, что аАОВ =- 35', аВОС = 50'. Найдите угол АОС. Для каждого из возможных случаев сделайте чертеж с помощью линейки и транспортира. Р е ш е н и е, Возможны два случая. а) Лучи ОА и ОС лежат по разные стороны от прямой ОВ 1рис.33, а). Тогда аАОС = аАОВ + ОВОС = 35' + 50' = 85'.
б) Лучи ОА и ОС лежат по одну сторону от прямой ОВ 1рис. 33, б). Так как л'АОВ < ОВОС, то ЛАОС = ОВОС вЂ” л'АОВ = 50' — 35' = )гь О О Рис. 33 Ответ. 85' или 15'. 81. Угол ЬЬ равен 120', угол Ьга равен 150'. Найдите угол Ьт. Для каждого из возможных случаев сделайте чертеж. Р е ш е н и е. Возможны два случая. а) Лучи Ь и т лежат по одну сторону от прямой, содержащей луч Ь 1рис.
34, а). В этом случае айгп = л'.)ьт — л'.)ьй = 150' — 120' = 30'. 7л ! Наяальньш геолытрические сведения 120' Рис. 34 б) Лучи 6 и пт лежат по разные стороны от пряльой, содержащей луч 6 (рис,34, б). В этом случае продолжение 61 луча 6 делит угол йт на два угла, и, следовательно, ~ИВ + Е1ь1гн = айпи Углы 66 и 66| смежные, поэтому ~ИВ = 180' — Л66 = 60'.
Аналогично, г'61пт = 180' — г'йги = 30'. Подставив эти значения в равенство (!), получим: г'6пт = 60' + + 30' = 90'. Ответ. 30' нли 90'. 82. Найдите смежные углы, если: а) один из них на 45' больше другого; б) нх разность равна 35'. Решение. Пусть а! и г'2 — данные смежные углы и г'.1 > г'2.
По свойству смежных углов г'! + л2 = 180'. а) По условию г'! = г'2+ 45'. Отсюда и из равенства (1) находим; л! =- 112'30', г'2 = 67'30'. б) г'.! — г'.2 =- 35'. Отсюда и из равенства (1) находим: г'.1 = — 107'30', г'.2 = 72'30'. Ответ: а) 112'30' и 67'30', б) !07'30' н 72'30'. 83. Найдите угол, образованный биссектрисами двух смежных углов.
Р еще н не. Пусть г 4ОВ и г'.СО — данные смежные углы, а ОР и ОΠ— их биссектрисы (рис.35). Тогда ЛРОЯ = г РОВ + ~ООВ. 25 Доаолнительньче задачи Так как ОР— биссектриса угла АОВ, то л'.РОВ = — 'АОВ. Ана- ! ! 2 логично, ~бХОВ = — ОВОС.
Подставив эти значения в равенство (1), 2 находим: ~РОЯ = — лАОВ + — ОВОС = — (ЕАОБ + ОВОС). 2 2 2 Углы АОВ и ВОС вЂ” смежные, поэтому кАОВ+ л'ВОС =- 180'. Следовательно, ~РОО = — 180' = 90'. 2 Ответ. 90'. 84. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой Ре ш е и ив.
Пусть АОВ и А1ОВ1 — данные вертикальные углы, ОЛХ вЂ” биссектриса угла АОВ, а ОЛХ! — продолжение луча ОМ (рис. 36). Докажем, что ОМ! — биссектриса угла А!ОВ!. 0 В Р С О Рис. 35 Рис. 36 Углы АОЛХ и А! ОЛХ! — вертикальные, поэтому л'.АОЛХ = = л'.А!ОЛХ!. Аналогично, л'.ВОЛХ = лВ!ОЛХ!. Так как л'АОЛХ = = ЕВОЛХ, то 'А!ОЛХ! = 'В!ОМ!. Луч ОЛХ! проходит внутри угла А!ОВ!, следовательно, ОЛХ! — биссектриса этого угла. Таким образом, биссектрисы вертикальных углов АОВ и А!ОВ! лежат на прямой ОЛХ.
86*. Докажите, что если биссектрисы углов АВС и СВР перпендикулярны, то точки А, В и Р лежат иа одной прямой. Р е ш е н и е, Задача будет решена, если мы докажем, что угол АБР развернутый. Предположим, что это не так. Пусть ВЛХ и Вдг — биссектрисы углов АВС и СВР. По условию аЛХВЛг = 90'. Возможны два случая. а) Луч ВС проходит внутри угла АВР и поэтому делит этот угол на два угла: АВС и СВР (рис.37, а). Тогда лАВС+ л'.СВР = 'АВР, или (л! + к2) + (л3+ л4) = ЛАВР (см.
рис. 37, а). 1л ! На шльние геометрические сведения Рис. 37 Но х1 = г'.2, л3 = х.'4 и ПУАВР < 180', следовательно, 2'2 . 2г.'3 < 180', или хМВ7зг = г'.2+ '3 < 90'. Это неравенство противоречит условию задачи. б) Луч ВС лежит во внешней области угла АВР (рис. 37, б). В этом случае г'АВС+ л'СВР > 180', поэтому (г'.1+ г'.2) + (х3+ г'4) > > 180'. Так как г'.1 = г'.2 и л'.3 =- х4, то х'ЛХВ7зг =- г'.2 -ь г'.3 > 90'. Это неравенство также противоречит условию задачи, Таким образом, угол АВР— развернутый и, следовательно, точки А, В и Р лежат на одной прямой. 86. Даны две пересекающиеся прямые а и Ь и точка А, не лежащая на этих прямых.
Через точку А проведены прямые т и и так, что го з. а, и .!. Ь. Докажите, что прямые т и и не совпадают. Решение. Предположим, что прямая и совпадает с прямой т. То~да а ! пи 6 ' пп Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, не пересекаются, поэтому прямые а и 6 не пересекаются. Это противоречит условию задачи, следовательно, прямые нг и и не совпадают.
Задачи повышенной трудности к главе 1 322. Пусть а — число, выражаю1цее длину отрезка АВ при единице измерения СР, а Ь вЂ” число, выражающее длину СР при единице измерения АВ. Как связаны между собой числа а и Ь? Решение. Пусть СР исходная единица измерения, тогда СР = = 1 и АВ = а. Если А — новая единица измерения, то АВ = = 1 и СР = 6.
При переходе от единицы измерения СР к единице измерения АВ числа, выражающие длины всех отрезков, умножаются на некоторое число й. Поэтому 1. 6 = 6, а 6 = 1 и, следовательно, аЬ =. 1. О т в е т. аЬ = 1. 323. Длина огрезка АВ при единице измерения Е~Г~ выражается числом ш, а при единице измерения Езр) — числом и. Каким числом выражается длина отрезка Е~г) при единице измерения ЕгЕВ Задачи повышенной трудности к главе 1 324.
Пусть а66 — меньший из двух смежных углов 66 и 61. Докажите, что а66 = 90' — — (л61 -- 266), 1 л61 — 90' Š— (г.'61 — л66). 1 2 Решение. По свойству смежных углов л'.6,6+ г'.61 = 180'. Из равенства (1) следует: 2с'6,6 = 180' — с'61+ л66, откуда г'.66 = 90' — -(~61 — г'.66). Лналогично, из равенства (1) получаем: 2Л61 = 180' + х61 — ~66, откуда г'61 = 90' + †(с'.61 — с'.6й).
2 325. Пять прямых пересекаются в одной точке (рис. 38) (см, рнс.!47 учебника). Найдите сумму углов 1, 2, 3, 4 и 5. Р е ш е н и е. Обозначим точку пересечения данных прямых буквой О, углы, вертикальные с углами 3 и 4, цифрами 6 и 7, а прямую, содержащую стороны углов 2 и 5, через АВ (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
